2022年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析(I)【試卷綜評】本次試卷（1） 注重基礎(chǔ)知識、基本技能的考查，符合高考命題的意圖和宗旨。 讓不同的考生掌握不同層次的數(shù)學(xué)，讓幾乎所有的考生都能感受到成功的喜悅。注重基礎(chǔ)知識的考查，這樣讓所有同學(xué)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了更強的信心。 （2） 注重能力考查  初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識是學(xué)生進入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是參加社會實踐的必備知識考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握程度，是高考的重要目標之一要善于知識之間的聯(lián)系，善于綜合應(yīng)用，支離破碎的知識是不能形成能力的考查時，既要注重綜合性，又兼顧到全面，更注意突出重點一、選擇題：(本大題共10個小題，每小題5分，共50分)在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；各題答案必須答在答題卡上相應(yīng)的位置.1. 已知等差數(shù)列中， ，則其公差是（ ） A 6 B 3 C 2 D 1【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì);等差數(shù)列的通項公式【答案解析】D解析 ：解：等差數(shù)列an中，即,故選：D.【思路點撥】將兩式，作差，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)建立公差的等式，解之即可2. 已知直線，則“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【知識點】兩直線垂直的充要條件.【答案解析】A解析 ：解：因為，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【思路點撥】利用兩直線垂直的充要條件解方程可得或，然后判斷即可.3.學(xué)校為了解學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了個同學(xué)進行調(diào)查，結(jié)果顯示這些同學(xué)的支出都在10,50)（單位：元），其中支出在（單位：元）的同學(xué)有67人，其頻率分布直方圖如右圖所示，則的值為（ ）A100 B120 C130 D390【知識點】頻率分布直方圖【答案解析】A解析 ：解：位于1020、2030的小矩形的面積分別為S1=0.01×10=0.1，S2=0.023×10=0.23，位于1020、2030的據(jù)的頻率分別為0.1、0.23可得位于1030的前3組數(shù)的頻率之和為0.1+0.23=0.33由此可得位于3050數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67支出在30，50）的同學(xué)有67人，即位于3050的頻數(shù)為67，根據(jù)頻率計算公式，可得=0.67，解之得n=100故選：A【思路點撥】根據(jù)小矩形的面積之和，算出位于1030的2組數(shù)的頻率之和為0.33，從而得到位于3050的數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67，再由頻率計算公式即可算出樣本容量n的值4.(原創(chuàng))口袋中有形狀和大小完全相同的四個球，球的編號分別為1,2,3,4，若從袋中隨機抽取兩個球，則取出的兩個球的編號之和大于5的概率為（ ） A B. C. D. 【知識點】古典概型及其概率計算公式【答案解析】C解析 ：解：從5個球中隨機抽取兩個球，共有6種抽法滿足兩球編號之和大于5的情況有（2，4），（3，4）共2種取法所以取出的兩個球的編號之和大于5的概率為【思路點撥】由組合知識求出從4個球中隨機抽取兩個球的所有方法種數(shù)，由題意得到兩球編號之和大于5的方法種數(shù)，然后直接利用古典概型概率計算公式求解【典型總結(jié)】本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了組合及組合數(shù)公式5.如圖. 程序輸出的結(jié)果s=132 , 則判斷框中應(yīng)填（ ） A. i10 B. i11 C. i11 D. i12【知識點】程序框圖【答案解析】B解析 ：解：由題意，S表示從12開始的逐漸減小的若干個整數(shù)的乘積，由于12×11=132，故此循環(huán)體需要執(zhí)行兩次所以每次執(zhí)行后i的值依次為11，10,由于i的值為10時，就應(yīng)該退出循環(huán)，再考察四個選項，B符合題意故選B【思路點撥】由框圖可以得出，循環(huán)體中的運算是每執(zhí)行一次s就變成了s乘以i，i的值變?yōu)閕-2，故S的值是從12開始的逐漸減小的若干個整數(shù)的乘積，由此規(guī)律解題計算出循環(huán)體執(zhí)行幾次，再求出退出循環(huán)的條件，對比四個選項得出正確答案6.