第五章數(shù)列第1課時數(shù)列的概念及其簡單表示法理解數(shù)列的概念，認(rèn)識數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，探索并掌握數(shù)列的幾種簡單表示法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)；了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律，寫出其通項(xiàng)公式 了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式). 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù). 會利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式1. (必修5P34習(xí)題3改編)已知數(shù)列an滿足an4an13，且a10，則a 5_答案：255解析：a24a133，a34a234×3315，a44a334×15363，a54a434×633255.2. (必修5P34習(xí)題2改編)數(shù)列1，的一個通項(xiàng)公式是_答案：an(1)n解析：1，數(shù)列1，4，9，16，對應(yīng)通項(xiàng)n2，數(shù)列1，3，5，7，對應(yīng)通項(xiàng)2n1，數(shù)列1，1，1，1，對應(yīng)通項(xiàng)(1)n，故an(1)n.3. (必修5P48習(xí)題9改編)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn23n，則_答案：2解析： 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn23n， a1a2a3S3323×318，a4a5a6S6S336， 2.4. (必修5P34習(xí)題9改編)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann28n5，則這個數(shù)列的最小項(xiàng)是_答案： 11解析：由an(n4)211，可知n4時，an取最小值為11.5. (必修5P34習(xí)題5改編)已知數(shù)列，2，則4是這個數(shù)列的第_項(xiàng)答案：11解析：易知該數(shù)列的通項(xiàng)為，則有4，得n11，則4是這個數(shù)列的第11項(xiàng)1. 數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(xiàng)，通常也叫做首項(xiàng)2. 數(shù)列的分類項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列3. 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成是以正整數(shù)或其子集為定義域的函數(shù)anf(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值反過來，對于函數(shù)yf(x)，如果f(i)(i1，2，3，)有意義，那么可以得到一個數(shù)列f(n)4. 數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式anf(n)(n1，2，3，)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式可以看成數(shù)列的函數(shù)解析式5. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系是an備課札記,1由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)),1)根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：(1) 1，7，13，19，；(2) ，；(3) 1，0，0，0，0，；(4) 1，2，3，4，.解：(1) 偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式必含有因式(1)n，觀察各項(xiàng)的絕對值，后一項(xiàng)的絕對值總比它前一項(xiàng)的絕對值大6，故數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an(1)n(6n5)(2) 這是一個分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，每一項(xiàng)都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積故所求數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an.(3)將數(shù)列改寫為，則an.(4) 觀察不難發(fā)現(xiàn)11，222，333，一般地，ann.則ann.變式訓(xùn)練(1) 數(shù)列，的一個通項(xiàng)公式an_；(2) 該數(shù)列，的一個通項(xiàng)公式為_答案：(1) (1)n(2) 解析：(1) 這個數(shù)列前4項(xiàng)的絕對值都等于項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個通項(xiàng)公式為an(1)n.(2) 各項(xiàng)的分子為22，32，42，52，分母比分子大1，因此該數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an.,2由an與Sn關(guān)系求an),2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)an.(1) Sn3n1；(2) Sn2n1.解：(1) 當(dāng)n1時，a1S12.當(dāng)n2時，anSnSn12·3n1.當(dāng)n1時，an2符合上式 an2·3n1.(2) 當(dāng)n1時，a1S12113；當(dāng)n2時，anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1.當(dāng)n1時，an3不符合上式綜上有 an變式訓(xùn)練(1) 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n1，則an_；(2) 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式an_答案：(1) (2) (2)n1解析：(1) 當(dāng)n1時，a1S1314，當(dāng)n2時，anSnSn13n13n112·3n1. a14不適合上等式， an(2) 由Snan得，當(dāng)n2時，Sn1an1，兩式相減，得ananan1， 當(dāng)n2時，an2an1，即2.又n1時，S1a1a1，a11， an(2)n1.,3由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式),3)(1) 設(shè)數(shù)列an中，a12，an1ann1，則通項(xiàng)公式an_；(2) a11，anan1(n2，nN*)，通項(xiàng)公式an_；(3) 在數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式為an_答案：(1) 1(2) 2(nN*)(3) 解析：(1) 由題意得，當(dāng)n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a112，符合上式，因此an1.