2022年高三上學期9月月考數(shù)學試卷（理科） 含解析(II)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分1已知集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，則A（UB）等于（）A2B2，3，5C1，4，6D52f（）=，則f（2）=（）A3B1C2D3函數(shù)f（x）=的定義域為（）A（，2）（1，+）B（2，1）C（，1）（2，+）D（1，2）4已知logalogb，則下列不等式成立的是（）Aln（ab）0BC3ab1Dloga2logb25已知f（x）=ax過（1，3），則以下函數(shù)圖象正確的是（）ABCD6已知實數(shù)x，y滿足，2x+4y=1，則x+2y的最大值是（）A2B4CD17已知命題p：“已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，則f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱”，命題q：“若1a1，則方程ax2+2x+a=0有實數(shù)解”，則（）A“p且q”為真B“p或q”為假Cp假q真Dp真q假8若x，y滿足且z=2x+y的最大值為4，則k的值為（）ABCD9若函數(shù)f（x）=ln（1x）ln（1+x）+a在x，的最大值為M，最小值為N，且M+N=1，則a的值是（）A1BC1D10已知函數(shù)f（x）=，若f（a）+f（a）2f（1），則a的取值范圍是（）A（，11，+）B1，0C0，1D1，111已知函數(shù)f（x）=，若方程f（x）+2x8=0恰有兩個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍是（）AB4，2CD12己知集合A=0，1），B=1，+），函數(shù)f（x）=，若對任意x0A，都有f（f（x0）B，則實數(shù)a的取值范圍是（）A1，2）B1，+）C0，+）D（2，1二、填空題：本題4小題，每小題5分13log26log233+（）=14函數(shù)f（x）=lg（x22x3）的遞增區(qū)間是15已知f（x）是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，當x（0，1時，f（x）=2x，且對任意x都有f（x+1）=，則f（log25）=16已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x0時，f（x+2）=f（x），若f（x）滿足：x0，2）時，f（x）=a|xb|，f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，存在m使得f（x+m）=f（mx）則a+b的值為三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17函數(shù)f（x）=+a關(guān)于（1，0）對稱（1）求a得值；（2）解不等式f（x）18二次函數(shù)f（x）開口向上，且滿足f（x+1）=f（3x）恒成立已知它的兩個零點和頂點構(gòu)成邊長為2的正三角形（1）求f（x）的解析式；（2）討論f（x）在t，t+3的最小值19四棱錐PABCD中，PC=AB=1，BC=a，ABC=60°，底面ABCD為平行四邊形，PC平面ABCD，點M，N分別為AD，PC的中點（1）求證：MN平面PAB；（2）若PAB=90°，求二面角BAPD的正弦值20已知拋物線E：y2=4x焦點為F，準線為l，P為l上任意點過P作E的兩條切線，切點分別為Q，R（1）若P在x軸上，求|QR|；（2）求證：以PQ為直徑的圓恒過定點21已知函數(shù)f（x）=x2axlnx+ax恰有兩個零點x1，x2（1）求a的范圍；（2）求證：x1x2e4選修4-1：幾何證明選講22如圖，BC是圓O的直徑，點F在弧上，點A為弧的中點，做ADBC于點D，BF與AD交于點E，BF與AC交于點G（）證明：AE=BE（）若AC=9，GC=7，求圓O的半徑選修4-4：坐標系與參數(shù)方程選講23在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），再以原點為極點，以x正半軸為極軸建立極坐標系，并使得它與直角坐標系有相同的長度單位，在該極坐標系中圓C的方程為=4sin（1）求圓C的直角坐標方程；（2）設圓C與直線l將于點A、B，若點M的坐標為（1，4），求|MA|+|MB|的值選修4-5：不等式選講24已知函數(shù)f（x）=|x2|（1）解不等f（x）+f（x+1）5；（2）若|a|1且f（ab）|a|f（），證明：|b|2參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分1已知集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，則A（UB）等于（）A2B2，3，5C1，4，6D5【考點】交、并、補集的混合運算【分析】集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，故CUB=1，2，4，6，由此能求出A（UB）【解答】解：集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，CUB=1，2，4，6，A（UB）=2故選A2f（）=，則f（2）=（）A3B1C2D【考點】函數(shù)的值【分析】由f（2）=f（），能求出結(jié)果【解答】解：f（）=，f（2）=f（）=3故選：A3函數(shù)f（x）=的定義域為（）A（，2）（1，+）B（2，1）C（，1）（2，+）D（1，2）【考點】函數(shù)的定義域及其求法【分析】根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)得不等式，解出即可【解答】解：由題