第3講不等式高考定位1.利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題為主；2.在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍問題或在解決導(dǎo)數(shù)問題時(shí)常利用不等式進(jìn)行求解，難度較大.真 題 感 悟 1.(2017·全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A.15 B.9 C.1 D.9解析可行域如圖陰影部分所示，當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A(6，3)時(shí)，所求最小值為15.答案A2.(2018·天津卷)已知a，bR，且a3b60，則2a的最小值為_.解析由題設(shè)知a3b6，又2a>0，8b>0，所以2a22·2，當(dāng)且僅當(dāng)2a，即a3，b1時(shí)取等號(hào).故2a的最小值為.答案3.(2018·全國卷)若x，y滿足約束條件則z3x2y的最大值為_.解析作出可行域?yàn)槿鐖D所示的ABC所表示的陰影區(qū)域，作出直線3x2y0，并平移該直線，當(dāng)直線過點(diǎn)A(2，0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z3x2y取得最大值，且zmax3×22×06.答案64.(2017·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)f >1的x的取值范圍是_.解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)f (x1)，原不等式化為2x>1，解得<x0，當(dāng)0<x時(shí)，f(x)f 2x原不等式化為2xx>1，該式恒成立，當(dāng)x>時(shí)，f(x)f 2x2x，又x>時(shí)，2x2x>2201>1恒成立，綜上可知，不等式的解集為.答案考 點(diǎn) 整 合1.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.一元二次不等式ax2bxc>0(或<0)(a0，b24ac>0)，如果a與ax2bxc同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc異號(hào)，則其解集在兩根之間.(2)簡單分式不等式的解法.>0(<0)f(x)g(x)>0(<0).0(0) f(x)g(x)0(0)且g(x)0.(3)指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.2.幾個(gè)不等式(1)a2b22ab(取等號(hào)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)ab).(2)ab(a，bR).(3)(a>0，b>0).(4)2(a2b2)(ab)2(a，bR，當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立).3.利用基本不等式求最值(1)如果x>0，y>0，xyp(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值2(簡記為：積定，和有最小值).(2)如果x>0，y>0，xys(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值).4.簡單的線性規(guī)劃問題解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域上的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決.熱點(diǎn)一不等式的解法【例1】 (1)不等式x2的解集是()A.(，0(2，4 B.0，2)4，)C.2，4) D.(，2(4，)(2)設(shè)函數(shù)f(x)則使得f(x)1成立的x的取值范圍是_.解析(1)當(dāng)x2>0時(shí)，不等式化為(x2)24，x4.當(dāng)x2<0時(shí)，原不等式化為(x2)24，0x<2.綜上可知，原不等式的解集為0，2)4，).(2)由得0x9；由得1x<0.故使得f(x)1成立的x的取值范圍是1，9.答案(1)B(2)1，9探究提高1.解一元二次不等式：先化為一般形式ax2bxc>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集.2.(1)對(duì)于和函數(shù)有關(guān)的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)含參數(shù)的不等式的求解，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.【訓(xùn)練1】 (1)(2018·衡陽一模)已知一元二次不等式f(x)0的解集為，則f(ex)>0的解集為()A.x|x<ln 2或x>ln 3B.x|ln 2<x<ln 3C.x|x<ln 3D.x|ln 2<x<ln 3(2)已知函數(shù)f(x)(x2)(axb)為偶函數(shù)，且在(0，)單調(diào)遞增，則f(2x)>0的解集為()A.x|x>2或x<2 B.x|2<x<2C.x|x<0或x>4 D.x|0<x<4解析(1)由題意可知，一元二次不等式所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向下，故f(x)>0的解集為，又因?yàn)閒(ex)>0，所以<ex<3，解得ln 2<x<ln 3.(2)f(x)ax2(b2a)x2b是偶函數(shù).因此2ab0，即b2a，則f(x)a(x2)(x2).又函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞增，所以a>0.f(2x)>0即ax(x4)>0，解得x<0或x>4.答案(1)D(2)C熱點(diǎn)二基本不等式及其應(yīng)用【例2】 (1)若直線1(a>0，b>0)過點(diǎn)(1，2)，則2ab的最小值為_.(2)如圖所示，一張正方形的黑色硬紙板，剪去兩個(gè)一樣的小矩形得到一個(gè)“E”形的圖形，設(shè)小矩形的長、寬分別為a，b(2a10)，剪去部分的面積為8，則的最大值為()A.1 B. C. D.2解析(1)直線1(a>0，b>0)過點(diǎn)(1，2)，1(a>0，且b>0)，則2ab(2ab)4428.當(dāng)且僅當(dāng)，即a2，b4時(shí)上式等號(hào)成立.因此2ab的最小值為8.(2)由題意知，2ab8，則b(2a10).所以111，當(dāng)且僅當(dāng)a，即a6時(shí)，取得最大值.答案(1)8(2)C探究提高1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、湊”等變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值，等號(hào)能夠取得.2.特別注意：(1)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，則應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則會(huì)出錯(cuò).