層級(jí)一 第二練 復(fù)數(shù)、平面向量 考情考向·高考導(dǎo)航1高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查重點(diǎn)是其代數(shù)形式的四則運(yùn)算(特別是乘、除法)，也涉及復(fù)數(shù)的概念及幾何意義等知識(shí)，難度較低，純屬送分題目2平面向量是高考必考內(nèi)容，每年每卷有一個(gè)小題，難度中檔，主要考查平面向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算、線性運(yùn)算等，數(shù)量積是考查的熱點(diǎn)真題體驗(yàn)1(2019·全國卷)設(shè)z32i，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：C32i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(3，2)，在第三象限2(2019·全國卷)已知非零向量a，b滿足|a|2|b|，且(ab)b，則a與b的夾角為()A. B.C. D.解析：B(ab)b，(ab)·b0.即a·b|b|2；cosa，b.故a，b，故選B.3(2018·北京卷)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：C本題考查平面向量及充分必要條件由題意得|a3b|，|3ab|.充分性：|a3b|3ab|a26a·b9b29a26a·bb2又|a|1，|b|1，a2b21a29b29a2b26a·b6a·b即a·b0，ab.充分性得證必要性：ab，a·b0又|a|b|1，a26a·b9b29a26a·bb2(a3b)2(3ab)2|a3b|3ab|必要性得證故選C.4(2018·全國卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，則_.解析：2ab2(1,2)(2，2)(4,2)，c(2ab)，1×240，解得.答案：主干整合1復(fù)數(shù)運(yùn)算中常用的結(jié)論(1)(1±i)2±2i，i，i.(2)baii(abi)(a，bR)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)(4)i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)2“三點(diǎn)”共線的充要條件：O為平面上一點(diǎn)，則A，B，P三點(diǎn)共線的充要條件是12(其中121)3三角形中線向量公式：若P為OAB的邊AB的中點(diǎn)，則()4三角形重心坐標(biāo)的求法：(1)G為ABC的重心0G.(2)···O為ABC的垂心5平面向量數(shù)量積性質(zhì)：aba·b0(a0，b0)熱點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算題組突破1(2019·全國卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|zi|1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則()A(x1)2y21B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21解析：C|zi|1表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(0,1)的距離為1，故點(diǎn)E的軌跡方程為x2(y1)21.選C.2(2020·蘇州模擬)已知aR，i是虛數(shù)單位若zai，z·4，則a()A1或1 B.或C D.解析：Az·4，|z|24，即|z|2.zai，|z|，2，a±1.故選A.3(2020·湖北八校聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z12ai(aR)，z212i，若為純虛數(shù)，則|z1|()A. B.C2 D.解析：D由于為純虛數(shù)，則a1，則|z1|，故選D.4設(shè)有下面四個(gè)命題p1：若復(fù)數(shù)z滿足R，則zR；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2R，則zR；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2R，則z12；p4：若復(fù)數(shù)zR，則R.其中的真命題為()Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4解析：B設(shè)zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)對(duì)于p1，若R，即R，則b0zabiaR，所以p1為真命題對(duì)于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，則ab0.當(dāng)a0，b0時(shí)，zabibiR，所以p2為假命題對(duì)于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，則a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因?yàn)閍1b2a2b10/ a1a2，b1b2，所以p3為假命題對(duì)于p4，若zR，即abiR，則b0abiaR，所以p4為真命題，故選B.解決復(fù)數(shù)問題的兩種思想方法1復(fù)數(shù)的“實(shí)數(shù)化”：復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可2復(fù)數(shù)的“方程思想”：即把復(fù)數(shù)z當(dāng)作未知數(shù)，從解方程的角度求解z.熱點(diǎn)二平面向量的運(yùn)算及應(yīng)用平面向量的線性運(yùn)算例1(1)(2018·全國卷)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則()A.B.C. D.解析A如圖，.(2)(2020·無錫模擬)如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且|1，|2，若(，R)，則的值為_解析解法一如圖，|2，|4，所以42.