《2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題六 函數(shù)與導數(shù)、不等式 第3講 不等式學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題六 函數(shù)與導數(shù)、不等式 第3講 不等式學案 理（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講　不等式 高考定位　1.利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點，主要以選擇題、填空題為主；2.在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍問題或在解決導數(shù)問題時常利用不等式進行求解，難度較大. 真 題 感 悟 1.(2017·全國Ⅱ卷)設x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　) A.－15 B.－9 C.1 D.9 解析　可行域如圖陰影部分所示，當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A(－6，－3)時，所求最小值為－15. 答案　A 2.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為__

2、______. 解析　由題設知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，當且僅當2a＝，即a＝－3，b＝1時取等號.故2a＋的最小值為. 答案　 3.(2018·全國Ⅰ卷)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為________. 解析　作出可行域為如圖所示的△ABC所表示的陰影區(qū)域，作出直線3x＋2y＝0，并平移該直線，當直線過點A(2，0)時，目標函數(shù)z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6. 答案　6 4.(2017·全國Ⅲ卷)設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f >1的x的取值范圍是________. 解析　當x≤0時，f

3、(x)＋f ＝(x＋1)＋， 原不等式化為2x＋>1，解得－1，該式恒成立， 當x>時，f(x)＋f ＝2x＋2x－， 又x>時，2x＋2x－>2＋20＝1＋>1恒成立， 綜上可知，不等式的解集為. 答案　 考 點 整 合 1.不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法. 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a與ax2＋bx＋c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2＋bx＋c異號，則其解集在兩根之間. (2)簡單分式不等式的解法. ①>0(<0)f

4、(x)g(x)>0(<0). ②≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解. 2.幾個不等式 (1)a2＋b2≥2ab(取等號的條件是當且僅當a＝b). (2)ab≤(a，b∈R). (3)≥≥≥(a>0，b>0). (4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當a＝b時等號成立). 3.利用基本不等式求最值 (1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2(簡記為：積定，和有最小值). (2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當x＝y(tǒng)時，xy有最大值

5、s2(簡記為：和定，積有最大值). 4.簡單的線性規(guī)劃問題 解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再根據(jù)目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到最值時可行域上的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決. 熱點一　不等式的解法 【例1】 (1)不等式≤x－2的解集是(　　) A.(－∞，0]∪(2，4] B.[0，2)∪[4，＋∞) C.[2，4) D.(－∞，2]∪(4，＋∞) (2)設函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤1成立的x的取值范圍是________. 解析　(1)當x－2>0時，不等式化為(x－2)2≥4，∴x≥4.當x－2<0時

6、，原不等式化為(x－2)2≤4，∴0≤x<2.綜上可知，原不等式的解集為[0，2)∪[4，＋∞). (2)由得0≤x≤9；由得－1≤x<0.故使得f(x)≤1成立的x的取值范圍是[－1，9]. 答案　(1)B　(2)[－1，9] 探究提高　1.解一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結合相應二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集. 2.(1)對于和函數(shù)有關的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉化. (2)含參數(shù)的不等式的求解，要對參數(shù)進行分類討論. 【訓練1】 (1)(2018·衡陽一模)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集為，則f(ex)>0的

7、解集為(　　) A.{x|x<－ln 2或x>ln 3} B.{x|ln 20的解集為(　　) A.{x|x>2或x<－2} B.{x|－24} D.{x|00的解集為，又因為f(ex)>0，所以

8、(b－2a)x－2b是偶函數(shù).因此2a－b＝0，即b＝2a，則f(x)＝a(x－2)(x＋2). 又函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a>0. f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4. 答案　(1)D　(2)C 熱點二　基本不等式及其應用 【例2】 (1)若直線＋＝1(a>0，b>0)過點(1，2)，則2a＋b的最小值為________. (2)如圖所示，一張正方形的黑色硬紙板，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“E”形的圖形，設小矩形的長、寬分別為a，b(2≤a≤10)，剪去部分的面積為8，則＋的最大值為(　　) A.1 B. C. D.2 解析　

9、(1)∵直線＋＝1(a>0，b>0)過點(1，2)， ∴＋＝1(a>0，且b>0)， 則2a＋b＝(2a＋b) ＝4＋＋≥4＋2＝8. 當且僅當＝，即a＝2，b＝4時上式等號成立. 因此2a＋b的最小值為8. (2)由題意知，2ab＝8，則b＝(2≤a≤10).所以＋＝＋＝1＋－＝1＋≤1＋＝，當且僅當a＝，即a＝6時，＋取得最大值. 答案　(1)8　(2)C 探究提高　1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、湊”等變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應用的條件，即“和”或“積”為定值，等號能夠取得. 2.特別注意：(1)應用基本不等式求最值時，若遇等號取不

