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2022年高三數(shù)學總復習 同角三角函數(shù)的基本關系式教案 理

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1、2022年高三數(shù)學總復習 同角三角函數(shù)的基本關系式教案 理 教材分析 這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義,導出同角三角函數(shù)的兩個基本關系式sin2a+cos2a=1與,并初步進行這些公式的兩類基本應用.教學重點是公式sin2a+cos2a=1與的推導及以下兩類基本應用: (1)已知某角的正弦、余弦、正切中的一個,求其余兩個三角函數(shù). (2)化簡三角函數(shù)式及證明簡單的三角恒等式. 其中,已知某角的一個三角函數(shù)值,求它的其余各三角函數(shù)值時,正負號的選擇是本節(jié)的一個難點,正確運用平方根及象限角的概念是突破這一難點的關鍵;證明恒等式是這節(jié)課的另一個難點.課堂上教師應放手讓學生獨立解決問題,優(yōu)化自

2、己的解題過程. 教學目標 1. 讓學生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關系的探索、發(fā)現(xiàn)過程,培養(yǎng)學生的動手實踐、探索、研究能力. 2. 理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關系式,并能初步運用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題,培養(yǎng)學生的運算能力,邏輯推理能力. 3. 通過同角三角函數(shù)基本關系的學習,揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律,培養(yǎng)學生的辯證唯物主義世界觀. 任務分析 這節(jié)課的主要任務是引導學生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個基本關系式:sin2a+cos2a=1及,并進行初步的應用.由于該節(jié)內(nèi)容比較容易,所以,課堂上無論是關系式的探索還是例、習題的解決都可以放手讓學生獨立完成,

3、即由學生自己把要學的知識探索出來,并用以解決新的問題.必要時,教師可以在以下幾點上加以強調(diào):(1)“同角”二字的含義.(2)關系式的適用條件.(3)化簡題最后結果的形式.(4)怎樣優(yōu)化解題過程. 教學設計 一、問題情境 教師出示問題:上一節(jié)內(nèi)容,我們學習了任意角α的六個三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線,你知道它們之間有什么聯(lián)系嗎?你能得出它們之間的直接關系嗎? 二、建立模型 1. 引導學生寫出任意角α的六個三角函數(shù),并探索它們之間的關系 在角α的終邊上任取一點P(x,y),它與原點的距離是r(r>0),則角α的六個三角函數(shù)值是 2. 推導同角三角函數(shù)關系式 引導學生通過觀察

4、、分析和討論,消元(消去x,y,r),從而獲取下述基本關系. (1)平方關系:sin2a+cos2a=1. (2)商數(shù)關系:t: 說明:①當放手讓學生推導同角三角函數(shù)的基本關系時,部分學生可能會利用三角函數(shù)線,借助勾股定理及相似三角形的知識來得出結論.對于這種推導方法,教師也應給以充分肯定,并進一步引導學生得出|sinα|+|cosα|≥1. ②除以上兩個關系式外,也許部分學生還會得出如下關系式:. 教師點撥:這些關系式都很對,但最基本的還是(1)和(2),故為了減少大家的記憶負擔,只須記?。?)和(2)即可.以上關系式均為同角三角函數(shù)的基本關系式. 教師啟發(fā):(1)對“同角”二字

5、,大家是怎樣理解的? (2)這兩個基本關系式中的角α有沒有范圍限制? (3)自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯(lián)系,大家只要養(yǎng)成善于觀察的習慣,也許每天都會有新的發(fā)現(xiàn).剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關系式,那么這些關系式能用于解決哪些問題呢? 三、解釋應用 [例 題] 1. 已知sinα=,且α是第二象限角,求角α的余弦值和正切值. 2. 已知tanα=-,且α是第二象限角,求角α的正弦和余弦值. 說明:這兩個題是關系式的基本應用,應讓學生獨立完成.可選兩名同學到黑板前板書,以便規(guī)范解題步驟. 變式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”,該題的解答過程又將如何? 師生一起完成該題

6、的解答過程. 解:由題意和基本關系式,列方程組,得 由②,得sinα=-cosα, 代入①整理,得6cos2α=1,cos2α=. ∵tanα=-<0,∴角α是第二或第四象限角. 當α是第二象限角時,cosα=-, 代入②式,得; 當α是第四象限角時,cosα=, 代入②式,得. 小結:由平方關系求值時,要涉及開方運算,自然存在符號的選取問題.由于本題沒有具體指明α是第幾象限角,因此,應針對α可能所處的象限,分類討論. 變式2 把例2變?yōu)椋? 已知tanα=-,求的值. 解法1:由tanα=-及基本關系式可解得 針對兩種情況下的結果居然一致的情況,教師及時點撥:

7、 觀察所求式子的特點,看能不能不通過求sinα,cosα的值而直接得出該分式的值. 學生得到如下解法: 由此,引出變式3. 已知:tanα=-,求(sinα-cosα)2的值. 有了上一題的經(jīng)驗,學生會得到如下解法: 教師歸納、啟發(fā):這個方法成功地避免了開方運算,因而也就避開了不必要的討論.遺憾的是,因為它不是分式形式,所以解題過程不像“變式2”那樣簡捷.那么,能解決這一矛盾嗎? 學生得到如下解法: 教師引導學生反思、總結:(1)由于開方運算一般存在符號選取問題,因此,在求值過程中,若能避免開方的應盡量避免. (2)當式子為分式且分子、分母都為三角函數(shù)的n(n∈N

8、且n≥1)次冪的齊次式時,采用上述方法可優(yōu)化解題過程. [練 習] 當學生完成了以上題目后,教師引導學生討論如下問題: (1)化簡題的結果一定是“最簡”形式,對三角函數(shù)的“最簡”形式,你是怎樣理解的? (2)關于三角函數(shù)恒等式的證明,一般都有哪些方法?你是否發(fā)現(xiàn)了一些技巧? 四、拓展延伸 教師出示問題,啟發(fā)學生一題多解,并激發(fā)學生的探索熱情. 已知sinα-cosα=-,180°<α<270°,求tanα的值. 解法1:由sinα-cosα=-,得 反思:(1)解法1的結果比解法2的結果多了一個,看來產(chǎn)生了“增根”,那么,是什么原因產(chǎn)生了增根呢? (2)當學生發(fā)現(xiàn)了

9、由sinα-cosα=-得到sin2α-2sinαcosα+cos2α=的過程中,α的范圍變大了時,教師再點撥: 怎樣才能使平方變形是等價的呢? 由學生得出如下正確答案: ∵180°<α<270°,且sinα-cosα=-<0,∴sinα<0,cosα<0,且|sinα|>|cosα|,因此|tanα|>1,只能取tanα=2. 強調(diào):非等價變形是解法1出錯的關鍵! 點 評 這篇案例力求體現(xiàn)新課程理念下的以人為本的思想,充分發(fā)揮了學生的主體作用.教師充當著學生學習的引導者、支持者和幫助者的角色.教師和學生是本課的共同參與者,共同努力完成了這一節(jié)課的教學活動.在這節(jié)課上,學生的積極性被充分調(diào)動起來,從而使學生在積極思維的活動中取得了成功并飽嘗到了成功的喜悅.案例中的教學活動體現(xiàn)了研究性學習和探索性學習的方法. 總之,充分調(diào)動學生數(shù)學學習的主動性,強調(diào)質(zhì)疑和化疑,是這篇案例的成功之處.

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