(2) 由anan1(n2)，得anan1(n2)則a2a1，a3a2，anan1.將上述n1個式子累加，得an2.當(dāng)n1時，a11也滿足，故an2(nN*)(3) 由題設(shè)知，a11.當(dāng)n>1時，anSnSn1anan1， ， ，3.以上n1個式子的等號兩端分別相乘，得到. a11， an.(1) 已知數(shù)列an滿足a11，an3n1an1(n2)，則an_(2) 已知數(shù)列an滿足a11，an·an1(n2)，則an_答案：(1) an(2) 解析：(1) 由a11，anan13n1(n2)，得a11，a2a131，a3a232，an1an23n2，anan13n1，以上等式兩邊分別相加得an13323n1.當(dāng)n1時，a11也適合， an.(2) an·an1 (n2)，an1·an2，a2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1····.當(dāng)n1時也滿足此等式， an.1. (2017·太原模擬)已知數(shù)列an滿足a11，anan1nanan1(nN*)，則an_答案：解析：由anan1nanan1得n，則由累加法得12(n1).因?yàn)閍11，所以1，所以an.2. 設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Snkn2n，nN*，其中k是常數(shù)若對于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比數(shù)列，則k的值為_答案：0或1解析： Snkn2n，nN*， 數(shù)列an是首項(xiàng)為k1，公差為2k的等差數(shù)列，an2kn1k.又對于任意的mN*都有aama4m，aa1a4，(3k1)2(k1)(7k1)，解得k0或1.又k0時，an1，顯然對于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比數(shù)列；k1時，an2n，am2m，a2m4m，a4m8m，顯然對于任意的mN*，am，a2m，a4m也成等比數(shù)列綜上所述，k0或1.3. 已知數(shù)列an滿足a11，an1an2n(nN*)，則a10等于_答案：32解析： an1an2n， an1an22n1，兩式相除得2.又a1a22，a11， a22，則···24，即a102532.4. 對于數(shù)列an，定義數(shù)列bn滿足：bnan1an(nN*)，且bn1bn1(nN*)，a31，a41，則a1_答案：8解析：b3a4a3112，由b3b21，得b23，而b2a3a23，得a24.又b2b11，則b14，而b1a2a14a14，則a18.5. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式an_答案：解析：當(dāng)n1時，a1S1a1， a11.當(dāng)n2時，anSnSn1anan1， . 數(shù)列an為首項(xiàng)a11，公比q的等比數(shù)列，故an()n1.1. 若ann2n3(其中為實(shí)常數(shù))，nN*，且數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_答案：(3，)解析：(解法1：函數(shù)觀點(diǎn))因?yàn)閍n為單調(diào)遞增數(shù)列， 所以an1>an，即(n1)2(n1)3>n2n3，化簡為>2n1對一切nN*都成立，所以>3.故實(shí)數(shù)的取值范圍是(3，)(解法2：數(shù)形結(jié)合法)因?yàn)閍n為單調(diào)遞增數(shù)列，所以a1<a2，要保證a1<a2成立，二次函數(shù)f(x)x2x3的對稱軸x應(yīng)位于1和2中點(diǎn)的左側(cè)，即<，亦即>3，故實(shí)數(shù)的取值范圍為(3，)2. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，an1Sn，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：由已知得a2，a3，a4.由a11，an1Sn，得anSn1，n2，故an1anSnSn1an，n2，得an1an，n2.又a11，a2，故該數(shù)列從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列，故an3. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn滿足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1) 求a1的值；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1) 由題設(shè)，S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.令n1，有S(1213)S13×(121)0，可得SS160，解得S13或2，即a13或2.又an為正數(shù)，所以a12.(2) 由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*可得，(Sn3)(Snn2n)0，則Snn2n或Sn3.又?jǐn)?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以Snn2n，Sn1(n1)2(n1)，所以當(dāng)n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又a12，所以an2n.4. 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*.(1) 設(shè)bnSn3n，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2) 若an1an，nN*，求a的取值范圍解：(1) 依題意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，即bn12bn.又b1S13a3，因此，所求通項(xiàng)公式為bn(a3)2n1，nN*.(2) 由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，當(dāng)n2時，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n22×3n1(a3)2n2，an1an4×3n1(a3)2n22n2.當(dāng)n2時，an1an12a30a9.又a2a13>a1，綜上，所求的a的取值范圍是9，3)(3，)1. 數(shù)列中的數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列的項(xiàng)和數(shù)集中元素的異同，數(shù)列可以看成是一個定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集的函數(shù)，因此在研究數(shù)列問題時，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性2. 