圓與直線相切于第三象限，則的值是（ ）A B C D【知識點】圓的標準方程；點到直線的距離公式.【答案解析】C解析 ：解：由圓，得到圓心（a，0），半徑r=1，根據(jù)題意得：圓心到直線的距離d=r，即解得：，圓與直線相切于第三象限，a0即.故選C【思路點撥】由圓方程找出圓心坐標與半徑，根據(jù)題意得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值7.已知點在不等式組表示的平面區(qū)域上運動，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D.【知識點】簡單的線性規(guī)劃.【答案解析】B解析 ：解：畫可行域如圖，畫直線，平移直線過點A（0，1）時z有最大值1；平移直線過點B（2，0）時z有最小值-2；則的取值范圍是-2，1故選B.【思路點撥】根據(jù)步驟：畫可行域z為目標函數(shù)縱截距畫直線0=y-x，平移可得直線過A或B時z有最值即可解決【典型總結(jié)】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值8.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列的連續(xù)四項在集合中，則等于( )ABC或D或【知識點】遞推公式的應(yīng)用；等比數(shù)列的性質(zhì)【答案解析】C解析 ：解：bn有連續(xù)四項在-53，-23，19，37，82中且bn=an+1 an=bn-1則an有連續(xù)四項在-54，-24，18，36，81中an是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負數(shù)項則q0，且負數(shù)項為相隔兩項等比數(shù)列各項的絕對值遞增或遞減，按絕對值的順序排列上述數(shù)值18，-24，36，-54，81相鄰兩項相除則可得，-24，36，-54，81是an中連續(xù)的四項，此時q= ,同理可求q= q=或 q= .故選B【思路點撥】根據(jù)bn=an+1可知 an=bn-1，依據(jù)bn有連續(xù)四項在-53，-23，19，37，82中，則可推知則an有連續(xù)四項在-54，-24，18，36，81中，按絕對值的順序排列上述數(shù)值，可求an中連續(xù)的四項，求得q.9.已知在平面直角坐標系中，圓的方程為，直線過點且與直線垂直.若直線與圓交于兩點，則的面積為（ ）A1 B C2 D 【知識點】點到直線的距離公式;直線的方程;圓的方程;直線與圓的位置關(guān)系.【答案解析】A解析 ：解：圓C的方程為x2+y2=-2y+3，化成標準方程，可得x2+（y+1）2=4， 由此可得圓的圓心為C（0，-1）、半徑為2直線x-y+1=0的斜率為1且與直線l垂直，直線l經(jīng)過點（1，0），直線l的斜率為k=-1，可得直線l的方程為y=-（x-1），即x+y-1=0因此，圓心C到直線l的距離直線l被圓C截得的弦長，又坐標原點O到AB的距離為OAB的面積為故選：A【思路點撥】將圓C化成標準方程，得到圓心為C（0，-1）、半徑為2由垂直的兩直線斜率的關(guān)系算出直線l的斜率為1，可得l的方程為x+y-1=0，進而算出圓心C到l的距離，再根據(jù)垂徑定理算出l被圓C截得的弦長|AB|= 最后由點到直線的距離公式算出原點O到AB的距離，根據(jù)三角形的面積公式即可算出OAB的面積10. (原創(chuàng)) 設(shè)集合, , 若，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）A B. C. D. 【知識點】直線與圓的位置關(guān)系.【答案解析】D解析 ：解：因為，則或，（1）當(dāng)時，必有，解得，滿足題意.（2）當(dāng)必有m2，解可得，此時集合A表示圓環(huán)內(nèi)點的集合或點（2，0），集合B表示與x+y=0平行的一系列直線的集合，要使兩集合為空集，圓環(huán)與直線系無交點.此時，滿足題意；當(dāng)時，有則有又由，則，可得，滿足題意；當(dāng)時，有解可得：又由，則m的范圍是：綜合可得m的范圍是故答案為【思路點撥】根據(jù)題意可把問題轉(zhuǎn)換為圓與直線有交點，即圓心到直線的距離小于或等于半徑，進而聯(lián)立不等式組求得m的范圍第卷(非選擇題，共100分)11. 在中，角所對的邊分別為，已知，則= .【知識點】余弦定理;特殊角的三角函數(shù)值.【答案解析】解析 ：解：，由余弦定理得：，則b=故答案為：【思路點撥】利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，c及cosB代入計算即可求出b的值12.