所以6.解法二以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(1,0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)即A(1,0)，C(3，)，B.由得，所以所以6.答案6平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算，要先選擇一組基底，同時(shí)注意共線向量定理的靈活運(yùn)用(2)運(yùn)算過程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系平面向量數(shù)量積的應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算平面向量問題中的核心素養(yǎng)解決幾何圖形問題時(shí)，可以先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將圖形坐標(biāo)化，再運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決相關(guān)問題在平面向量中，向量的坐標(biāo)運(yùn)算就是這一思想的具體應(yīng)用.例2(1)(2020·石家莊模擬)若兩個(gè)非零向量a，b滿足|ab|ab|2|b|，則向量ab與a的夾角為()A. B.C. D.解析A|ab|ab|，|ab|2|ab|2，a·b0.又|ab|2|b|，|ab|24|b|2，|a|23|b|2，|a|b|，cosab，a，故ab與a的夾角為.(2)(2018·天津卷)如圖，在平面四邊形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120°，ABAD1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則·的最小值為()A. B.C. D3解析A建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A，B，C，D，E點(diǎn)在CD上，則(01)，設(shè)E(x，y)，則：，即，據(jù)此可得：E，且：，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得：·×，整理可得：·(4222)(01)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，·取得最小值.故選A.涉及數(shù)量積、模和最值的解題思路(1)涉及數(shù)量積和模的計(jì)算問題，通常有兩種求解思路；直接利用數(shù)量積的定義計(jì)算，此時(shí)，要善于將相關(guān)向量分解為圖形中模和夾角已知的向量進(jìn)行計(jì)算建立平面直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算求解(2)求解向量數(shù)量積的最值(范圍)問題，通常建立平面直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到含有參數(shù)的等式，或是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，或是利用基本不等式求最值，或是利用幾何意義求最值(范圍)(1)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，BE與AC的交點(diǎn)為F，若a，b，則向量()A.ab BabCab D.ab解析：C()ab.(2)(2019·江蘇卷)如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE2EA，AD與CE交于點(diǎn)O.若·6·，則的值是_解析：本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題如圖，過點(diǎn)D作DFCE，交AB于點(diǎn)F，由BE2EA，D為BC中點(diǎn)，知BFFEEA，AOOD.6·3·()()·()()··22·，得22，即|，故.答案：(3)(雙空填空題)已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，則向量a和b的夾角是_，a·(ab)_.解析：本題考查向量數(shù)量積的垂直性質(zhì)由題意，設(shè)向量a，b的夾角為.因?yàn)閨a|，|b|2，且(ab)a，所以(ab)·a|a|2a·b|a|2|a|b|cos 32·cos 0，解得cos .又因?yàn)?，所以.則a·(ab)|a|2|a|b|·cos 32×6.答案：6限時(shí)40分鐘滿分80分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1(2020·昆明模擬)已知復(fù)數(shù)z則()Az的模為2 Bz的實(shí)部為1Cz的虛部為1 Dz的共軛復(fù)數(shù)為1i解析：C根據(jù)題意可知，1i，所以z的虛部為1，實(shí)部為1，模為，z的共軛復(fù)數(shù)為1i，故選C.2已知i為虛數(shù)單位，aR，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z2ai的模等于()A. B.C. D.