第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列 考情考向·高考導(dǎo)航1等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及基本運(yùn)算是每年高考的熱點(diǎn)，在考查基本運(yùn)算的同時(shí)，也注重考查對函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用2對等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的考查主要是求解數(shù)列的等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和真題體驗(yàn)1(2019·全國卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15，且a53a34a1，則a3()A16 B8C4 D2解析：C應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式解題時(shí)，要注意公比是否等于1，防止出錯(cuò)設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q，則解得a3a1q24，故選C.2(2016·天津卷)設(shè)an是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n1a2n<0”的()A充要條件 B充分而不必要條件C必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：C設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，則a2n1a2na1q2n2a1q2n1a1q2n2(1q)，當(dāng)q<0，因?yàn)?q的符號不確定，所以無法判斷a2n1a2n的符號；反之，若a2n1an<0，即a1q2n2(1q)<0，即q<1<0，故“q<0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n1a2n<0”的必要不充分條件3(2019·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S9a5.(1)若a34，求an的通項(xiàng)公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范圍解：(1)設(shè)an的公差為d，由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通項(xiàng)公式為an102n.(2)由(1)得a14d，故an(n5)d，Sn.由a10知d0，故Snan等價(jià)于n21ln100，解得1n10，所以n的取值范圍是n|1n10，nN主干整合1等差數(shù)列(1)通項(xiàng)公式：ana1(n1)d；(2)求和公式：Snna1d；(3)性質(zhì)：若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差數(shù)列2等比數(shù)列(1)通項(xiàng)公式：ana1qn1(q0)；(2)求和公式：q1，Snna1；q1，Sn；(3)性質(zhì)：若m，n，p，qN*，且mnpq，則am·anap·aq；anam·qnm；Sm，S2mSm，S3mS2m，(Sm0)成等比數(shù)列熱點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算題組突破1(2019·寧波三模)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，若a1·a6·a113，b1b6b117，則tan的值是()AB1C D.解析：A依題意得，a()3,3b67，a6，b6，又，故tantantantan，選A.2(2020·廣州調(diào)研)已知等比數(shù)列an公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，則q3等于()A B1C或1 D1或解析：A若q1，則3a16a12×9a1，得a10，矛盾，故q1.所以2，解得q3或1(舍)，故選A.3(2019·淄博三模)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，(n1)SnnSn1(nN*)若1，則()ASn的最大值是S8 BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7 DSn的最小值是S7解析：D由(n1)SnnSn1得(n1)·n·，整理得anan1，所以等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，又1，所以a80，a70，所以數(shù)列an的前7項(xiàng)為負(fù)值，即Sn的最小值是S7.等差、等比數(shù)列基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)基本量：在等差(比)數(shù)列中，首項(xiàng)a1和公差d(公比q)是兩個(gè)基本元素；(2)解題思路：設(shè)基本量a1和d(q)；列、解方程(組)；把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少計(jì)算量熱點(diǎn)二等差(比)數(shù)列的判斷與證明例1(2020·龍巖質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足an3an1k3n1(nN*，n2，kR)(1)設(shè)a11，k0，證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)對任意kR，是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得bn(ant)(nN*)且bn為等差數(shù)列？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由解析(1)證明：當(dāng)k0時(shí)，an3an11，所以an3an13，即3，又a10，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列(2)當(dāng)n2時(shí)，bnbn1(ant)(an1t)(ant3an13t)(3an1k3n1t3an13t)(k3n12t)k.要使bn為等差數(shù)列，則必須使12t0，t，即對任意的kR，存在t，使bn為等差數(shù)列判斷和證明等差或等比數(shù)列的方法(1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，還有通項(xiàng)公式法及前n項(xiàng)和公式法，但不作為證明方法(2)若要判斷一個(gè)數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項(xiàng)不成等差(等比)數(shù)列即可；(3)aan1an1(n2，nN*)是an為等比數(shù)列的必要而不充分條件，也就是要注意判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.(2019·鄭州二模)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列bn中的b3，b4，b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列解析：(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3項(xiàng)為5，公比為2.