第七章 立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖1簡單幾何體(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且相等多邊形互相平行側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法(2)規(guī)則：原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45°(或135°)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線說明：正視圖也稱主視圖，側(cè)視圖也稱左視圖(2)作、看三視圖的3原則位置原則：度量原則：長對正、高平齊、寬相等(即正俯同長、正側(cè)同高、俯側(cè)同寬)虛實(shí)原則：輪廓線現(xiàn)則實(shí)、隱則虛1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐()(3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分()(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱()(5)上下底面是兩個(gè)平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺()答案：(1)×(2)×(3)(4)×(5)×2用一個(gè)平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是()解析：選B俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B.3若一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個(gè)三棱柱的高和底面邊長分別為()A2,2B2，2C4,2 D2,4解析：選D由三視圖可知，正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為2，故底面邊長為4，故選D.4(教材習(xí)題改編)如圖，長方體ABCD ­ABCD被截去一部分，其中EHAD，則剩下的幾何體是_，截去的幾何體是_答案：五棱柱三棱柱5利用斜二測畫法得到的三角形的直觀圖一定是三角形；正方形的直觀圖一定是菱形；等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；菱形的直觀圖一定是菱形以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是_解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知正確；錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；錯(cuò)誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，也錯(cuò)誤，故結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為1.答案：1考什么·怎么考空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)知識，很少單獨(dú)考查.多作為載體與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低.1用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()A圓柱B圓錐C球體 D圓柱、圓錐、球體的組合體解析：選C截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體2給出下列幾個(gè)命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選B錯(cuò)誤，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；正確；錯(cuò)誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等3給出下列命題：棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；在四棱柱中，若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體其中正確命題的序號是_解析：不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；正確，如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1中的三棱錐C1­ABC，四個(gè)面都是直角三角形答案：怎樣快解·準(zhǔn)解空間幾何體概念辨析題的常用方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定反例法通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.考什么·怎么考單獨(dú)考查空間幾何體的直觀圖的題目很少，多與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低.1.用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來的圖形是()解析：選A由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對角線長為，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對角線長為2.故選A.2已知正三角形ABC的邊長為2，那么ABC的直觀圖ABC的面積為_解析：如圖，圖、圖分別表示ABC的實(shí)際圖形和直觀圖從圖可知，ABAB2，OCOC，CDOCsin 45°×.所以SABCAB·CD×2×.答案：3.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為_ cm2.解析：依題意可知BAD45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底的長分別與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2.答案：8怎樣快解·準(zhǔn)解1原圖形與直觀圖中的“三變”與“三不變”(1)“三變”(2)“三不變”2原圖形與直觀圖面積的關(guān)系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：(1)S直觀圖S原圖形；(2)S原圖形2S直觀圖題點(diǎn)全練角度(一)已知幾何體，識別三視圖1.(2018·河北衡水中學(xué)調(diào)研)如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，用過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為()解析：選C如圖所示，過點(diǎn)A，E，C1的截面為AEC1F，則剩余幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)C中的圖形題型技法識別三視圖的步驟(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對于簡單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置角度(二)已知三視圖，判斷幾何體2(2017·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A3B2C2 D2解析：選B在正方體中還原該四棱錐如圖所示，從圖中易得最長的棱為AC12.