意得：，解得：1x2，故選：D4已知logalogb，則下列不等式成立的是（）Aln（ab）0BC3ab1Dloga2logb2【考點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；不等關(guān)系與不等式【分析】直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可【解答】解：logalogb，可得0ab所以ab0，3ab1故選：C5已知f（x）=ax過（1，3），則以下函數(shù)圖象正確的是（）ABCD【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求出【解答】解：f（x）=ax過（1，3），3=a，f（x）=3x，該函數(shù)為增函數(shù)，且過點（1，1），故選：B6已知實數(shù)x，y滿足，2x+4y=1，則x+2y的最大值是（）A2B4CD1【考點】基本不等式【分析】根據(jù)基本不等式的應用條件直接應用即可【解答】解：1=2x+4y=2x+22x2，則x+2y2，故選A7已知命題p：“已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，則f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱”，命題q：“若1a1，則方程ax2+2x+a=0有實數(shù)解”，則（）A“p且q”為真B“p或q”為假Cp假q真Dp真q假【考點】命題的真假判斷與應用【分析】復合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復合命題的簡單命題的真假，再根據(jù)真值表進行判斷【解答】解：f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，對稱軸為：x=0，則f（x+1）的圖象看作y=f（x）的圖象向左平移1個單位得到的，函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，命題q為真命題q：1a1，則方程ax2+2x+a=0，可得=44a20，方程有實數(shù)解，所以命題q是真命題，所以p且q為真故選A8若x，y滿足且z=2x+y的最大值為4，則k的值為（）ABCD【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】根據(jù)已知的約束條件 畫出滿足約束條件的可行域，再用目標函數(shù)的幾何意義，求出求出直線2x+y=4與y=0相交于B（2，0），即可求解k值【解答】解：先作出不等式組對應的平面區(qū)域，直線kxy+3=0過定點（0，3），z=2x+y的最大值為4，作出直線2x+y=4，由圖象知直線2x+y=4與y=0相交于B（2，0），同時B也在直線kxy+3=0上，代入直線得2k+3=0，即k=，故選：A9若函數(shù)f（x）=ln（1x）ln（1+x）+a在x，的最大值為M，最小值為N，且M+N=1，則a的值是（）A1BC1D【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【分析】由求出f（x）=，且x時，f（x）是減函數(shù)，從而M=f（），N=f（），由此能求出a的值【解答】解：函數(shù)f（x）=ln（1x）ln（1+x）+a，f（x）=，1x1當x時，f（x）0，x時，f（x）是減函數(shù)，在x，的最大值為M，最小值為N，M=f（）=ln（1+）ln（1）+a=lnln+a=ln3+a，N=f（）=ln（1）ln（1+）+a=lnln=ln3+a，M+N=1，M+N=ln3+aln3+a=2a=1，解得a=a的值是故選：B10已知函數(shù)f（x）=，若f（a）+f（a）2f（1），則a的取值范圍是（）A（，11，+）B1，0C0，1D1，1【考點】分段函數(shù)的應用【分析】先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再判斷在（0，+）上為增函數(shù)，即可求出a的范圍【解答】解：f（x）=，f（x）為偶函數(shù)，f（a）+f（a）2f（1），2f（a）2f（1），f（a）f（1），當x0時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，|a|1，1a1，故選：D11已知函數(shù)f（x）=，若方程f（x）+2x8=0恰有兩個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍是（）AB4，2CD【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷【分析】函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=2x+8共有兩個交點，可能為：兩個交點均為y=2x+8與二次函數(shù)y=x2的交點，也可能為：兩個交點為y=2x+8與y=2x+3的交點，另一個是y=2x+8與二次函數(shù)y=x2的交點，進而得到答案【解答】解：y=x2與y=2x+8共有兩個交點（4，16），（2，4），y=2x+3與y=2x+8有一個交點（，），若方程f（x）+2x8=0恰有兩個不同實根，則函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=2x+8共有兩個交點，若兩個交點均為y=2x+8與二次函數(shù)y=x2的交點，則a2，若兩個交點為y=2x+8與y=2x+3的交點，另一個是y=2x+8與二次函數(shù)y=x2的交點，則4a，綜相所述，a，故選：A12己知集合A=0，1），B=1，+），函數(shù)f（x）=，若對任意x0A，都有f（f（x0）B，則實數(shù)a的取值范圍是（）A1，2）B1，+）C0，+）D（2，1【考點】分段函數(shù)的應