在區(qū)間內(nèi)隨機地取出一個數(shù)，使得的概率為 【知識點】幾何概型【答案解析】0.3解析 ：解：由題意，故有，解得,由幾何概率模型的知識知，總的測度，區(qū)間的長度為10，隨機地取出一個數(shù)a，使得這個事件的測度為3故區(qū)間內(nèi)隨機地取出一個數(shù)a，使得的概率為0.3故答案為0.3【思路點撥】由代入得出關(guān)于參數(shù)a的不等式，解之求得a的范圍，再由幾何的概率模型的知識求出其概率【典型總結(jié)】本題考查幾何概率模型，求解本題的關(guān)鍵是正確理解的意義，即得到參數(shù)a所滿足的不等式，從中解出事件所對應(yīng)的概率.13.若直線始終平分圓的周長，則的最小值為 【知識點】直線和圓的方程的應(yīng)用;圓的對稱性;利用基本不等式求最值.【答案解析】解析 ：解：可化為：圓的圓心是（2，1）,直線平分圓的周長，所以直線恒過圓心（2，1）,把（2，1）代入直線，得a0，b0，故答案為：.【思路點撥】先求出圓的圓心坐標，由于直線平分圓的周長，所以直線恒過圓心，從而有，再將表示為，利用基本不等式可求14. (原創(chuàng))給出下列四個命題：某班級一共有52名學(xué)生，現(xiàn)將該班學(xué)生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知7號、33號、46號同學(xué)在樣本中，那么樣本中另一位同學(xué)的編號為23；一組有六個數(shù)的數(shù)據(jù)是1,2,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都相同；根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為中，則；其中正確的命題有 （請?zhí)钌纤姓_命題的序號） 【知識點】命題的真假判斷與應(yīng)用；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；線性回歸方程【答案解析】解析 ：解：對于，由系統(tǒng)抽樣的原理知抽樣的間隔為52÷4=13，故抽取的樣本的編號分別為7，7+13，7+13×2，7+13×3，即7號、20號、33號、46號，是假命題；對于，數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)為（1+2+3+3+4+5）=3，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，都相同，是真命題；對于，回歸直線方程為y=ax+2的直線過點，把（1，3）代入回歸直線方程y=ax+2得a=1是真命題；故答案為：，【思路點撥】利用系統(tǒng)抽樣的特點可求得該次系統(tǒng)抽樣的編號，從而可判斷其正誤；利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的概念，可求得數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，從而可知其正誤；利用回歸直線過點，即可求得a的值，從而可知其正誤.15. (原創(chuàng)) 數(shù)列滿足,則的最小值是 【知識點】構(gòu)造新數(shù)列；等差數(shù)列的性質(zhì).【答案解析】解析 ：解：因為，整理得：，兩邊同時除以可得：，則數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，當(dāng)時，故的最小值是.故答案為：.【思路點撥】先把原式變形構(gòu)造新數(shù)列進而判斷即可.三、解答題 ：(本大題6個小題，共75分)各題解答必須答在答題卡上相應(yīng)題目指定的方框內(nèi)(必須寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程).16.（本小題滿分13分）在等比數(shù)列中，且，成等差數(shù)列.（1）求； （2）令，求數(shù)列的前項和.【知識點】等差、等比數(shù)列的通項與性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項和公式；對數(shù)的運算法則.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）設(shè)的公比為，由，成等差數(shù)列，得.又，則，解得. （ ）. （2），是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，它的前項和. 【思路點撥】（1）設(shè)an的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與等差中項的定義，建立關(guān)于q的等式解出q=2，即可求出an的通項公式（2）根據(jù)（I）中求出的an的通項公式，利用對數(shù)的運算法則算出bn=n-1，從而證出bn是首項為0、公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前n項和公式加以計算，可得數(shù)列bn的前n項和Sn的表達式17. （本小題滿分13分）在中，角對的邊分別為，且(1)求的值；(2)若，求的面積【知識點】正弦定理；余弦定理；三角形面積公式；同角三角函數(shù)基本關(guān)系.