題型技法由三視圖確定幾何體的3步驟熟練掌握規(guī)則幾何體的三視圖是三視圖還原幾何體的基礎(chǔ)，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決此類問題：角度(三)已知幾何體三視圖中的某兩個(gè)視圖，確定另外一個(gè)視圖3如圖，一個(gè)三棱柱的正視圖和側(cè)視圖分別是矩形和正三角形，則這個(gè)三棱柱的俯視圖為()解析：選D由正視圖和側(cè)視圖可知，這是一個(gè)水平放置的正三棱柱故選D.題型技法由幾何體的部分視圖畫出剩余視圖的方法解決此類問題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn)題“根”探求根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，常見的有以下幾類三視圖的形狀對應(yīng)的幾何體三個(gè)三角形三棱錐兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形四棱錐兩個(gè)三角形，一個(gè)圓圓錐一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形三棱柱三個(gè)四邊形四棱柱兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓圓柱沖關(guān)演練1(2018·惠州調(diào)研)如圖所示，將圖中的正方體截去兩個(gè)三棱錐，得到圖中的幾何體，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()解析：選B從幾何體的左側(cè)看，對角線AD1在視線范圍內(nèi)，故畫為實(shí)線，右側(cè)面的棱C1F不在視線范圍內(nèi)，故畫為虛線，且上端點(diǎn)位于幾何體上底面邊的中點(diǎn)故選B2.(2018·石家莊質(zhì)檢)一個(gè)三棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)(左)視圖可能為()解析：選D由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD平面BCD，故選D.3.(2017·全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A10B12C14 D16解析：選B由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個(gè)面是梯形，這些梯形的面積之和為×212，故選B.(一)普通高中適用作業(yè)A級基礎(chǔ)小題練熟練快1.如圖，ABO是利用斜二測畫法畫出的ABO的直觀圖，已知ABy軸，OB4，且ABO的面積為16，過A作ACx軸，則AC的長為()A2B.C16 D1解析：選A因?yàn)锳By軸，所以ABO中，ABOB.又因?yàn)锳BO的面積為16，所以AB·OB16.因?yàn)镺BOB4，所以AB8，所以AB4.因?yàn)锳COB于C，所以BCAC，所以AC4·sin 45°2，故選A.2一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()解析：選B由直觀圖可知，該幾何體由一個(gè)長方體和一個(gè)截角三棱柱組成從上往下看，外層輪廓線是一個(gè)矩形，矩形內(nèi)部是一條水平線段連接兩個(gè)三角形，故選B.3若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()解析：選D由三視圖知該幾何體的上半部分是一個(gè)三棱柱，下半部分是一個(gè)四棱柱故選D.4.在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖為()解析：選D由正視圖與俯視圖知，幾何體是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓錐的組合體，故側(cè)視圖為D.5.如圖，在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P ­BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為()A11 B21C23 D32解析：選A根據(jù)題意，三棱錐P ­BCD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高；側(cè)視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高故三棱錐P ­BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為11.6某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是()A2 B.C. D3解析：選D根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖如圖所示，則體積V××2×x3，解得x3，故選D.7設(shè)有以下四個(gè)命題：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；底面是矩形的平行六面體是長方體；直四棱柱是直平行六面體；棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)其中真命題的序號是_解析：命題符合平行六面體的定義，故命題是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題是錯(cuò)誤的；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅?，故命題是錯(cuò)誤的；命題由棱臺的定義知是正確的答案：8一個(gè)圓臺上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線長為12 cm，則這個(gè)圓臺的母線長為_cm.解析：如圖，過點(diǎn)A作ACOB，交OB于點(diǎn)C.在RtABC中，AC12(cm)，BC835 (cm)AB13(cm)答案：139已知正四棱錐V­ABCD中，底面面積為16，一條側(cè)棱的長為2，則該棱錐的高為_解析：如圖，取正方形ABCD的中心O，連接VO，AO，則VO就是正四棱錐V­ABCD的高因?yàn)榈酌婷娣e為16，所以AO2.因?yàn)橐粭l側(cè)棱長為2.所以VO6.所以正四棱錐V­ABCD的高為6.答案：610已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的幾何體的形狀給出下列命題：矩形；有三個(gè)面為直角三角形，有一個(gè)面為等腰三角形的四面體；兩個(gè)面都是等腰直角三角形的四面體其中正確命題的序號是_解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖為如圖所示的四棱柱ABCD­A1B1C1D1，當(dāng)選擇的4個(gè)點(diǎn)是B1，B，C，C1時(shí)，可知正確；當(dāng)選擇的4個(gè)點(diǎn)是B，A，B1，C時(shí)，可知正確；易知不正確答案：B級中檔題目練通抓牢1用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是()A8 B7C6 D5解析：選C畫出直觀圖可知，共需要6塊2.將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析：選B如圖所示，由正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體是由長方體ABCD­A1B1C1D1截去三棱錐B1­A1BC1得到的，故其側(cè)視圖為選項(xiàng)B.3已知四棱錐P­ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P­ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是()A3 B2C6 D8解析：選C四棱錐如圖所示，取AD的中點(diǎn)N，BC的中點(diǎn)M，連接PM，PN，則PN，PM3，SPAD×4×2，SPABSPDC×2×33，SPBC×4×36.