用【分析】求得函數(shù)y=2xx2，x0，1）的導數(shù)和單調(diào)性，可得最大值及值域，再由二次函數(shù)的值域求法，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，求得有f（f（x0）的值域，再由集合的包含關(guān)系，解不等式可得a的范圍【解答】解：當x0A，即x00，1），f（x0）=2x0x02，由函數(shù)y=2xx2，x0，1），導數(shù)y=2xln22x，即有y=2xln222，由0x1，可得y0，即函數(shù)y=2xln22x在（0，1）遞減，且x=0時，20ln2=ln20；x=1時，2ln220，由零點存在定理可得，y=2xln22x只有一個零點，設為m（0，1）則函數(shù)y=2xx2在x0，m）遞增，在（m，1）遞減又x=m取得最大值t，又x=0時，y=1；x=1時，y=1則函數(shù)y=2xx2的值域為1，t當x1時，f（x）=2x2x+a=2（x）2+a，由f（x0）的值域為1，t，可得ff（x0）的值域為1+a，2t2t+a再由f（f（x0）B，可得1+a1，解得a0故選：C二、填空題：本題4小題，每小題5分13log26log233+（）=【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、運算法則求解【解答】解：log26log233+（）=1=故答案為：14函數(shù)f（x）=lg（x22x3）的遞增區(qū)間是（3，+）【考點】復合函數(shù)的單調(diào)性【分析】確定函數(shù)的定義域，確定內(nèi)、外函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論【解答】解：令t=x22x3=（x1）24，則函數(shù)在（1，+）上單調(diào)遞增當x22x30時，可得x3或x1f（t）=lgt在（0，+）上單調(diào)增函數(shù)f（x）=lg（x22x3）的遞增區(qū)間是（3，+）故答案為：（3，+）15已知f（x）是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，當x（0，1時，f（x）=2x，且對任意x都有f（x+1）=，則f（log25）=【考點】抽象函數(shù)及其應用；函數(shù)的值【分析】根據(jù)當x（0，1時，f（x）=2x，先求f（log252）的值，進而根據(jù)f（x+1）=迭代可得答案【解答】解：log25（2，3），log252（0，1），又當x（0，1時，f（x）=2x，f（log252）=，又對任意x都有f（x+1）=，f（log251）=f（log252）=，故答案為：16已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x0時，f（x+2）=f（x），若f（x）滿足：x0，2）時，f（x）=a|xb|，f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，存在m使得f（x+m）=f（mx）則a+b的值為【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系，判斷函數(shù)的對稱性，利用對稱性建立方程進行求解即可【解答】解：f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x0時，f（x+2）=f（x），當x0時，f（x+2）=f（x）=f（x），即此時函數(shù)關(guān)于x=1x0，2）時，f（x）=a|xb|，對稱軸x=b，則b=1，則f（x）=a|x1|，若存在m使得f（x+m）=f（mx），則f（x+m）=f（mx）=f（xm），即f（x+2m）=f（x），則f（x+4m）=f（x+2m）=f（x），f（x+2）=f（x），函數(shù)的周期是2，則4m=2，則m=，則f（x+）=f（x），則f（0）=f（1），則a1=（a0）=a，則a=，則a+b=+1=，故答案為：三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17函數(shù)f（x）=+a關(guān)于（1，0）對稱（1）求a得值；（2）解不等式f（x）【考點】其他不等式的解法；函數(shù)的圖象【分析】（1）利用函數(shù)f（x）=+a關(guān)于（1，0）對稱，得到f（0）+f（2）=0，解得a（2）將解析式代入，解分式型不等式【解答】解：（1）因為函數(shù)f（x）=+a關(guān)于（1，0）對稱，所以f（0）+f（2）=0，解得a=；（2）不等式f（x）為，化簡得，即，所以2x3或2x2，解得xlog23或x118二次函數(shù)f（x）開口向上，且滿足f（x+1）=f（3x）恒成立已知它的兩個零點和頂點構(gòu)成邊長為2的正三角形（1）求f（x）的解析式；（2）討論f（x）在t，t+3的最小值【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】（1）f（x）的對稱軸為x=2，從而得出f（x）的零點和頂點坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；（2）討論對稱軸和區(qū)間t，t+3的位置關(guān)系，得出f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性計算最小值【解答】解：（1）f（x+1）=f（3x），f（x）的對稱軸為x=2，f（x）的兩個零點和頂點構(gòu)成邊長為2的正三角形，且f（x）開口向上，f（x）的兩個零點為1，3，頂點坐標為（2，），設f（x）=a（x1）（x3），則f（2）=，即a=，a=f（x）=（x1）（x3）（2）若2t，則f（x）在t，t+3上是增函數(shù)，fmin（x）=f（t）=（t1）（t3），若t2t+3，即1t2時，f