2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 誘導(dǎo)公式教案 理教材分析這節(jié)內(nèi)容以學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)值為基礎(chǔ)，利用單位圓和三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出三角函數(shù)的五組誘導(dǎo)公式，即有關(guān)角k·360°，180°，180°，360°的公式，并通過運用這些公式，把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想這節(jié)課的重點是后四組誘導(dǎo)公式以及這五組公式的綜合運用把這五組公式用一句話歸納出來，并切實理解這句話中每一詞語的含義，是切實掌握這五組公式的難點所在準(zhǔn)確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并且把公式二、三與圖形對應(yīng)起來，是突破上述難點的關(guān)鍵教學(xué)目標(biāo)1. 在教師的引導(dǎo)下，啟發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式及其證明，培養(yǎng)學(xué)生勇于探求新知、善于歸納總結(jié)的能力2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，并能應(yīng)用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題3. 讓學(xué)生體驗探索后的成功喜悅，培養(yǎng)學(xué)生的自信心4. 使學(xué)生認識到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的有效途徑，進一步樹立化歸思想任務(wù)分析誘導(dǎo)公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值在五組誘導(dǎo)公式中，關(guān)于180°與的誘導(dǎo)公式是最基本的，也是最重要的在推導(dǎo)這兩組公式時，應(yīng)放手讓學(xué)生獨立探索，尋求“180°與角的終邊”及“與角的終邊”之間的位置關(guān)系，從而完成公式的推導(dǎo)此外，要把90°360°范圍內(nèi)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，除了利用第二、四、五個公式外，還可以利用90°，270°±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在掌握前五組誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上進一步探求新的關(guān)系式，從而使學(xué)生在頭腦中形成完整的三角函數(shù)的認知結(jié)構(gòu)教學(xué)設(shè)計一、問題情境教師提出系列問題1. 在初中我們學(xué)習(xí)了求銳角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值呢？2. 當(dāng)390°時，能否求出它的正弦、余弦和正切值？3. 由2你能否得出一般性的結(jié)論？試說明理由二、建立模型1. 分析1在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生獨立推出公式（一），即2. 應(yīng)用1在公式的應(yīng)用中讓學(xué)生體會公式的作用，即把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0°360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值練習(xí)：求下列各三角函數(shù)值（1）cos（2）tan405°3. 分析2如果能夠把90°360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，即可實現(xiàn)“把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值”的目標(biāo)例如，能否將120°，240°，300°角與我們熟悉的銳角建立某種聯(lián)系，進而求出其余弦值？引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的定義并借助圖形，得到如下結(jié)果：cos120°cos（180°60°）cos60°，cos240°cos（180°60°）cos60°，cos300°cos（360°60°）cos60°4. 分析3一般地，cos（180°），cos（180°），cos（360°）與cos的關(guān)系如何？你能證明自己的結(jié)論嗎？由學(xué)生獨立完成下述推導(dǎo)：設(shè)角的終邊與單位圓交于點P（x，y）由于角180°的終邊就是角的終邊的反向延長線，則角180°的終邊與單位圓的交點P與點P關(guān)于原點O對稱由此可知，點P的坐標(biāo)是（x，y）又單位圓的半徑r1，cosx，siny，tan，cos（180°）x，sin（180°）y，tan（180°）從而得到：5. 分析4在推導(dǎo)公式三時，學(xué)生會遇到如下困難，即：若為任意角，180°與角的終邊的位置關(guān)系不容易判斷這時，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助公式二，把180°看成180°（），即：先把180°的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)值，然后通過尋找的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使原問題得到解決由學(xué)生獨立完成如下推導(dǎo)：如圖，設(shè)任意角的終邊與單位圓相交于P（x，y），角的終邊與單位圓相交于點P這兩個角的終邊關(guān)于軸對稱，點P的坐標(biāo)是（x，y）又r1，cos（）x，sin（）y，tan（）從而得到：進而推出：注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學(xué)生充分體驗成功的快樂6. 