所以四個(gè)側(cè)面中面積最大的是6.4已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個(gè)視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為_解析：由題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長方體中形狀如圖所示(圖中棱錐P­ABC)，利用長方體模型可知，此三棱錐的四個(gè)面全部是直角三角形答案：45.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處若該小蟲爬行的最短路程為4 m，則圓錐底面圓的半徑等于_ m.解析：把圓錐側(cè)面沿過點(diǎn)P的母線展開成如圖所示的扇形，由題意OP4，PP4，則cosPOP，所以POP.設(shè)底面圓的半徑為r，則2r×4，所以r.答案：6已知正三棱錐V ­ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積解：(1)直觀圖如圖所示(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC2，側(cè)視圖中VA 2，SVBC×2×26.7.如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA.解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對角線)邊長為6 cm的正方形，如圖，其面積為36 cm2.(2)由側(cè)視圖可求得PD6.由正視圖可知AD6，且ADPD，所以在RtAPD中，PA 6 cm.C級重難題目自主選做1(2018·泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是()A圓弧 B拋物線的一部分C橢圓的一部分 D雙曲線的一部分解析：選D根據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D.2.一只螞蟻從正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點(diǎn)C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖的是()A BC D解析：選D由點(diǎn)A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點(diǎn)C1的位置，共有6種路線(對應(yīng)6種不同的展開方式)若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過BB1的中點(diǎn)，此時(shí)對應(yīng)的正視圖為；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過CD的中點(diǎn)，此時(shí)對應(yīng)的正視圖為.而其他幾種展開方式對應(yīng)的正視圖在題中沒有出現(xiàn)故選D.(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級保分題目巧做快做1.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是()解析：選B根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，俯視圖為B，故選B.2.已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是正方體ABCD­A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N，Q，P分別在線段DF，AG，BE，C1B1上以M，N，Q，P為頂點(diǎn)的三棱錐P­MNQ的俯視圖不可能是()解析：選C當(dāng)M與F重合，N與G重合，Q與E重合，P與B1重合時(shí)，三棱錐P­MNQ的俯視圖為A；當(dāng)M，N，Q，P是所在線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P­MNQ的俯視圖為B；當(dāng)M，N，Q，P位于所在線段的非端點(diǎn)位置時(shí)，存在三棱錐P­MNQ，使其俯視圖為D.故選C.3.已知一個(gè)三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()解析：選C由已知條件得直觀圖如圖所示，PC底面ABC，正視圖是直角三角形，中間的線是看不見的線PA形成的投影，應(yīng)為虛線，故選C.4某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，它的俯視圖的直觀圖是如圖2所示的矩形O1A1B1C1，其中O1A16，O1C12，則該幾何體的側(cè)面積為()A48B64C96 D128解析：選C由題意可知該幾何體是一個(gè)直四棱柱，它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，O1A16，O1C12，它的俯視圖是邊長為6的菱形，棱柱的高為4，故該幾何體的側(cè)面積為4×6×496.5已知四棱錐P­ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P­ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是()A3B2C6 D8解析：選C四棱錐如圖所示，取AD的中點(diǎn)N，BC的中點(diǎn)M，連接PM，PN，則PN，PM3，SPAD×4×2，SPABSPDC×2×33，SPBC×4×36.所以四個(gè)側(cè)面中面積最大的是6.6一個(gè)圓臺上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線長為12 cm，則這個(gè)圓臺的母線長為_cm.解析：如圖，過點(diǎn)A作ACOB，交OB于點(diǎn)C.在RtABC中，AC12(cm)，BC835 (cm)AB13(cm)答案：137已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個(gè)視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為_解析：由題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長方體中形狀如圖所示(圖中棱錐P­ABC)，利用長方體模型可知，此三棱錐的四個(gè)面全部是直角三角形答案：48.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處若該小蟲爬行的最短路程為4 m，則圓錐底面圓的半徑等于_ m.解析：把圓錐側(cè)面沿過點(diǎn)P的母線展開成如圖所示的扇形，由題意OP4，PP4，則cosPOP，所以POP.設(shè)底面圓的半徑為r，則2r×4，所以r.答案：9.如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；(2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積；(3)求出該幾何體的體積解：(1)由題意可知該幾何體為正六棱錐(2)其側(cè)視圖如圖所示，其中ABAC，ADBC，且BC的長是俯視圖中的正六邊形對邊的距離，即BCa，AD的長是正六棱錐的高，即ADa，該平面圖形的面積S·a·aa2.(3)V×6×a2×aa3.10已知正三棱錐V ­ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積解：(1)直觀圖如圖所示(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC2，側(cè)視圖中VA 2，SVBC×2×26.B級拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1(2018·邵陽模擬)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的六條棱中，長度最長的棱的長是()A2B2C2 D4解析：選C由三視圖可知該四面體的直觀圖如圖所示其中AC2，PA2，ABC中，邊AC上的高為2，所以BC2，AB4，而PB2，PC2，因此在四面體的六條棱中，長度最長的是BC，其長為2，選C.2(2018·泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是()A圓弧 B拋物線的一部分C橢圓的一部分 D雙曲線的一部分解析：選D根據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D.3.