【訓(xùn)練2】 (1)若a，bR，ab>0，則的最小值為_.(2)(2018·北京海淀區(qū)調(diào)研)當(dāng)0<m<時(shí)，若k22k恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A.2，0)(0，4 B.4，0)(0，2C.4，2 D.2，4解析(1)a，bR，ab>0，4ab24，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào).的最小值是4.(2)易得且0<m<.又m(12m)·2m(12m).當(dāng)且僅當(dāng)2m12m，即m時(shí)取“”，8.要使原不等式恒成立，只需k22k8，2k4.答案(1)4(2)D熱點(diǎn)三簡單的線性規(guī)劃問題考法1已知線性約束條件，求線性目標(biāo)函數(shù)最值【例31】 (2017·全國卷)若x，y滿足約束條件 則z3x4y的最小值為_.解析畫出可行域如圖陰影部分所示.由z3x4y，得yx，作出直線yx，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，1)處取最小值，故zmin3×14×11.答案1探究提高1.線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二、畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò).2.一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的頂點(diǎn)或邊界上取得.【訓(xùn)練3】 (2018·全國卷)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_.解析畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.作出直線xy0，平移該直線，當(dāng)直線過點(diǎn)B(5，4)時(shí)，z取得最大值，zmax549.答案9考法2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例32】 (2018·合肥質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M(a，b)為不等式組所表示的區(qū)域上任意動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_.解析作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分).則M(a，b)在AEF內(nèi)(含邊界)，易知表示點(diǎn)M與點(diǎn)B(4，1)連線的斜率，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，kAB取最大值，又解得A(3，1)，的最大值為kAB2.答案2考法3線性規(guī)劃中參數(shù)問題【例33】 已知x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z2x3y的最大值是2，則實(shí)數(shù)a()A. B.1 C. D.4解析作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z2x3y的最大值是2，由圖象知z2x3y經(jīng)過平面區(qū)域的A時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值2.由解得A(4，2)，同時(shí)A(4，2)也在直線axy40上，4a2，則a.答案A探究提高1.非線性目標(biāo)函數(shù)的最值主要涉及斜率、點(diǎn)與點(diǎn)(線)的距離，利用數(shù)形結(jié)合，抓住幾何特征是求解的關(guān)鍵.2.對(duì)于線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，需注意：(1)當(dāng)最值是已知時(shí)，目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關(guān)，解題時(shí)應(yīng)充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化.(2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與最值都是已知，且約束條件中含有參數(shù)時(shí)，因?yàn)槠矫鎱^(qū)域是變動(dòng)的，所以要抓住目標(biāo)函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動(dòng)參數(shù)范圍，使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi).【訓(xùn)練4】 (1)(2018·西安聯(lián)考)已知x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z的最小值為()A. B. C.1 D.(2)(2018·濟(jì)南質(zhì)檢)若實(shí)數(shù)x，y滿足且zmxy(m<2)的最小值為，則m等于()A. B.C.1 D.解析(1)作出約束條件滿足的平面區(qū)域如圖，又z表示PAB區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)O(0，0)的距離.zmin是點(diǎn)O(0，0)到直線AB的距離，易知O到xy10的距離d.zmin.(2)作不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，zmxy(m<2)的最小值為，可知目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解過點(diǎn)A，由解得A，3，解得m1.答案(1)B(2)C1.多次使用基本不等式的注意事項(xiàng)當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.2.基本不等式除了在客觀題考查外，在解答題的關(guān)鍵步驟中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先變換形式才能應(yīng)用.3.解決線性規(guī)劃問題首先要作出可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決.4.解答不等式與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的綜合問題時(shí)，不等式作為一種工具常起到關(guān)鍵的作用，往往涉及到不等式的證明方法(如比較法、分析法、綜合法、放縮法、換元法等).在求解過程中，要以數(shù)學(xué)思想方法為思維依據(jù)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解題，在復(fù)習(xí)中通過解此類問題，體會(huì)每道題中所蘊(yùn)含的思想方法及規(guī)律，逐步提高自己的邏輯推理能力.一、選擇題1.