教師歸納公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把k·360°，180°±，360°的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)那么，在轉(zhuǎn)化過程中，發(fā)生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生進行如下概括：k·360°（kZ），180°±，360°的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號為了便于記憶，還可編成一句口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”三、解釋應(yīng)用例題1. 求下列各三角函數(shù)值通過應(yīng)用，讓學(xué)生體會誘導(dǎo)公式的作用：把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，其一般步驟為評注：本題中，若代入cos·cot3形式，就須先求得cos的值由于不能確定角所在象限，解題過程將變得煩鎖以此提醒學(xué)生注意選取合理形式解決問題四、拓展延伸教師出示問題：前面我們利用三角函數(shù)的定義及對稱性研究了角k·360°（kZ），180°±，360°的三角函數(shù)與角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這些角有一個共同點，即：均為180°的整數(shù)倍加、減但是，在解題過程中，還會遇到另外的情況，如前面遇到的120°角，它既可以寫成180°60°，也可以寫成90°30°，那么90°的三角函數(shù)與的三角函數(shù)有著怎樣的關(guān)系呢？學(xué)生探究：經(jīng)過獨立探求后，有學(xué)生可能會得到如下結(jié)果：設(shè)角的終邊與單位圓交于點P（x，y），角90°的終邊與單位圓交于點P（x，y）（如圖），則cosx，siny，cos（90°）x，sin（90°）y過P作PMx軸，垂足為M，過P作PMy軸，垂足為M，則OPMOPM，OMOM，MPMP，即xy，yx進而得到cos（90°）sin，sin（90°）cos對此結(jié)論和方法，教師不宜作任何評論，而應(yīng)放手讓學(xué)生展開辯論和交流，最后得到正確結(jié)果：由于OM與OM，MP與MP僅是長度相等，而當(dāng)點P在第一象限時，P在第二象限，x0，y0，又x0，y0，xy，yx從而得到：教師進一步引導(dǎo)：（1）推導(dǎo)上面的公式時，利用了點P在第一象限的條件當(dāng)點不在第一象限時，是否仍有上面的結(jié)論？（通過多媒體演示角的終邊在不同象限的情景，使學(xué)生理解公式六中的角可以為任意角）（2）推導(dǎo)公式六時，采用了初中的平面幾何知識是否也能像推導(dǎo)前五組公式那樣采用對稱變換的方式呢？學(xué)生探究：學(xué)生先針對為銳角時的情況進行探索，再推廣到為任意角的情形設(shè)角的終邊與單位圓交點為P（x，y），的終邊與單位圓的交點為P（x，y）（如圖）由于角的終邊經(jīng)過下述變換：2（） 2a，即可得到的終邊這是兩次對稱變換，即先作P關(guān)于直線yx的對稱點M（y，x），再作點M關(guān)于y軸的對稱點P（y，x），xy，yx由此，可進一步得到：教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把90°±，270°±的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：90°±，270°±的三角函數(shù)值等于的余名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號兩套公式合起來，可統(tǒng)一概括為對于k·90°±（kZ）的各三角函數(shù)值，當(dāng)k為偶數(shù)時，得的同名函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時，得的余名函數(shù)值然后，均在前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”點評這篇案例從學(xué)生的實際出發(fā)，充分尊重學(xué)生的思維特點，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)認知沖突，較好地調(diào)動了學(xué)生的積極性和主動性，符合新課程理念的精神在教學(xué)設(shè)計中，教師以學(xué)生活動為主，注意師生互動，體現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)實際的課堂教學(xué)表明，在教學(xué)過程中，教師對每名同學(xué)的發(fā)言都給以充分地鼓勵，即使他的解法不完美，甚至不正確這對保護學(xué)生大膽嘗試、認真思考的積極性至關(guān)重要只有這樣，才能將教學(xué)效果落實到學(xué)生個體的學(xué)習(xí)行為上，進而實現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)總之，這篇案例的突出特點就是，注意通過問題驅(qū)動的方式，激發(fā)學(xué)生主動探究的熱情，完成五組誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)缺陷是，在關(guān)注五組誘導(dǎo)公式推導(dǎo)的“一氣呵成”的同時，鞏固、強化工作顯得單薄這是一對棘手的矛盾！