一只螞蟻從正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點(diǎn)C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖的是()A BC D解析：選D由點(diǎn)A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點(diǎn)C1的位置，共有6種路線(對應(yīng)6種不同的展開方式)若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過BB1的中點(diǎn)，此時(shí)對應(yīng)的正視圖為；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過CD的中點(diǎn)，此時(shí)對應(yīng)的正視圖為.而其他幾種展開方式對應(yīng)的正視圖在題中沒有出現(xiàn)故選D.4某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個(gè)三角形均為直角三角形，則xy的最大值為_解析：由三視圖知三棱錐如圖所示，底面ABC是直角三角形，ABBC，PA平面ABC，BC2，PA2y2102，(2)2PA2x2，因此xyxx64，當(dāng)且僅當(dāng)x2128x2，即x8時(shí)取等號，因此xy的最大值是64.答案：645.如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA.解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對角線)邊長為6 cm的正方形，如圖，其面積為36 cm2.(2)由側(cè)視圖可求得PD6.由正視圖可知AD6，且ADPD，所以在RtAPD中，PA 6 cm.6四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.(1)求四面體ABCD的體積；(2)證明：四邊形EFGH是矩形解：(1)由題意，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，BDDCD，AD平面BDC，四面體ABCD的體積V××2×2×1.(2)證明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，又平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，F(xiàn)GEH.同理，EFAD，HGAD，EFHG，四邊形EFGH是平行四邊形AD平面BDC，ADBC，EFFG，四邊形EFGH是矩形第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積1圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺側(cè)(rr)l2空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VSh臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2S.()(2)錐體的體積等于底面面積與高之積()(3)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差()(4)球的體積之比等于半徑之比的平方()答案：(1)×(2)×(3)(4)×2一個(gè)球的表面積是16，那么這個(gè)球的體積為()A.B.C16 D24解析：選B設(shè)球的半徑為R，則由4R216，解得R2，所以這個(gè)球的體積為R3.3如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A20 B24C28 D32解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由圖得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.4(教材習(xí)題改編)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為2，高為的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故h3，所以該幾何體的體積VS·h×33.答案：35正三棱柱ABC­A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A­B1DC1的體積為_解析：如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，ADBC，ADBB1，BB1BCB，AD平面B1DC1.VA­B1DC1SB1DC1·AD××2××1.答案：1空間幾何體的表面積在高考中的考查多以三視圖的形式給出，考查的載體多為柱體、錐體、球和簡單組合體.題型為選擇題或填空題，難度中等.求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何問題的主要出發(fā)點(diǎn).典題領(lǐng)悟1(2016·全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A1836B5418C90 D81解析：選B由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×33×63×3)×25418.2.(2015·全國卷)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為1620，則r()A1 B2C4 D8解析：選B如圖，該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S×4r2r24r2r·2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故選B.解題師說1三類幾何體表面積的求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積2避免兩類失誤(1)因?qū)缀误w的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不準(zhǔn)，混淆幾何體側(cè)面的邊長與三視圖中有關(guān)數(shù)據(jù)的關(guān)系而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤一定要熟記三視圖中的數(shù)據(jù)反應(yīng)的是空間幾何體的長、寬、高，而不一定是空間幾何體的棱長(如典題領(lǐng)悟第1題，易誤認(rèn)為側(cè)棱長為6而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤)(2)在審視組合體的圖形時(shí)，圖形結(jié)構(gòu)特征審視不準(zhǔn)致誤(如典題領(lǐng)悟第2題中的幾何體是一個(gè)半球和一個(gè)半圓柱的組合體，求表面積時(shí)，應(yīng)去掉兩幾何體的接觸面)沖關(guān)演練1(2018·沈陽質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積是()A366 B363C54 D27解析：選A由三視圖知該幾何體的表面積為S2××(24)×32×34×32×3×366.2(2018·湖南五市十校聯(lián)考)如圖，小方格是邊長為1的正方形，一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A496 B(26)96C(44)64 D(44)96解析：選D由三視圖知，該幾何體為一個(gè)圓錐和一個(gè)正方體的組合體，正方體的棱長為4，圓錐的高為4，底面半徑為2，所以該幾何體的表面積S6×42×22×2×(44)96.3(2018·安徽江南十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖的下半部分曲線為半圓弧，則該幾何體的表面積為()A4164 B5164C4162 D5162解析：選D由三視圖可知該幾何體是一個(gè)正三棱柱和一個(gè)半圓柱的組合體，三棱柱的兩個(gè)側(cè)面面積之和為2×4×216，兩個(gè)底面面積之和為2××2×2；半圓柱的側(cè)面積為×44，兩個(gè)底面面積之和為2×××12，所以幾何體的表面積為5162，故選D.