根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)，需要仔細(xì)觀察分析，抓住特征：分式中分子、分母的獨(dú)立特征，相鄰項(xiàng)變化的特征，拆項(xiàng)后的特征，各項(xiàng)的符號特征和絕對值特征，并由此進(jìn)行歸納、聯(lián)想3. 通項(xiàng)an與其前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是一個十分重要的考點(diǎn)，運(yùn)用時不要忘記討論an備課札記第2課時等 差 數(shù) 列(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)8485頁)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能在具體的問題情境中用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題 理解等差數(shù)列的概念. 掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式. 理解等差中項(xiàng)的概念，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)1. (必修5P47習(xí)題5改編)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a12，S312，則a6_答案：12解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意知，3×23d12，得d2，則a62(61)×212.2. (必修5P48習(xí)題7改編)在等差數(shù)列an中，(1) 已知a4a142，則S17_；(2) 已知S1155，則a6_；(3) 已知S8100，S16392，則S24_答案：(1) 17(2) 5(3) 876解析：(1) S1717.(2) S1155， a65.(3) S8，S16S8，S24S16成等差數(shù)列， 100S243922×(392100)， S24876.3. (必修5P44練習(xí)6改編)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S55，S927，則S7_答案：14解析：由S5(a1a5)×2a3×5a35，得a31.由S9(a1a9)×2a5×9a527，得a53.從而S7(a1a7)×(a3a5)×4×14.4. (必修5P48習(xí)題11改編)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若a13，11a55a8，則使其前n項(xiàng)和Sn取最小值的n_答案：2解析： a13，11a55a8， d2， Snn24n(n2)24， 當(dāng)n2時，Sn最小5. (必修5P43例2改編)在等差數(shù)列an中，已知d，an，Sn，則a1_答案：3解析：由題意，得由得a1n2，代入得n27n300， n10或n3(舍去)， a13.1. 等差數(shù)列的定義(1) 文字語言：如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列(2) 符號語言：an1and(nN*)2. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)公式為ana1(n1)d推廣：anam(nm)d.3. 等差中項(xiàng)如果三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫a和b的等差中項(xiàng)，且有A4. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1) Snna1d(2) Sn5. 等差數(shù)列的性質(zhì)(1) 等差數(shù)列an中，對任意的m，n，p，qN*，若mnpq，則amanapaq特殊的，若mn2p，則aman2ap(2) 等差數(shù)列an中，依次每m項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，即Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列6. 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(nN)，則S偶S奇nd，；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n1(nN)，則S奇S偶an，.,1數(shù)列中的基本量的計(jì)算),1)(1) 設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S84a3，a72，則a9_；(2) 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S36，S412，則S6_答案：(1) 6(2) 30解析：(1) 設(shè)公差為d，則8a128d4a18d，即a15d，a7a16d5d6dd2，所以a9a72d6.(2) 設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由S36，S412，可得解得即S66a115d30.變式訓(xùn)練(1) 已知an是公差不為0 的等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若a2a3a4a5，S91，則a1的值是_；(2) 設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a27，S77，則a7的值為_答案：(1) (2) 13解析：(1) 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0) a2a3a4a5，S91， 解得a1.(2) 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d. a27，S77， 解方程組可得 a7a16d116×413.,2判斷或證明一個數(shù)列是否是等差數(shù)列),2)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Snan4.(1) 求證：an為等差數(shù)列；(2) 求an的通項(xiàng)公式(1) 證明：當(dāng)n1時，有2a1a14，即a2a130，解得a13或a11(舍去)當(dāng)n2時，有2Sn1an5.又2Snan4，兩式相減得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.若an1an1，則anan11，而a13，所以a22，這與數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此an為等差數(shù)列(2) 解：由(1)知a13，d1，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an3(n1)×1n2，即ann2.變式訓(xùn)練已知數(shù)列an滿足：a12，an13an3n12n.設(shè)bn.(1) 證明：數(shù)列bn為等差數(shù)列；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1) 證明： bn1bn1， 數(shù)列bn為等差數(shù)列(2) 解： b10， bnn1， an(n1)·3n2n.