(2017·全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則zxy的最大值為()A.0 B.1 C.2 D.3解析根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)，則當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zxy經(jīng)過A(3，0)時(shí)取得最大值，故zmax303.答案D2.(2018·合肥模擬)設(shè)函數(shù)f(x)，則使f(a)1f(a1)成立的a的取值范圍是()A.(，2)B.(1，)C.(，2)(1，)D.(，1)解析f(a)1f(a1)10.a23a4>0對(duì)一切aR恒成立，原不等式等價(jià)于(a1)(a2)>0，解得a<2或a>1.故所求a的取值范圍是(，2)(1，).答案C3.(2018·西安質(zhì)檢)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是()A.4 B.9 C.10 D.12解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.x2y2表示區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方.由得A(3，1).由圖形知，(x2y2)max|OA|232(1)210.答案C4.已知當(dāng)x0時(shí)，2x2mx10恒成立，則m的取值范圍為()A.2，) B.(，2C.(2，) D.(，2)解析由2x2mx10，得mx2x21，因?yàn)閤0，所以m2x.又2x22.當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x時(shí)取等號(hào)，所以m2.答案C5.(2018·長沙雅禮中學(xué)聯(lián)考)設(shè)x，y滿足約束條件若zxy的最大值為6，則的最大值為()A. B.2 C.4 D.5解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.易知當(dāng)直線zxy過點(diǎn)A時(shí)，z取到最大值6.又A，zmaxa6，則a4.又表示P(x，y)與B(4，0)兩點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)C(3，4)處時(shí)，斜率k取到最大值.由kBC4，知4.答案C6.實(shí)數(shù)x，y滿足使zaxy取得最大值的最優(yōu)解有2個(gè)，則z1axy1的最小值為()A.0 B.2 C.1 D.1解析畫出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示，因?yàn)閦axy取得最大值的最優(yōu)解有2個(gè)，所以a1，a1，所以當(dāng)x1，y0或x0，y1時(shí)，zaxyxy有最小值1，所以axy1的最小值是0.答案A二、填空題7.(2018·全國卷)若變量x，y滿足約束條件則zxy的最大值是_.解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，畫出直線y3x，平移該直線，由圖可知當(dāng)平移后的直線經(jīng)過直線x2與直線x2y40的交點(diǎn)A(2，3)時(shí)，zxy取得最大值，故zmax2×33.答案38.(2018·天津卷)已知aR，函數(shù)f(x)若對(duì)任意x3，)，f(x)|x|恒成立，則a的取值范圍是_.解析當(dāng)3x0時(shí)，f(x)|x|恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為x22xa2x恒成立，即ax23x2恒成立，所以a(x23x2)min2；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)|x|恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為x22x2ax恒成立，即a恒成立，所以a.綜上，a的取值范圍是.答案9.(2018·衡水中學(xué)檢測(cè))設(shè)滿足的實(shí)數(shù)x，y所在的平面區(qū)域?yàn)椋瑒t的外接圓方程是_.解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.則區(qū)域是四邊形ABCO(含內(nèi)部及邊界).易知BCAB，則外接圓的圓心為AC的中點(diǎn)，又A(0，6)，C(2，0)，則該四邊形外接圓圓心為(1，3)，半徑r|AC|.故所求圓的方程為(x1)2(y3)210.答案(x1)2(y3)21010.(2018·湖南長郡中學(xué)調(diào)研)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則zlog2的取值范圍是_.解析作線性約束條件表示的可行域如圖所示.令t表示可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)M(1，1)連線的斜率.易求點(diǎn)B(1，0)，kMB，且xy0的斜率為1.1<t，從而<2，故1<z1.答案(1，1三、解答題11.已知函數(shù)f(x).(1)若f(x)k的解集為x|x3，或x2，求k的值；(2)對(duì)任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范圍.解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x3，或x2是其解集，得kx22x6k0的兩根是3，2.由根與系數(shù)的關(guān)系可知(2)(3)，即k.(2)因?yàn)閤0，f(x)，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào).由已知f(x)t對(duì)任意x0恒成立，故t，即t的取值范圍是.12.(2017·天津卷)電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長、廣告播放時(shí)長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時(shí)長(分鐘)廣告播放時(shí)長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x，y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分的整數(shù)點(diǎn)：(2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z60x25y.考慮z60x25y，將它變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時(shí)，z的值最大.又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖2可知，當(dāng)直線z60x25y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大.解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，3).所以，電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多.14