高考中空間幾何體體積的考查是幾何體相關(guān)問題中出現(xiàn)頻率較高的，主要考查由三視圖求相關(guān)幾何體的體積.高考中主要以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度中等.典題領(lǐng)悟1(2017·全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A90B63C42 D36解析：選B法一：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V×32×10××32×663.法二：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，其體積等價(jià)于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積，所以它的體積V×32×763.2(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.1 B.3C.1 D.3解析：選A由幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個(gè)底面為直角邊長為的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，故該幾何體的體積V×××12×3××××31.3(2017·山東高考)由一個(gè)長方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_解析：該幾何體由一個(gè)長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個(gè)底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成，故該幾何體的體積V2×1×12×××12×12.答案：2解題師說1處理體積問題的思路2求體積的常用方法直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算割補(bǔ)法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換.沖關(guān)演練1(2017·北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A60 B30C20 D10解析：選D如圖，把三棱錐A­BCD放到長方體中，長方體的長、寬、高分別為5,3,4，BCD為直角三角形，直角邊分別為5和3，三棱錐A­BCD的高為4，故該三棱錐的體積V××5×3×410.2一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.B.C. D1解析：選C由三視圖知，四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為×12×1××3.3某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為()A. B.C. D3解析：選A根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示則該幾何體的體積是V幾何體V三棱柱V三棱錐×2×1×1××2×1×1.題點(diǎn)全練角度(一)球與柱體的切、接問題1已知直三棱柱ABC-A1 B1 C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1 =12，則球O的半徑為( )A.B2C. D3解析：選C如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半徑ROA .2.(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_解析：設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以.答案：角度(二)球與錐體的切、接問題3已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為()A. B.1C. D.1解析：選D如圖，過點(diǎn)P作PD平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長交BC于點(diǎn)E，連接PE，ABC是正三角形，AE是BC邊上的高和中線，D為ABC的中心AB2，SABC3，DE1，PE.S表3××2×333.PD1，三棱錐的體積V×3×1.設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，三棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，則r1.4(2017·全國卷)已知三棱錐S ­ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐S ­ABC的體積為9，則球O的表面積為_解析：如圖，連接AO，OB，SC為球O的直徑，點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AO平面SCB，設(shè)球O的半徑為R，則OAOBR，SC2R.VS ­ABCVA­SBC×SSBC×AO××AO，即9××R，解得 R3，球O的表面積為S4R24×3236.答案：36題“根”探求1解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：2有關(guān)幾何體外接球、內(nèi)切球計(jì)算問題的常用結(jié)論(1)球(半徑為R)與正方體(設(shè)棱長為a)有以下三種特殊情形：球內(nèi)切于正方體，此時(shí)2Ra；球與正方體的棱相切，此時(shí)2Ra；球外接于正方體，此時(shí)2Ra.(2)長、寬、高分別為a，b，c的長方體的體對角線長等于其外接球的直徑，即2R.(3)棱長為a的正四面體，斜高為a，高為a，其外接球的半徑為a，內(nèi)切球的半徑為a.(4)三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球：如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，那么可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心；如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，那么可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體，長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心(5)求一個(gè)棱錐內(nèi)切球的半徑，可以根據(jù)球心到各個(gè)面的距離相等以及棱錐的體積列式得出也可以先找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決，作截面時(shí)主要抓住棱錐過球心的對角面來作(6)求一個(gè)幾何體的外接球的半徑，可以結(jié)合球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等列式得出(7)球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作軸截面解題，球與多面體的組合通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”)作截面解題此類問題在計(jì)算時(shí)，經(jīng)常用到截面圓如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O的半徑為r，M為截面圓上任一點(diǎn)，球心O到截面圓O的距離為d，則在RtOOM中，OM2OO2OM2，即R2d2r2.