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1，判斷與an是否為等差數(shù)列，并說明你的理由解：因?yàn)閍nSnSn1(n2)，又an2SnSn10，所以SnSn12SnSn10(n2)，所以2(n2)因?yàn)镾1a1，所以是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列所以2(n1)×22n，故Sn.所以當(dāng)n2時，anSnSn1，所以an1，而an1an.所以當(dāng)n2時，an1an的值不是一個與n無關(guān)的常數(shù)，故數(shù)列an不是一個等差數(shù)列綜上可知，是等差數(shù)列，an不是等差數(shù)列,3等差數(shù)列的性質(zhì)),3)(1) 已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a1a3，S510，則a9的值是_；(2) 在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_；(3) 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1010，S2030，則S30_答案：(1) 20(2) 10(3) 60解析：(1) 由S510得a32，因此22d(2d)23d3，a923×620.(2) 因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(3) 因?yàn)镾10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列，且S1010，S2030，S20S1020，所以2×2010S3030，所以S3060.變式訓(xùn)練(1) 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若2a86a11，則S9的值等于_；(2) 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S39，S636，則a7a8a9_答案：(1) 54(2) 45解析：(1) 根據(jù)題意及等差數(shù)列的性質(zhì)，知2a8a11a56，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，知S9×9×96×954.(2) 由an是等差數(shù)列，得S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，則a7a8a945.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a53，S1040，求nSn的最小值解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d. a53，S1040， a14d3，10a1d40，解得a15，d2. Sn5n×2n26n，則nSnn2(n6)n5時，nSn0；n6時，nSn0.可得n4時，nSn取得最小值32.,4等差數(shù)列中的最值問題),4)(1) 若等差數(shù)列an滿足a7a8a9>0，a7a10<0，當(dāng)n取何值時，an的前n項(xiàng)和最大？(2) 已知數(shù)列an為等差數(shù)列若<1，且an的前n項(xiàng)和Sn有最大值，求使Sn>0時n的最大值(3) 在等差數(shù)列an中，a1>0，公差d<0，a53a7，其前n項(xiàng)和為Sn，求Sn取得最大值時n的值解：(1) 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a7a8a93a8，a8>0.又a7a10<0， a8a9<0， a9<0， S8>S7，S8>S9，故數(shù)列an的前8項(xiàng)和最大(2) <1，且Sn有最大值， a6>0，a7<0，且a6a7<0， S1111a6>0，S126(a6a7)<0， 使Sn>0的n的最大值為11.(3) 在等差數(shù)列an中，a1>0，公差d<0. a53a7， a14d3(a16d)， a17d， Snn(7d)d(n215n)， n7或8時，Sn取得最大值已知在等差數(shù)列an中，a131，Sn是它的前n項(xiàng)和，S10S22.(1) 求Sn；(2) 這個數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大，并求出這個最大值解：(1) S10a1a2a10，S22a1a2a22，S10S22， a11a12a220，0，即a11a222a131d0.又a131， d2， Snna1d31nn(n1)32nn2.(2) (解法1)由(1)知Sn32nn2， 當(dāng)n16時，Sn有最大值，Sn的最大值是256.(解法2)由Sn32nn2n(32n)，欲使Sn有最大值，應(yīng)有1<n<32，從而Sn256，當(dāng)且僅當(dāng)n32n，即n16時，Sn有最大值256.1. (2016·北京卷)已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若a16，a3a50，則S6_答案：6解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍3a50，所以62d64d0，解得d2，所以S66×6×(2)36306.2. (2017·南京、鹽城一模)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a4a5a621，則S9_答案：63解析：由a4a5a621得a57，所以S99a563.3. 已知公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若3，則的值為_答案：解析：3，則d4a1，則.4. (2017·南通、泰州三調(diào))設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若公差d2，a510，則S10的值是_答案：110解析： a5a14da1810， a12， S1010a1d110.5. (2017·南通一模)九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹子最上面一節(jié)的容積為_升答案：解析：設(shè)最上面一節(jié)的容積為a1，由題設(shè)知解得a1.1. (2017·新課標(biāo))等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，S410，則_答案：解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意有解得數(shù)列的前n項(xiàng)和Snna1dn×1×1.裂項(xiàng)有：2，據(jù)此，2. 設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則an_答案：an解析：由已知得an1Sn1SnSn1·Sn，兩邊同時除以Sn1·Sn，得1，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則1(n1)n，所以Sn.則當(dāng)n1時，a11；當(dāng)n2時，anSnSn1，所以an(或直接帶入an1SnSn1，但要注意分類討論)3. 