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）,由正弦定理及合比定理可得：（2）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，又a+b=ab，所以（ab）2-3ab-4=0，解得ab=4或ab=-1（舍去）所以【思路點撥】（1）根據(jù)正弦定理以及合比定理即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根據(jù)三角形的面積公式求出答案18. （本小題滿分13分）某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時間內(nèi)每個技工加工的合格零件數(shù)，按十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉得到的莖葉圖如圖所示已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為10.（1）求m，n的值；（2）分別求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和，并由此分析兩組技工的加工水平；（3）質(zhì)檢部門從該車間甲、乙兩組技工中各隨機抽取一名技工，對其加工的零件進行檢測，若兩人加工的合格零件數(shù)之和大于17，則稱該車間“質(zhì)量合格”，求該車間“質(zhì)量合格”的概率（注：方差，為數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)）【知識點】古典概型及其概率計算公式；極差、方差與標準差【答案解析】（1）m=3,n=8 (2) 乙組更穩(wěn)定些（3）解析 ：解：（1）m=3,n=8 (2), ,所以兩組技工水平基本相當(dāng)，乙組更穩(wěn)定些。（3）基本事件總數(shù)有25個，事件A的對立事件含5個基本事件，故P（A）【思路點撥】（1）由題意根據(jù)平均數(shù)的計算公式分別求出m，n的值(2)分別求出甲、乙兩組技工在單位時間內(nèi)加工的合格零件數(shù)的方差和，再根據(jù)它們的平均值相等，可得方差較小的發(fā)揮更穩(wěn)定一些（3）用列舉法求得所有的基本事件的個數(shù)，找出其中滿足該車間“待整改”的基本事件的個數(shù)，即可求得該車間“待整改”的概率19. （本小題滿分12分） (原創(chuàng))已知函數(shù)f (x) =（a、b為常數(shù)）.（1）若，解不等式；（2）若,當(dāng)x，2時， 恒成立，求b的取值范圍.【知識點】分類討論的思想方法；分式不等式的解法；不等式恒成立的問題.【答案解析】（1）當(dāng)，即時，不等式的解集為： 當(dāng)，即時，不等式的解集為： 當(dāng)，即時，不等式的解集為： （2）b>1解析 ：解：（1）當(dāng)，即時，不等式的解集為： 當(dāng)，即時，不等式的解集為： 當(dāng)，即時，不等式的解集為： （2） （）且，不等式恒成立，則；又當(dāng)x=1時，不等式（）顯然成立；當(dāng)時，故b>1.綜上所述，b>1【思路點撥】（1）轉(zhuǎn)化為分式不等式后再利用分類討論的思想求出解集；（2）轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，b的不等式后，再利用基本不等式即可.20. （本小題滿分12分）(原創(chuàng))已知圓M： ，直線：xy11, 上一點A的橫坐標為a , 過點A作圓M的兩條切線 , , 切點分別為B ,C. （1）當(dāng)a0時，求直線 , 的方程； （2）當(dāng)直線 , 互相垂直時，求a 的值；（3）是否存在點A，使得？若存在，求出點A的坐標，若不存在，請說明理由.【知識點】直線方程的求法；點到直線的距離公式；向量的數(shù)量積公式.【答案解析】（1）（2）a5（3）點A不存在.解析 ：解：（1）圓M： ,圓心M(0 , 1) , 半徑r=5,A(0, 11) , 設(shè)切線的方程為yk x11, 圓心距, ,所求直線l1 , l2的方程為 （2）當(dāng)l1 l2時，四邊形MCAB為正方形， 設(shè)A(a , 11a), M(0 , 1) 則， a5（3）設(shè)，則，又，故，又圓心M到直線的距離是 ，故點A不存在【思路點撥】（1）設(shè)出直線方程的斜截式，利用點到直線的距離公式可求斜率，進而求出直線方程（2）l1 l2時，四邊形MCAB為正方形，解方程即可；（3）計算與已知矛盾，故不存在.21. （本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足：（1）若數(shù)列是以常數(shù)為首項，公差也為的等差數(shù)列，求的值；（2）若，求證：對任意都成立；（3）若，求證：對任意都成立；【知識點】數(shù)列遞推式;數(shù)列與不等式的結(jié)合;放縮法.【答案解析】（1）（2）見解析（3）見解析解析：解：（1）由題意，又由得，即對一切成立，所以 （2）由得，兩邊同除以得（3），將代入，得 由得，所以，所以從而又由得所以，從而，綜上，【思路點撥】（1）由得：，從而可求的求得a1=0；（2）由得，兩邊同除以可得結(jié)論（3）由（2）可知，再進行放縮,可證得結(jié)論