第一節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)考綱傳真1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義1角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形(2)分類(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S|k·360°，kZ2弧度制的定義和公式(1)定義：在以單位長為半徑的圓中，單位長度的孤所對(duì)的圓心角為1弧度的角，它的單位符號(hào)是rad，讀作弧度正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)公式角的弧度數(shù)公式|(弧長用l表示)角度與弧度的換算1° rad；1 rad°弧長公式弧長l|r扇形面積公式Slr|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫作的正弦，記作sin x叫作的余弦，記作cos 叫作的正切，記作tan 各象限符號(hào)三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線4.任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)P(x，y)是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sin ，cos ，tan (x0)若分別為、象限角，則所在象限如圖：基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)小于90°的角是銳角()(2)銳角是第一象限角，反之亦然()(3)角的三角函數(shù)值與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)()(4)若為第一象限角，則sin cos 1.()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)角870°的終邊所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限C870°2×360°150°，870°和150°的終邊相同，故870°的終邊在第三象限3若角同時(shí)滿足sin 0且tan 0，則角的終邊一定位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限D(zhuǎn)由sin 0知角的終邊在三、四象限或y軸負(fù)半軸上，由tan 0知角的終邊在二、四象限，故角的終邊在第四象限，故選D.4(教材改編)已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M，則sin ()A. B± C.D±B由題意知|r|2y21，所以y±.由三角函數(shù)定義知sin y±.5在單位圓中，200°的圓心角所對(duì)的弧長為()A10 B9 C.D.D單位圓的半徑r1,200°的弧度數(shù)是200×，由弧長公式得l.象限角與終邊相同的角1若k·180°45°(kZ)，則在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限D(zhuǎn)第三或第四象限A當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，2n·180°45°n·360°45°，為第一象限角；當(dāng)k2n1(nZ)時(shí)，(2n1)·180°45°n·360°225°，為第三象限角，所以為第一或第三象限角故選A.2若角是第二象限角，則是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角C是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角綜上，是第一或第三象限角，故選C.3與2 015°終邊相同的最小正角是_145°2 015°6×(360°)145°，因此與2 015°終邊相同的最小正角是145°.4終邊在直線yx上的角的集合是_|60°k·180°，kZ如圖，直線yx過原點(diǎn)，傾斜角為60°，在0°360°范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合為：S1|60°k·360°，kZ，S2|240°k·360°，kZ，所以角的集合SS1S2|60°k·360°，kZ|60°180°k·360°，kZ|60°2k·180°，kZ|60°(2k1)·180°，kZ|60°k·180°，kZ規(guī)律方法1.象限角的兩種判斷方法(1)圖像法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°(0°360°，kZ)的形式，即找出與已知角終邊相同的角，再由角終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角2終邊在某直線上角的求法四步驟(1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線(2)按逆時(shí)針方向?qū)懗?,2)內(nèi)的角(3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合(4)求并集化簡(jiǎn)集合扇形的弧長、面積公式【例1】(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角；(2)已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時(shí)，扇形的面積最大？解(1)設(shè)圓心角是，半徑是r，則解得(舍去)或扇形的圓心角為.(2)設(shè)圓心角是，半徑是r，則2rr40.又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.當(dāng)且僅當(dāng)r10時(shí)，Smax100，此時(shí)2×101040，2，當(dāng)r10，2時(shí)，扇形的面積最大規(guī)律方法解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題的常用方法及注意事項(xiàng)(1)解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題時(shí)，要注意角的單位，一般將角度化為弧度(2)求解扇形面積的最值問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形 (1)若扇形的圓心角120°，弦長AB12 cm，則弧長l_cm.設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖由sin 60°，得r4 cm，l|·r×4 cm.(2)已知扇形AOB的周長為C，當(dāng)圓心角為多少時(shí)，扇形的面積最大？解設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為，由題意可知lC2r，代入可得：S(C2r)·rrr2，S，0r，當(dāng)r時(shí)，S最大，此時(shí)lC，2.三角函數(shù)的定義考法1利用三角函數(shù)的定義求值【例2】(1)已知點(diǎn)P在角的終邊上，且|OP|4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(2，2)BC(2，2)D(2)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，6)，且cos ，則_.(1)A(2)(1)設(shè)P(x，y)，由三角函數(shù)的定義知，sin ，cos，即y4sin2，x4cos2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)，故選A.(2)r，由cos 得解得x或x(舍去)所以P，所以sin ，所以tan ，則.考法2三角函數(shù)值的符號(hào)判定【例3】(1)若sin tan 0，且0，則角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值()A小于0B大于0C等于0D不確定(1)C(2)A(1)由sin tan 0可知sin ，tan 異號(hào)，從而可判斷角為第二或第三象限角由0可知cos ，tan 異號(hào)，從而可判斷角為第三或第四象限角綜上可知，角為第三象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，則sin 2·cos 3·tan 40，故選A.考法3三角函數(shù)線的應(yīng)用【例4】函數(shù)y的定義域?yàn)開(kZ)2cos x10，cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kZ)規(guī)律方法1.利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的方法(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解2利用三角函數(shù)線求解三角不等式的方法對(duì)于較為簡(jiǎn)單的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數(shù)線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態(tài)，注意實(shí)線與虛線)，再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解集 (1)點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.BC.D(2)若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(，m)(m0)且sin m，則cos 的值為_(3)函數(shù)ylg(2sin x1)的定義域?yàn)開(1)A(2)(3)kZ(1)由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足xcos ，ysin .Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選A.(2)由題意知r，sin m，m0，m±，r2，cos .(3)由題意知2sin x10，即sin x，根據(jù)三角函數(shù)線，畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).1(2014·全國卷)若tan >0，則()Asin 2>0Bcos >0Csin >0Dcos 2>0Atan >0，(kZ)是第一、三象限角sin ，cos 都可正、可負(fù)，排除B，C.而2(2k，2k)(kZ)，結(jié)合正、余弦函數(shù)圖像可知，A正確取，則tan 1>0，而cos 20，故D不正確2(2014·大綱全國卷)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，則cos ()A.BCDD因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，所以x4，y3，r5，所以cos .- 10 -