10、到的情況，則應結合函數(shù)的單調(diào)性求解. (2)若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則會出錯. 【訓練2】 (1)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________. (2)(2018·北京海淀區(qū)調(diào)研)當00， ∴≥＝4ab＋≥2＝4， 當且僅當即時取得等號. ∴的最小值是4. (2)易得＋＝且0

11、m＝1－2m，即m＝時取“＝”，∴＋＝≥8.要使原不等式恒成立，只需k2－2k≤8，－2≤k≤4. 答案　(1)4　(2)D 熱點三　簡單的線性規(guī)劃問題 考法1　已知線性約束條件，求線性目標函數(shù)最值 【例3－1】 (2017·全國Ⅲ卷)若x，y滿足約束條件 則z＝3x－4y的最小值為________. 解析　畫出可行域如圖陰影部分所示. 由z＝3x－4y，得y＝x－， 作出直線y＝x，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當直線經(jīng)過點A(1，1)處取最小值，故zmin＝3×1－4×1＝－1. 答案?。? 探究提高　1.線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，需要注意的是：一、準確無誤地

12、作出可行域；二、畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯. 2.一般情況下，目標函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的頂點或邊界上取得. 【訓練3】 (2018·全國Ⅱ卷)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________. 解析　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.作出直線x＋y＝0，平移該直線，當直線過點B(5，4)時，z取得最大值，zmax＝5＋4＝9. 答案　9 考法2　求非線性目標函數(shù)的最值 【例3－2】 (2018·合肥質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，M(a，b)為不等式組所表示的區(qū)域上任意動點，則的最大值為______

13、__. 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分).則M(a，b)在△AEF內(nèi)(含邊界)，易知表示點M與點B(4，1)連線的斜率，當點M與點A重合時，kAB取最大值，又解得A(3，－1)， ∴的最大值為kAB＝＝2. 答案　2 考法3　線性規(guī)劃中參數(shù)問題 【例3－3】 已知x，y滿足約束條件目標函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，則實數(shù)a＝(　　) A. B.1 C. D.4 解析　作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示， ∵目標函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，由圖象知z＝2x－3y經(jīng)過平面區(qū)域的A時目標函數(shù)取得最大值2. 由解得A(4，2)，同時A(

14、4，2)也在直線ax＋y－4＝0上，∴4a＝2，則a＝. 答案　A 探究提高　1.非線性目標函數(shù)的最值主要涉及斜率、點與點(線)的距離，利用數(shù)形結合，抓住幾何特征是求解的關鍵. 2.對于線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，需注意： (1)當最值是已知時，目標函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關，解題時應充分利用斜率這一特征加以轉化. (2)當目標函數(shù)與最值都是已知，且約束條件中含有參數(shù)時，因為平面區(qū)域是變動的，所以要抓住目標函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動參數(shù)范圍，使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi). 【訓練4】 (1)(2018·西安聯(lián)考)已知x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝的最小值為(　　

15、) A. B. C.1 D. (2)(2018·濟南質(zhì)檢)若實數(shù)x，y滿足且z＝mx－y(m<2)的最小值為－，則m等于(　　) A. B.－ C.1 D. 解析　(1)作出約束條件滿足的平面區(qū)域如圖，又z＝表示△PAB區(qū)域內(nèi)的點到原點O(0，0)的距離.∴zmin是點O(0，0)到直線AB的距離，易知O到x＋y－1＝0的距離d＝＝.∴zmin＝. (2)作不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， z＝mx－y(m<2)的最小值為－，可知目標函數(shù)的最優(yōu)解過點A，由解得A， ∴－＝－3，解得m＝1. 答案　(1)B　(2)C 1.多次使用基本不等式的注意事項

16、 當多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗轉換是否有誤的一種方法. 2.基本不等式除了在客觀題考查外，在解答題的關鍵步驟中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先變換形式才能應用. 3.解決線性規(guī)劃問題首先要作出可行域，再注意目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決. 4.解答不等式與導數(shù)、數(shù)列的綜合問題時，不等式作為一種工具常起到關鍵的作用，往往涉及到不等式的證

17、明方法(如比較法、分析法、綜合法、放縮法、換元法等).在求解過程中，要以數(shù)學思想方法為思維依據(jù)，并結合導數(shù)、數(shù)列的相關知識解題，在復習中通過解此類問題，體會每道題中所蘊含的思想方法及規(guī)律，逐步提高自己的邏輯推理能力. 一、選擇題 1.(2017·全國Ⅰ卷)設x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)，則當目標函數(shù)z＝x＋y經(jīng)過A(3，0)時取得最大值，故zmax＝3＋0＝3. 答案　D 2.(2018·合肥模擬)設函數(shù)f(x)＝，則使f(a)＋1≥f(a＋1)成立的a的取值