解析：C由題意可設(shè)ti，t0，2ittai，解得z2ai1i，|z|，故選C.3(2019·全國卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，則·()A3 B2C2 D3解析：C(3，t)(2,3)(1，t3)，| 1，t3，(1,0)，·(2,3)·(1,0)2.4(2019·北京卷)設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“|”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：C本題考查充要條件的概念與判斷、平面向量的模、夾角與數(shù)量積，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想A、B、C三點(diǎn)不共線，|2|2·0與 的夾角為銳角故“與的夾角為銳角”是“|>|”的充分必要條件，故選C.5(2020·南昌模擬)歐拉公式eixcos xisin x(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，ei表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：A根據(jù)歐拉公式得eicosisini，它在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于復(fù)平面中的第一象限6(2019·吉林三模)已知z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，那么z等于()A2i BiCi D2i解析：D設(shè)zai(a0，aR)，則，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以2a0a2，故z2i.7(2020·蘭州診斷考試)在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM1，點(diǎn)P在AM上且滿足2，則·()等于()A BC. D.解析：A如圖，2，·()2，AM1且2，|，·().8(多選題)下列命題正確的是()A若復(fù)數(shù)z1，z2的模相等，則z1，z2的共軛復(fù)數(shù)Bz1，z2都是復(fù)數(shù)，若z1z2是虛數(shù)，則z1不是z2的共軛復(fù)數(shù)C復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z(是z的共軛復(fù)數(shù))D已知復(fù)數(shù)z112i，z21i，z332i(i是虛數(shù)單位)，它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若xy(x，yR)，則xy1解析：BC本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和向量的坐標(biāo)運(yùn)算對(duì)于A，z1和z2可能是相等的復(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若z1和z2是共軛復(fù)數(shù)，則相加為實(shí)數(shù)，不會(huì)為虛數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由abiabi得b0，故C正確；對(duì)于D，由題可知，A(1,2)，B(1，1)，C(3，2)，建立等式(3，2)(xy,2xy)，即解得故D錯(cuò)誤故選BC.9(2019·張家界三模)邊長為2的等邊ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足，則·()A B.C. D.解析：A·2×2×cos2，·()·()···×22×22.10.在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，DE交AF于H，記，分別為a，b，則()A.ab B.abCab Dab解析：B如圖，過點(diǎn)F作BC的平行線交DE于G，則G是DE的中點(diǎn)，且，易知AHDFHG，從而，ba，ab，故選B.11(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b24e·b30，則|ab|的最小值是()A.1 B.1C2 D2解析：A設(shè)e(1,0)，b(x，y)，則b24e·b30x2y24x30(x2)2y21如圖所示，a，b，(其中A為射線OA上動(dòng)點(diǎn)，B為圓C上動(dòng)點(diǎn)，AOx.)|ab|min|CD|11.(其中CDOA.)12(2020·貴陽模擬)在等腰直角ABC中，ABC90°，ABBC2，M，N為AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M，N不與A，C重合)，且滿足|，則·的取值范圍為()A. B.C. D.解析：C不妨設(shè)點(diǎn)M靠近點(diǎn)A，點(diǎn)N靠近點(diǎn)C，以等腰直角三角形ABC的直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，線段AC的方程為xy20(0x2)設(shè)M(a,2a)，N(a1,1a)(由題意可知0a1)，(a,2a)，(a1,1a)，·a(a1)(2a)(1a)2a22a222，0a1，由二次函數(shù)的知識(shí)可得·.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13(2020·濰坊模擬)復(fù)數(shù)z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是實(shí)數(shù)，a22a150，解得a5或a3.a50，a5，故a3.答案：314(2019·全國卷)已知a，b為單位向量，且a·b0，若c2ab，則cosa，c_.解析：本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)使用轉(zhuǎn)化思想得出答案因?yàn)閏2ab，a·b0，所以a·c2a2a·b2，|c|24|a|24a·b5|b|29，所以|c|3，所以cosa，c.答案：15(雙空填空題)設(shè)復(fù)數(shù)z2 0182 019，其中i為虛數(shù)單位，則的虛部是_，|z|_.解析：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算、乘方運(yùn)算及復(fù)數(shù)的基本概念i，i，z2 0182 019(i)2 018i2 019i2i31i，1i，則的虛部為1，|z|.答案：116(2019·天津卷)在四邊形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30°，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且AEBE，則·_.解析：如圖，過點(diǎn)B作AE的平行線交AD于F，因?yàn)锳EBE，故四邊形AEBF為菱形因?yàn)锽AD30°，AB2，所以AF2，即.因?yàn)?，所?#183;()·22×2×5×12101.答案：1- 14 -