三角恒等變換與解三角形【2019年高考考綱解讀】正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計算.4.有關(guān)參數(shù)的范圍問題由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強，與實際問題結(jié)合起來進行命題將是今后高考的一個關(guān)注點，不可輕視【重點、難點剖析】 1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin .(2)cos(±)cos cos sin sin .(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.4余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.5三角形面積公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.6三角恒等變換的基本思路(1)“化異為同”，“切化弦”，“1”的代換是三角恒等變換的常用技巧如1cos2sin2tan 45°等“化異為同”是指“化異名為同名”，“化異次為同次”，“化異角為同角”(2)角的變換是三角變換的核心，如()，2()()，等7解三角形的四種類型及求解方法(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解 8利用解三角形的知識解決實際問題的思路把實際問題中的要素歸入到一個或幾個相互關(guān)聯(lián)的三角形中，通過解這樣的三角形即可求出實際問題的答案注意要檢驗解出的結(jié)果是否具有實際意義，對結(jié)果進行取舍，從而得出正確結(jié)果.【題型示例】題型一、三角變換及應(yīng)用【例1】(2018·全國)已知sin cos 1，cos sin 0，則sin()_.答案解析sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，sin(). 【變式探究】(1)已知cos3sin，則tan_.答案24解析cos3sin，sin 3sin，sin 3sin3sin cos 3cos sin sin cos ，tan ，又tan tan2，tan24.(2)若sin 2，則sin 2等于()A. BC. D答案B解析由題意得2(cos sin )sin 2，將上式兩邊分別平方，得44sin 23sin22，即3sin224sin 240，解得sin 2或sin 22(舍去)，所以sin 2.【變式探究】【2017山東，理9】在中，角，的對邊分別為，若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】 所以，選A.【變式探究】若tan 0，則()Asin 0 Bcos 0Csin 20 Dcos 20【舉一反三】 (2015·新課標(biāo)全國，2)sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°()A B. C D.解析sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin 30°.答案D【變式探究】(2015·四川，12)sin 15°sin 75°的值是_解析sin 15°sin 75°sin 15°cos 15°sin(15°45°)sin 60°.答案【舉一反三】(2015·江蘇，8)已知tan 2，tan()，則tan 的值為_解析tan 2，tan()，解得tan 3.答案3【感悟提升】(1)此類問題的著眼點是“一角、二名、三結(jié)構(gòu)”，即一看角的差異，二看名稱的差異，三看結(jié)構(gòu)形式的差異，然后多角度使用三角公式求解(2)對于三角函數(shù)中角的求值問題，關(guān)鍵在于“變角”，將“目標(biāo)角”變換成“已知角”若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分情況討論，要注意三角公式的正用、逆用、變形運用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要注意拆角、拼角等技巧的運用(3)求三角函數(shù)的化簡求值問題的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差異，想聯(lián)系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引輔角【變式探究】(2015·廣東，11)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_解析因為sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案1題型二、正、余弦定理【例2】(2018·全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為_ 答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C>0，sin A.由余弦定理得cos A>0，cos A，bc，SABCbcsin A××.【舉一反三】【2017課標(biāo)II，理17】的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求。【答案】(1)； (2) b=2【解析】b=2（1）由題設(shè)及，故上式兩邊平方，整理得 解得 （2）由，故又由余弦定理 及得所以b=2.【舉一反三】(2017·全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC，求ABD的面積解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A，即284c24c·cos ，即c22c240，解得c6(舍去)或c4.所以c4.(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD的面積與ACD的面積的比值為1.又ABC的面積為×4×2sinBAC2，所以ABD的面積為.【變式探究】在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知B60°，c8.(1)若點M，N是線段BC的兩個三等分點，BMBC，2，求AM的值；(2)若b12，求ABC的面積解(1)由題意得M，N是線段BC的兩個三等分點，設(shè)BMx，則BN2x，AN2x，又B60°，AB8，在ABN中，由余弦定理得12x2644x22×8×2xcos 60°，解得x2(負值舍去)，則BM2.在ABM中，由余弦定理，得AB2BM22AB·BM·cos BAM2，AM2.(2)在ABC中，由正弦定理，得sin C.又b>c，所以B>C，則C為銳角，所以cos C.則sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C××，所以ABC的面積Sbcsin A48×248.【舉一反三】 若銳角ABC的面積為10，且AB5，AC8，則BC等于_解析SAB·AC·sin A，sin A，在銳角三角形中A，由余弦定理得BC7.答案7【變式探究】設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_解析因為sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1. 答案1【舉一反三】(1)在ABC中，A60°，AC4，BC2，則ABC的面積等于_(2)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD1，CD2，AC.求cosCAD的值；若cosBAD，sinCBA，求BC的長【命題意圖】(1)本題主要考查正弦定理等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力(2)本題以平面四邊形為載體，考查余弦定理、正弦定理和三角函數(shù)的化簡求值，第一問可利用余弦定理直接求解，第二問需綜合運用兩角差的正弦公式和正弦定理(2)如題圖，在ADC中，由余弦定理，得cosCAD.故由題設(shè)知，cosCAD.如題圖，設(shè)BAC，則BADCAD.因為cosCAD，cosBAD，所以sinCAD.sinBAD.于是sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD××.在ABC中，由正弦定理，得.故BC3.【變式探究】ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos A.(1)求A·A；(2)若cb1，求a的值【解析】解(1)由cos A，且0<A<，得sin A.又SABCbcsin A30，所以bc156，所以A·Abccos A156×144.(2)由(1)知bc156，又cos A，cb1，在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)12×156×25，所以a5?！疽?guī)律方法】 求解此類問題，一要注意從問題的不斷轉(zhuǎn)化中尋求解題的突破口，如求A·A，需要求出bc，由三角形的面積及cos A，可求出sin A，二要注意求解本題第(2)問時，應(yīng)該結(jié)合第(1)問中的結(jié)論題型三、解三角形的應(yīng)用【例3】(2018·天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大??；(2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因為B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因為a<c，所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.【感悟提升】解三角形與三角函數(shù)的綜合題，要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系；對最值或范圍問題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來求解【變式探究】【2017浙江，14】已知ABC，AB=AC=4，BC=2 點D為AB延長線上一點，BD=2，連結(jié)CD，則BDC的面積是_，cosBDC=_ 【答案】【解析】取BC中點E，DC中點F，由題意：，ABE中，又，綜上可得，BCD面積為，【變式探究】 已知函數(shù)f(x)2cos2xsin1(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f(A)，若bc2a，且·6，求a的值解(1)f(x)sin2cos2x1cos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xsin.函數(shù)f(x)的最小正周期T.由2k2x2k(kZ)，可解得kxk(kZ)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)(2)由f(A)sin，可得2A2k或2A2k(kZ)A(0，)，A，·bccos Abc6，bc12，又2abc，cos A111，a2.【舉一反三】ABC中，D是BC上的點，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長【變式探究】在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面積為3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C，又因為sin Bsin(AC)sin，所以sin B，由正弦定理得cb，又因為A，bcsin A3，所以bc6，故b3. 13