已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差為2，若a1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1tn2對nN*恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_答案：(，12解析：a1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)4(a2a4a2n)4××n8n24n，所以8n24ntn2，所以t8對nN*恒成立，t12.4. (2017·南京、鹽城二模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn，cn滿足(n1)bnan1，(n2)cn，其中nN*.(1) 若數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式；(2) 若存在實(shí)數(shù)，使得對一切nN*，有bncn，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列(1) 解： 數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列， ana12(n1)，a1n1. (n2)cn(a1n1)n2，解得cn1.(2) 證明：由(n1)bnan1，可得n(n1)bnnan1Sn，(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1，兩式相減可得an2an1(n2)bn1nbn，可得(n2)cnan1(n1)bn(n1)bn(n1)bn(bnbn1)，因此cn(bnbn1) bncn， cn(bnbn1)，故bn，cn. (n1)an1，(n2)(an1an2)，相減可得(an2an1)，即an2an12(n2)又2a2a2a1，則an1an2(n1)， 數(shù)列an是等差數(shù)列1. 等差數(shù)列問題，首先應(yīng)抓住a1和d，通過列方程組來解，其他也就迎刃而解了但若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用性質(zhì)，可以減少運(yùn)算量2. 等差數(shù)列的判定方法有以下幾種： 定義法：an1and(d為常數(shù))； 等差中項(xiàng)法：2an1anan2； 通項(xiàng)公式法：anpnq(p，q為常數(shù))；前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A，B為常數(shù))3. 注意設(shè)元，利用對稱性，減少運(yùn)算量4. 解答某些數(shù)列問題，有時不必(有時也不可能)求出某些具體量的結(jié)果，可采用整體代換的思想備課札記第3課時等 比 數(shù) 列(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)8687頁)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題 理解等比數(shù)列的概念. 掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式. 理解等比中項(xiàng)的概念，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)1. (必修5P61習(xí)題2改編)設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，a632，則S3_答案：7解析：q532，q2，S37.2. 若1，x，y，z，3成等比數(shù)列，則y的值為_答案：解析：由等比中項(xiàng)知y23， y±.又 y與1，3符號相同， y.3. (必修5P54習(xí)題10改編)等比數(shù)列an中，a1>0，a2a42a3a5a4a636，則a3a5_答案：6解析：a2a42a3a5a4a6(a3a5)236.又a1>0， a3，a5>0， a3a56.4. (必修5P61習(xí)題3改編)在等比數(shù)列an中，a37，前3項(xiàng)和S321，則公比q_答案：1或解析：由已知得 化簡得3.整理得2q2q10，解得q1或q.5. (必修5P56例2改編)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S23，S415，則S6_答案：63解析：設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，易知q1，根據(jù)題意可得解得q24，1，所以S6(1)(143)63. 1. 等比數(shù)列的概念(1) 文字語言：如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列(2) 符號語言：q(nN*，q是等比數(shù)列的公比)2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，則第n項(xiàng)ana1qn1推廣：anamqnm.3. 等比中項(xiàng)若a，G，b成等比數(shù)列，則G為a和b的等比中項(xiàng)且G±4. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1) 當(dāng)q1時，Snna1(2) 當(dāng)q1時，Sn5. 等比數(shù)列的性質(zhì)(1) 等比數(shù)列an中，對任意的m，n，p，qN*，若mnpq，則amanapaq特殊的，若mn2p，則amana(2) 等比數(shù)列an中，依次每m項(xiàng)的和(非零)仍成等比數(shù)列，即Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比數(shù)列，其公比為qm(q1)(其中Sm0)備課札記,1等比數(shù)列的基本運(yùn)算),1)(1) 設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a21，a1a33，則a4_；(2) 等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S3，S6，則a8_；(3) 設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若27a3a60，則_答案：(1) 8(2) 32(3) 28解析：(1) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，很明顯q1，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組由除以可得q2 ，代入可得a11，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a4a1q38.(2) 當(dāng)q1時，顯然不符合題意；當(dāng)q1時，解得則a8×2732.(3) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，則q327.111q328.變式訓(xùn)練(1) 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a21，a8a62a4，則a6的值是_；(2) 設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2a3an的最大值為_答案：(1) 4(2) 64解析：(1) 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a21，a8a62a4得q6q42q2，q4q220，解得q22，則a6a2q44.