由b3b1·22，即5b1·22，解得b1.所以bnb1·qn1·2n15·2n3，即數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn5·2n3.(2)由(1)得數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn5·2n2，即Sn5·2n2.由S1，2可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列熱點(diǎn)三等差與等比數(shù)列的綜合問題例2(2018·天津卷)設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)；bn是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn(nN*)已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整數(shù)n的值審題指導(dǎo)(1)利用條件求出等比數(shù)列的公比和等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差，寫出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出前n項(xiàng)和(2)由(1)知Tn2n1，將其拆成2n和1兩部分，2n是等比數(shù)列，易求和，1是常數(shù)，易求和，再結(jié)合Sn和已知條件，可求得n的值解析(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，由b11，b3b22，可得q2q20，因此為q0，可得q2，故bn2n1.所以，Tn2n1.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由b4a3a5，可得a13d4，由b5a42a6，可得3a113d16，從而a11，d1，故ann.所以，Sn.(2)由(1)，有T1T2Tn(21222n)nn2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn可得2n1n2n2n1，整理得n23n40，解得n1(舍)，或n4.所以，n的值為4.(1)關(guān)于等差、等比數(shù)列的綜合問題大多為兩者運(yùn)算的綜合題以及相互之間的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是求出兩個(gè)數(shù)列的基本量；首項(xiàng)和公差(或公比)，靈活運(yùn)用性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件，簡化運(yùn)算，準(zhǔn)確記憶相關(guān)的公式是解決此類問題的關(guān)鍵(2)求數(shù)列中的最大項(xiàng)，可以利用圖象或者數(shù)列的單調(diào)性求解，同時(shí)注意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別(2020·湖北八校聯(lián)考)已知等比數(shù)列an的公比q1，a12，且a1，a2，a38成等差數(shù)列，數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為.(1)分別求出數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知nN*，Snm恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值解析：(1)a12，且a1，a2，a38成等差數(shù)列，2a2a1a38，即2a1qa1a1q28，q22q30，q3或1，而q1，q3，an2·3n1.a1b1a2b2anbn，a1b1a2b2an1bn1，兩式相減得anbn2n·3n1(n2)an2·3n1，bnn(n2)，令n1，可求得b11，bnn.(2)數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，Sn·.N*，Snm恒成立，故實(shí)數(shù)m的最小值為.熱點(diǎn)四數(shù)列與傳統(tǒng)文化的交匯創(chuàng)新數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中的核心素養(yǎng)以學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，把現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題通過“建?！鞭D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題數(shù)列問題，進(jìn)而通過數(shù)學(xué)運(yùn)算來解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn).例3(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于12.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為()A3 f B3 fC12 f D12 f解析D由題意可知，單音的頻率構(gòu)成以a1f為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，則a8a1q7f·()7f.故選D.涉及等比數(shù)列的數(shù)學(xué)文化題頻繁出現(xiàn)在考試試題中解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，掌握等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式(2020·銀川模擬)九章算術(shù)是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個(gè)問題及其解法，其中一個(gè)問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為()A.升 B.升C.升 D.升解析：A自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為a1，a2，a9，依題意有因?yàn)閍2a3a1a4，a7a92a8，故a2a3a8，故選A.限時(shí)45分鐘滿分74分一、選擇題(本大題共7小題，每小題5分，共35分)1(2019·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S40，a55，則()Aan2n5Ban3n10CSn2n28n DSnn22n解析：A設(shè)an的公差為d，則解得a13，d2.an3(n1)·22n5，Sn3n×2n24n，故選A.2(多選題)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7·a8>1，<0.