18、范圍是(　　) A.(－∞，－2) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－2)∪(－1，＋∞) D.(－∞，－1) 解析　f(a)＋1≥f(a＋1)＋1≥≥0.∵a2＋3a＋4>0對一切a∈R恒成立，∴原不等式等價于(a＋1)(a＋2)>0，解得a<－2或a>－1.故所求a的取值范圍是(－∞，－2)∪(－1，＋∞). 答案　C 3.(2018·西安質(zhì)檢)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A.4 B.9 C.10 D.12 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示. x2＋y2表示區(qū)域內(nèi)點到原點距離的平方. 由得A(3，－1). 由圖形

19、知，(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10. 答案　C 4.已知當x＜0時，2x2－mx＋1＞0恒成立，則m的取值范圍為(　　) A.[2，＋∞) B.(－∞，2] C.(－2，＋∞) D.(－∞，－2) 解析　由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1， 因為x＜0，所以m＞＝2x＋. 又2x＋＝－ ≤－2＝－2. 當且僅當－2x＝－，即x＝－時取等號， 所以m＞－2. 答案　C 5.(2018·長沙雅禮中學聯(lián)考)設x，y滿足約束條件若z＝x＋y的最大值為6，則的最大值為(　　) A. B.2 C.4 D.5 解析　作出不

20、等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.易知當直線z＝x＋y過點A時，z取到最大值6.又A，∴zmax＝＋a＝6，則a＝4.又＝表示P(x，y)與B(－4，0)兩點連線的斜率，當點P位于點C(－3，4)處時，斜率k取到最大值.由kBC＝＝4，知＝4. 答案　C 6.實數(shù)x，y滿足使z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有2個，則z1＝ax＋y＋1的最小值為(　　) A.0 B.－2 C.1 D.－1 解析　畫出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示，因為z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有2個，所以－a＝1，a＝－1，所以當x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1時，z＝ax＋y＝－x＋y有最小

21、值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0. 答案　A 二、填空題 7.(2018·全國Ⅲ卷)若變量x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值是________. 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，畫出直線y＝－3x，平移該直線，由圖可知當平移后的直線經(jīng)過直線x＝2與直線x－2y＋4＝0的交點A(2，3)時，z＝x＋y取得最大值，故zmax＝2＋×3＝3. 答案　3 8.(2018·天津卷)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝若對任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，則a的取值范圍是________. 解析　當－3≤x≤0時，f(x)≤|x|恒成立等價轉化為x2＋2x

22、＋a－2≤－x恒成立，即a≤－x2－3x＋2恒成立，所以a≤(－x2－3x＋2)min＝2；當x>0時，f(x)≤|x|恒成立等價轉化為－x2＋2x－2a≤x恒成立，即a≥恒成立，所以a≥ ＝.綜上，a的取值范圍是. 答案　 9.(2018·衡水中學檢測)設滿足的實數(shù)x，y所在的平面區(qū)域為Ω，則Ω的外接圓方程是_________________________________. 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域Ω如圖所示.則區(qū)域Ω是四邊形ABCO(含內(nèi)部及邊界).易知BC⊥AB，則外接圓的圓心為AC的中點，又A(0，6)，C(2，0)，則該四邊形外接圓圓心為(1，3)，半徑r＝|AC|

23、＝.故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10. 答案　(x－1)2＋(y－3)2＝10 10.(2018·湖南長郡中學調(diào)研)已知實數(shù)x，y滿足 則z＝log2的取值范圍是________. 解析　作線性約束條件表示的可行域如圖所示. 令t＝表示可行域內(nèi)的點P(x，y)與定點M(1，1)連線的斜率. 易求點B(－1，0)，kMB＝＝，且x＋y＝0的斜率為－1. ∴－1

24、)≤t恒成立，求t的取值范圍. 解　(1)f(x)＞kkx2－2x＋6k＜0. 由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集， 得kx2－2x＋6k＝0的兩根是－3，－2. 由根與系數(shù)的關系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－. (2)因為x＞0，f(x)＝＝≤＝， 當且僅當x＝時取等號. 由已知f(x)≤t對任意x＞0恒成立， 故t≥，即t的取值范圍是. 12.(2017·天津卷)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示： 連續(xù)劇播放時長(分鐘) 廣告播放時長(分鐘)

25、 收視人次(萬) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù). (1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域； (2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？ 解　(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學關系式為 即 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分的整數(shù)點： (2)設總收視人次為z萬，則目標函數(shù)為z＝60x＋25y. 考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當取得最大值時，z的值最大. 又因為x，y滿足約束條件，所以由圖2可知，當直線z＝60x＋25y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大. 解方程組得點M的坐標為(6，3). 所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多. 14