沖關(guān)演練1(2017·天津高考)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_解析：由正方體的表面積為18，得正方體的棱長為.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R3，R，所以這個(gè)球的體積為R3×.答案：2一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于_解析：該幾何體為直三棱柱，底面是邊長分別為6,8,10的直角三角形，側(cè)棱長為12，故能得到的最大球的半徑等于底面直角三角形內(nèi)切圓的半徑，其半徑為r2.答案：23已知一個(gè)四面體的一條邊長為，其余邊長均為2，則此四面體的外接球的半徑為_解析：由題意畫出幾何體的圖形如圖所示，取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，DO，則AOBC，DOBC.AODOO，BC平面AOD.又OAOD，AD，OA2OD2AD2，AODO，該四面體的外接球的球心在AD的中點(diǎn)E與點(diǎn)O的連線上，設(shè)球心為G，球的半徑為R，即GAGBGCGD，又G在線段OE上，AG2AE2EG2，BG2BO2GO2，EOEGGO，解得R，故此四面體的外接球的半徑為.答案：(一)普通高中適用作業(yè)A級基礎(chǔ)小題練熟練快1(2018·江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A48B48C482 D482解析：選A該幾何體是正四棱柱挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S2×2×24×2×5×122×1248，故選A.2如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17 B18C20 D28解析：選A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為R，則R3×R3，解得R2.因此它的表面積為×4R2R217.3.九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛解析：選B設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r8，所以r，所以米堆的體積為V××r2×5×2×5(立方尺)故堆放的米約有÷1.6222(斛)4一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B.C. D.解析：選D由三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1××1×1×1，剩余部分的體積V213.所以.5一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點(diǎn)M是AB上的動點(diǎn)，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF­BCE的體積為V2，則()A. B.C. D.解析：選B由三視圖可知多面體ADF­BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長均為a.M是AB上的動點(diǎn)，且易知AB平面DFEC，點(diǎn)M到平面DFEC的距離等于點(diǎn)B到平面DFEC的距離，距離為a，V1VE­FMCVM­EFC·a·a·a，又V2a·a·a，故.6(2018·廣東五校協(xié)作體第一次診斷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A.1 B.C.1 D.1解析：選C由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱和半個(gè)圓錐的組合體，故其表面積為12×21，故選C.7某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為_解析：由題意知該四棱柱為直四棱柱，其高為1，底面為上底長為1，下底長為2，高為1的等腰梯形，所以該四棱柱的體積為V×1.答案：8圓臺的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84，則圓臺較小底面的半徑為_解析：設(shè)圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S(r3r)·384，解得r7.答案：79一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_解析：由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h.由題意，得×6××22×h2，h1，斜高h(yuǎn)2，S側(cè)6××2×212.答案：1210.已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_解析：由正視圖知三棱錐的形狀如圖所示，且ABADBCCD2，BD2，設(shè)O為BD的中點(diǎn)，連接OA，OC，則OABD，OCBD，結(jié)合正視圖可知AO平面BCD.又OC1，V三棱錐A­BCD××1.答案：B級中檔題目練通抓牢1如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1 cm，粗線為某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A2 cm3 B4 cm3C6 cm3 D8 cm3解析：選B由三視圖知幾何體是一個(gè)以俯視圖中的直角梯形為底面，高h(yuǎn)2 cm的四棱錐由三視圖中的數(shù)據(jù)得四棱錐的底面面積S×(24)×26(cm2)，所以其體積VSh×6×24(cm3)2一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為()A64 B64C6416 D64解析：選A由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)正方體中間挖去兩個(gè)頂點(diǎn)相接的圓錐，其中，兩個(gè)圓錐的體積和是V錐Sh××22×4，VV正方體V錐4364.3(2018·江西七校聯(lián)考)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，將ABE，ECF，F(xiàn)DA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是()A6 B12C18 D9解析：選C因?yàn)锳PEEPFAPF90°，所以可將四面體補(bǔ)成一個(gè)長方體(PA，PE，PF是從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱)，則四面體和補(bǔ)全的長方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R3，故該球的表面積S4R24218.4一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_解析：該幾何體可視為正方體截去兩個(gè)三棱錐所得，如圖所示，所以其體積為23××2×2×2××1×1×1.答案：5已知四棱錐P­ABCD的