則下列結(jié)論正確的是()A0<q<1 Ba7·a9>1CSn的最大值為S9 DTn的最大值為T7解析：AD本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)積的最值a1>1，a7·a8>1，<0，a7>1，a8<1，0<q<1，故A正確；a7a9a<1，故B錯(cuò)誤；a1>1,0<q<1，數(shù)列為遞減數(shù)列，Sn無最大值，故C錯(cuò)誤，又a7>1，a8<1，T7是數(shù)列Tn中的最大項(xiàng)，故D正確故選AD.3(2020·銀川模擬)我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬未一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上述的已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為()A6斤 B9斤C9.5斤 D12斤解析：A依題意，金箠由粗到細(xì)各尺的重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)a14，則a52，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2a4a1a56，所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤，故選A.4(2020·荊州質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足5an125·5an，且a2a4a69，則log(a5a7a9)等于()A3 B3C D.解析：A5an125·5an52an，an1an2，數(shù)列an是等差數(shù)列，且公差為2.a2a4a69，3a49，a43.log(a5a7a9)log3a7log3(a46)log273.5(2020·豫西五校聯(lián)考)在等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和是Sn，若S150，S160，則在，中最大的是()A. B.C. D.解析：B由于S1515a80，S168(a8a9)0，可得a80，a90. 這樣0，0，0，0，0，0，而0S1S2S8，a1a2a80，所以在，中最大的是.故選B.6(2020·洛陽聯(lián)考)數(shù)列an是以a為首項(xiàng)，b為公比的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn1a1a2an(n1,2，)，數(shù)列cn滿足cn2b1b2bn(n1,2，)，若cn為等比數(shù)列，則ab等于()A. B3C. D6解析：B由題意知，當(dāng)b1時(shí)，cn不是等比數(shù)列，所以b1.由anabn1，得bn11，則cn2n·2n，要使cn為等比數(shù)列，必有得ab3.7(2020·重慶二調(diào))已知a1，a2，a3，a4依次成等比數(shù)列，且公比q不為1，將此數(shù)列刪去一個(gè)數(shù)后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等差數(shù)列，則正數(shù)q的值是()A. B.C. D.解析：B因?yàn)楣萹不為1，所以刪去的數(shù)不是a1，a4.若刪去a2，則由2a3a1a4得2a1q2a1a1q3，又a10，所以2q21q3，整理得q2(q1)(q1)(q1)又q1，所以q2q1，又q0，得q；若刪去a3，則由2a2a1a4得2a1qa1a1q3，又a10，所以2q1q3，整理得q(q1)(q1)q1.又q1，則可得q(q1)1，又q0，得q.綜上所述，q，故選B.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)8(2020·資陽診斷)設(shè)數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則ab1ab2ab10值為_解析：依題意得an2(n1)×1n1，bn1×2n12n1，abnbn12n11，因此ab1ab2ab10(201)(211)(291)1021091 033.答案：1 0339(2019·北京卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a23，S510，則a5_，Sn的最小值為_解析：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)，難度不大，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算能力的考查等差數(shù)列an中，S55a310，得a32，a23，公差da3a21，a5a32d0，由等差數(shù)列an的性質(zhì)得n5時(shí)，an0，n6時(shí)，an大于0，所以Sn的最小值為S4或S5，即為10.答案：(1)0(2)1010(2019·益陽三模)設(shè)等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為整數(shù)，其公差d0，a56，若a3，a5，am(m5)是公比為q(q0)的等比數(shù)列，則m的值為_解析：由a3ama，(62d)6(m5)d36，得2d(m5)d3m210d0，(m5)d3m210，d3由m5，m，dZ知m5為6的正約數(shù)m5可取1,2,3,6當(dāng)m51，m6時(shí)，d3，q，當(dāng)m52，m7時(shí)，d0，不合題意，當(dāng)m53，m8時(shí)，d1，q當(dāng)m56，m11時(shí)，d2，q3，故m的值為6,8或11.答案：6,8或11三、解答題(本大題共2小題，每小題12分，共24分)11(2018·北京卷)設(shè)an是等差數(shù)列，且a1ln 2，a2a35ln 2.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求ea1ea2ean.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a2a35ln 2，a1da12d5ln 2，a1ln 2，dln 2，等差數(shù)列an中ana1(n1)dnln 2，annln 2，nN*.(2)由(1)知annln 2，eanenln 2eln2n2n，ean是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列ea1ea2eaneln 2eln 22eln 2n2222n2n12所求為ea1ea2ean2n12，nN*.12(2019·濰坊三模)設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)，bnlog2an，若數(shù)列bn滿足b20，bn1bnlog2p，其中p為正常數(shù)，且p1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若p2，設(shè)數(shù)列cn對任意的nN*，都有c1bnc2bn1c3bn2cnb12n成立，問數(shù)列cn是不是等比數(shù)列？若是，請求出其通項(xiàng)公式；若不是，請說明理由解析：(1)因?yàn)閎n1bnlog2p，所以bn1bnlog2p，所以數(shù)列bn是以log2p為公差的等差數(shù)列，又b20，所以bnb2(n2)(log2p)log2pn2，故由bnlog2an，得an2bn2log2pn2pn2.(2)因?yàn)閜2，由(1)得bnn2，所以c1(n2)c2(n3)c3(n4)cn(1)2n，則c1(n1)c2(n2)c3(n3)cn1(1)2(n1)，由，得c1c2c3cncn12，所以c1c2c3cncn1cn22，再由，得2cn1cn2，即2(nN*)，所以當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列cn成等比數(shù)列，又由式，可得c12，c24，則2，所以數(shù)列cn一定是等比數(shù)列，且cn2n.- 12 -