8.1.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.通過向量數(shù)量積的定義給出向量數(shù)量積的運(yùn)算律(難點(diǎn))2.能利用運(yùn)算律進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算(重點(diǎn)，難點(diǎn))1.通過向量加法與數(shù)乘運(yùn)算律得到數(shù)量積的運(yùn)算律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)2.利用平面向量的運(yùn)算律進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).1.兩個(gè)向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·bb·a.(2)結(jié)合律：(a)·b(a·b)(R)(3)分配律：(ab)·ca·cb·c.思考1：根據(jù)實(shí)數(shù)乘法的分配律，得到向量數(shù)量積的分配律：(1)實(shí)數(shù)a，b，c的乘法分配律：(ab)·c_.(2)向量a，b的數(shù)量積的分配律：(ab)·c_.提示(1)acbc(2)a·cb·c2.重要公式：平方差公式(ab)(ab)a2b2完全平方公式(a±b)2a2±2a·bb2思考2：根據(jù)實(shí)數(shù)的乘法公式，得到向量數(shù)量積的公式：(1)平方差公式：(ab)(ab)_；向量數(shù)量積公式：(ab)(ab)_.(2)完全平方公式：(a±b)2_；向量數(shù)量積公式：(a±b)2_.提示(1)a2b2 ；a2b2(2)a2±2abb2；a2±2a·bb21.下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是() 0·a0；a·bb·a；a2|a|2；|a·b|a·b；(a·b)2a2·b2.A1B2C3D4C正確，錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，(a·b)2(|a|b|·cos )2a2·b2cos 2 a2·b2，選C2.已知|a|1，|b|1，|c|，a與b的夾角為90°，b與c的夾角為45°，則a·(b·c)的化簡(jiǎn)結(jié)果是()A0Ba CbDcBb·c|b|c|cos 45°1.a·(b·c)a.3.已知|a|2，|b|1，a與b之間的夾角為60°，那么向量|a4b|2()A2B2 C6D12D|a4b|2a28a·b16b2228×2×1×cos 60°16×1212.4設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結(jié)論：a·cb·c(ab)·c；(b·c)·a(c·a)·b不與c垂直；|a|b|<|ab|；(3a2b)·(3a2b)9|a|24|b|2.其中正確的序號(hào)是_根據(jù)向量積的分配律知正確；因?yàn)?b·c)·a(c·a)·b·c(b·c)·(a·c)(c·a)·(b·c)0，(b·c)·a(c·a)·b與c垂直， 錯(cuò)誤；因?yàn)閍，b不共線，所以|a|，|b|，|ab|組成三角形三邊，|a|b|<|ab|成立，正確；正確故正確命題的序號(hào)是.利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算【例1】(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP3，則·_.(2)(2019·東營(yíng)高一檢測(cè))已知e1，e2是互相垂直的單位向量，ae1e2，be1e2.若ab，求實(shí)數(shù)的值；若a與b的夾角為60°，求實(shí)數(shù)的值思路探究(1)利用向量垂直的充要條件轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積計(jì)算(2)利用平面向量的數(shù)量積公式以及運(yùn)算律，解方程求參數(shù)的值(1)18在平行四邊形ABCD中，得，.由APBD，垂足為P，且AP3，得··()0··.所以··()··2·2·2|cos，2|218.(2)解由ab, 得a·b0，則(e1e2)·(e1e2)0，得ee1·e2e1·e2e0，0，所以.因?yàn)閑1e2與e1e2的夾角為60°，所以cos e1e2，e1e2，且·ee1·e2e1·e2e，|e1e2|2，|e1e2|，2××cos 60°，解得.利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算的注意事項(xiàng)(1)計(jì)算(ab)·(ab)，可以類比多項(xiàng)式乘法運(yùn)算律，注意實(shí)數(shù)的乘法、數(shù)乘向量和向量的數(shù)量積在表示和意義的異同.(2)三個(gè)實(shí)數(shù)的積滿足結(jié)合律(ab)ca(bc)(ac)b，而三個(gè)向量的“數(shù)量積”不一定滿足結(jié)合律，即下列等式不一定成立：(a·b)·ca·(b·c)(a·c)·b，這是因?yàn)樯鲜降谋举|(zhì)為cakb，當(dāng)三個(gè)向量不共線時(shí)，顯然等式不成立.1.已知ABC外接圓半徑是1，圓心為O，且3450，則·()ABCDC由3450，得534，兩邊平方，得2529216224·，因?yàn)锳BC外接圓半徑是1，圓心為O，所以2591624·，即·0.所以·(5)·()(34)·()(3·32424·).利用平面向量的數(shù)量積證明幾何問題【例2】如圖，已知ABC中，C是直角，CACB，D是CB的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE2EB求證：ADCE.思路探究借助平面向量垂直的充要條件解題，即通過計(jì)算·0完成證明證明設(shè)此等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a，則······a20a·a··a·a2a2a20.所以ADCE.利用向量法證明幾何問題的方法技巧(1)利用向量表示幾何關(guān)系，如位置關(guān)系、長(zhǎng)度關(guān)系，角度關(guān)系.(2)進(jìn)行向量計(jì)算，如向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算.(3)將向量問題還原成幾何問題，如向量共線與三點(diǎn)共線或者直線平行，向量的夾角與直線的夾角等.2.在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，A60°，E是線段CD上一點(diǎn)，滿足|2|，如圖所示，設(shè)a，b.(1)用a，b表示；(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)F滿足AFBE？若存在，確定F點(diǎn)的位置，并求|；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)根據(jù)題意得：b，a，ba；(2)結(jié)論：在線段BC上存在使得4|的一點(diǎn)F滿足AFBE，此時(shí)|.理由如下：設(shè)ttb，則(1t)b，(0t1)，atb，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，A60°，|a|b|1，a·b|a|b|cos 60°，AFBE，·(atb)·a·ba2tb2×t0，解得t，從而ab，|.1.向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘積運(yùn)算性質(zhì)的比較實(shí)數(shù)a，b，c向量a，b，ca0，a·b0b0a0，a·b0/ b0a·bb·c(b0)aca·bb·c(b0)/ ac|a·b|a|·|b|a·b|a|·|b|滿足乘法結(jié)合律不滿足乘法結(jié)合律2.知識(shí)導(dǎo)圖數(shù)量積運(yùn)算律1.已知|a|3，|b|2，則(ab)·(ab)()A2B3C5D5C因?yàn)閨a|3，|b|2，所以(ab)·(ab)a2b2945.2.已知ABCD中，|4，|3，N為DC的中點(diǎn)，2，則·()A2B5C6D8C·()·()·22×42×326.故選C3.已知向量|a|2|b|2，a與b的夾角為120°，則|a2b|()A2B3C4D6A因?yàn)橄蛄縷a|2|b|2，a與b的夾角為120°，則|a2b|2(a2b)2a24a·b4b244|a|b|cos 120°44.所以|a2b|2.4已知向量a與b的夾角為30°，且|a|1，|2ab|1，則|b|_.因?yàn)閨2ab|1，所以|2ab|24a2b24a·b4|b|24|b|cos 30°1，即|b|22|b|30，所以(|b|)20，所以|b|.7