(2) 因?yàn)閍1a310，a2a45，所以公比q，所以a1a1×10a18，a1a2a3an8n12n123n·223n2，所以當(dāng)n3或4時，取最大值64.,2等比數(shù)列的判定與證明),2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，3Snan1(nN*)(1) 求a1，a2；(2) 求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(3) 求an和Sn.(1) 解：由3S1a11，得3a1a11，所以a1.又3S2a21，即3a13a2a21，得a2.(2) 證明：當(dāng)n2時，anSnSn1(an1)(an11)，得，所以an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列(3) 解：由(2)可得ann，Sn.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn4an3(nN*)(1) 求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2) 若數(shù)列bn滿足bn1anbn(nN*)，且b12，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式(1) 證明：依題意Sn4an3(nN*)，當(dāng)n1時，a14a13，解得a11.因?yàn)镾n4an3，則Sn14an13(n2)，所以當(dāng)n2時，anSnSn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列(2) 解：由(1)知an，由bn1anbn(nN*)，得bn1bn.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23·1(n2)當(dāng)n1時也滿足，所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3·1(nN*),3等比數(shù)列的性質(zhì)),3)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足a1a94，則數(shù)列l(wèi)og2an的前9項(xiàng)之和為_答案：9解析： a1a9a4， a52， log2a1log2a2log2a9log2(a1a2a9)log2a9log2a59.變式訓(xùn)練(1) 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S102，S3014，則S40_；(2) 等比數(shù)列am的前n項(xiàng)積為Tn(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1128，則m_答案：(1) 30(2) 4解析：(1) 依題意有S10，S20S10，S30S20，S40S30仍成等比數(shù)列，2·(14S20)(S202)2，得S206.所以S10，S20S10，S30S20，S40S30，即為2，4，8，16，所以S40S301630.(2) 因?yàn)閍m為等比數(shù)列，所以am1·am1a.又由am1·am12am0，得am2.則T2m1a，所以22m1128，m4.,4等比數(shù)列的應(yīng)用),4)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1) 設(shè)bnan12an，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1) 證明： 由a11及Sn14an2，得a1a2S24a12. a25， b1a22a13.又，得an14an4an1， an12an2(an2an1) bnan12an， bn2bn1，故bn是首項(xiàng)b13，公比為2的等比數(shù)列(2) 解：由(1)知bnan12an3·2n1， .故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列 (n1)·，故an(3n1)·2n2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n22n，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn2bn.(1) 求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)cna·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n3時，cn1<cn.(1) 解：a1S14，當(dāng)n2時，anSnSn12n(n1)2(n1)n4n.又a14適合上式， an4n(nN*)將n1代入Tn2bn，得b12b1， T1b11.當(dāng)n2時，Tn12bn1，Tn2bn， bnTnTn1bn1bn， bnbn1， bn21n.(2) 證明：(證法1)由cna·bnn2·25n，得.當(dāng)且僅當(dāng)n3時，1<，即cn1<cn.(證法2)由cna·bnn2·25n，得cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22當(dāng)且僅當(dāng)n3時，cn1cn<0，即cn1<cn.1. (2017·南京、鹽城二模)記公比為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a11，S45S20，則S5的值為_答案：31解析：若等比數(shù)列的公比等于1，由a11，得S44，5S210，與題意不符設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q1)，由a11，S45S2，得5a1(1q)，解得q±2. 數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)， q2.則S531.2. (2017·蘇北四市三模)在公比為q，且各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，Sn為an的前n項(xiàng)和若a1，且S5S22，則q的值為_答案：解析：由題意可知q1，又S5S22，即2， q32q10， (q1)(q2q1)0.又q>0，且q1， q.3. (2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比q3，S3S4，則a3_答案：3解析： 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比q3，S3S4， ，解得a1.則a3×323.4. (2017·南通四模)已知數(shù)列an中，a11，a24，a310.若an1an是等比數(shù)列，則i_答案：3×2n2n3解析：a2a1413，a3a21046， an1an是等比數(shù)列， 首項(xiàng)為3，公比為2， an1an3×2n1， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)133×23×2n213×3×2n12.則i3×2n3×2n2n3.1. (2017·新課標(biāo))幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是_答案：440解析：由題意得，數(shù)列如下：1，1，2，1，2，4，1，2，4，2k1，則該數(shù)列的前12k項(xiàng)和為S1(12)(122k1)2k1k2，要使100，有k14，此時k22k1，所以k2是之后的等比數(shù)列1，2，2k1的部分和，即k2122t12t1，所以k2t314，則t5，此時k25329，對應(yīng)滿足的最小條件為N5440.2. 已知數(shù)列an滿足a11，an1，其中nN*，為非零常數(shù)(1) 若3，8，求證：an1為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 若數(shù)列an是公差不等于零的等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)，的值(1) 證明：當(dāng)3，8時，an13an2，化為an113(an1)， an1為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3. an12×3n1，可得an2×3n11.(2) 解：設(shè)ana1(n1)ddnd1.由an1，可得an1(an2)aan4， (dnd3)(dn1)(dnd1)2(dnd1)4.令n1，2，3，解得1，4，d2.經(jīng)過檢驗(yàn)滿足題意， 1，4.3. 已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，Snpanan1(nN*)，pR.(1) 若a1，a2，a3成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)p的值；(2) 若a1，a2，a3成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1) 當(dāng)n1時，a1pa1a2，a2；當(dāng)n2時，a1a2pa2a3，a31.由aa1a3得a1a3，即p2p10，解得p.(2) 由2a2a1a3得p，故a22，a33，所以Snanan1，當(dāng)n2時，anSnSn1anan1an1an.因?yàn)閍n0，所以an1an12，故數(shù)列an的所有奇數(shù)項(xiàng)組成以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是an1×2n.同理，數(shù)列an的所有偶數(shù)項(xiàng)組成以2為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是an2×2n，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann.4. 已知數(shù)列an的首項(xiàng)a12a1(a是常數(shù)，且a1)，an2an1n24n2(n2)，數(shù)列bn的首項(xiàng)b1a，bnann2(n2)(1) 求證：bn從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；(2) 設(shè)Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，且Sn是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；(3) 當(dāng)a>0時，求數(shù)列an的最小項(xiàng)(1) 證明： bnann2， bn1an1(n1)22an(n1)24(n1)2(n1)22an2n22bn(n2)由a12a1，得a24a，b2a244a4. a1， b20，即bn從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列(2) 解：由(1)知bnSna3a4(2a2)2n，當(dāng)n2時，2. Sn是等比數(shù)列， (n2)是常數(shù)， 3a40，即a.(3) 解：由(1)知當(dāng)n2時，bn(4a4)2n2(a1)2n， an 數(shù)列an為2a1，4a，8a1，16a，32a7，顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)當(dāng)a時，最小項(xiàng)為8a1；當(dāng)a時，最小項(xiàng)為4a或8a1；當(dāng)a時，最小項(xiàng)為4a；當(dāng)a時，最小項(xiàng)為4a或2a1；當(dāng)a時，最小項(xiàng)為2a1.1. 重點(diǎn)是本著化多為少的原則，解題時，需抓住首項(xiàng)a1和公比q這兩個基本量2. 運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時，要對q1和q1進(jìn)行討論3. 解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法：方程的思想：等比數(shù)列中有五個量a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程組求關(guān)鍵量a1，q.分類的思想：當(dāng)a1>0，q>1或者a1<0，0<q<1時，等比數(shù)列an遞增；當(dāng)a1>0，0<q<1或者a1<0，q>1時，等比數(shù)列an遞減；當(dāng)q<0時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列；當(dāng)q1時，等比數(shù)列為常數(shù)列函數(shù)的思想：用函數(shù)的觀點(diǎn)來理解和掌握等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式4. 巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要第4課時數(shù)列的求和(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)8889頁)理解數(shù)列的通項(xiàng)公式；會由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)公式；掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式；數(shù)列求和的常用方法：分組求和法、錯位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法等 掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法. 掌握數(shù)列求和的常用方法1. (必修5P36例2改編)在數(shù)列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x_答案：13解析：由an2an1an，得x5813.2. (必修5P68復(fù)習(xí)題13(1)改編)求和：_答案：1解析：原式1.3. (必修5P69本章測試12改編)等比數(shù)列1，2，4，8，中從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為_答案：1 008解析：由a11，a22，得q2， S101 023，S415， S10S41 008.4. (必修5P68復(fù)習(xí)題13(2)改編)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，則該數(shù)列的前_項(xiàng)之和等于9.答案：99解析：由題意知，an，所以Sn(1)()()19，解得n99.5. (必修5P62習(xí)題12改編)數(shù)列an中，an(2n1)3n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_