（x）在t，t+3上先減后增，fmin（x）=f（2）=，若2t+3，即t1時，f（x）在t，t+3上是減函數(shù)，fmin（x）=f（t+3）=t（t+2）綜上，fmin（x）=19四棱錐PABCD中，PC=AB=1，BC=a，ABC=60°，底面ABCD為平行四邊形，PC平面ABCD，點M，N分別為AD，PC的中點（1）求證：MN平面PAB；（2）若PAB=90°，求二面角BAPD的正弦值【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定【分析】（1）取PB為中點Q，連結(jié)NQ，QA，推導出四邊形AMNQ為平行四邊形，從而MNAQ，由此能證明MN平面PAB（2）以C為原點，CD為x軸，CA為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角BAPD的正弦值【解答】證明：（1）取PB為中點Q，連結(jié)NQ，QA，點M，N分別為AD，PC的中點，QN是中位線，QNBC，又ABCD是平行四邊形，ADBCQN，M是AD中點，QN=BC=AD=AM，四邊形AMNQ為平行四邊形，MNAQ，又MN平面PAB，AQ平面PAB，MN平面PAB解：（2）PC平面ABCD，PCAB，又PAAB，AB面PAC，ABAC，a=2，CDAC，以C為原點，CD為x軸，CA為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，0），B（1，0），P（0，0，1），=（0，1），=（1，0，0），=（1，0），設面ABP的法向量=（x，y，z），則，取y=1，得=（0，1，），設面APD的法向量=（a，b，c），則，取a=，得=（），cos=，二面角BAPD的正弦值為=20已知拋物線E：y2=4x焦點為F，準線為l，P為l上任意點過P作E的兩條切線，切點分別為Q，R（1）若P在x軸上，求|QR|；（2）求證：以PQ為直徑的圓恒過定點【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】（1）由P（1，0），設直線PQ方程，代入拋物線方程，由=0，求得直線的斜率，代入方程求得切點分別為Q，R坐標，即可求得求|QR|；（2）由對稱性可知：該點必在x軸上，設M（m，0），設Q（，y0），P（1，t），則切線為yy0=2x+，求得t=y0，根據(jù)=0，即可求得m的值【解答】解：（1）由已知可知：拋物線y2=4x焦點為F（1，0），P（1，0），設PQ：y=k（x+1），整理得：k2x2+（2k24）x+k2=0，由=0，即（2k24）24k2k2=0，解得：k=±1，代入求得x=1，y=±2，切點分別為Q和R坐標為（1，±2），|QR|=4；（2）證明：由對稱性可知：該點必在x軸上，設M（m，0），設Q（，y0），P（1，t），則切線為yy0=2x+，t=y0，由題意可知： =0，即（m）（m+1）+y0（y0）=0，整理得：（m2+m2）+（1m）=0m=1，恒過點M（1，0）21已知函數(shù)f（x）=x2axlnx+ax恰有兩個零點x1，x2（1）求a的范圍；（2）求證：x1x2e4【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）要使得f（x）=x（xalnx+a）有兩個零點，即g（x）=xalnx+a有兩個零點，即求g（x）的最小值要小于0即可（2）要求證x1x2e4 即求證lnx1x24；令，lnx1x2=+2=；所以，原不等式即證：【解答】解：（1）f（x）=x（xalnx+a），函數(shù)的定義域為（0，+）設g（x）=xalnx+a，所以g（x）有兩個零點，g'（x）=，a0時，g（x）單調(diào)遞增，顯然不成立；a0時，令g'（x）=0，則導函數(shù)零點為x=a；所以f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，（a，+）上單調(diào)遞增，故g（x）最小值為g（a）=aalna+a，要使得g（x）有兩個零點，則g（a）0，解得：e2a所以a的取值范圍為：（e2，+）證明：（2）因為； x2alnx2+a=0 ；+：；：；令，lnx1x2=+2=所以，原不等式即證：即證：設h（t）=lnt2，有h'（t）=所以h（t）單調(diào)遞增，所以h（t）h（1）=0，所以不等式得證選修4-1：幾何證明選講22如圖，BC是圓O的直徑，點F在弧上，點A為弧的中點，做ADBC于點D，BF與AD交于點E，BF與AC交于點G（）證明：AE=BE（）若AC=9，GC=7，求圓O的半徑【考點】與圓有關(guān)的比例線段【分析】（）證明：ABF=BAD，即可證明AE=BE（）由ABGACB，求出AB，直角ABC中由勾股定理知BC，即可求圓O的半徑【解答】證明：（）連接AB，點A為弧的中點，=，ABF=ACB又ADBC，BC是圓O的直徑，BAD=ACB，ABF=BAD，AE=BE （）由ABGACB知AB2=AGAC=2×9AB=3 直角ABC中由勾股定理知BC=3 圓的半徑為 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程選講23在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），再以原點為極點，以x正半軸為極軸建立極坐標系，并使得它與直角坐標系有相同的長度單位，在該極坐標系中圓C的方程為=4sin（1）求圓C的直角坐標方程；（2）設圓C與直線l將于點A、B，若點M的坐標為（1，4），求|MA|+|MB|的值【考點】參數(shù)方程化成普通方程【分析】（1）由x=cos，y=sin，x2+y2=2，能求出圓C的直角坐標方程（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，化簡整理，再由韋達定理和t的幾何意義能求出|MA|+|MB|的值【解答】解：（1）圓C的方程為=4sin，2=4sin，圓C的直角坐標方程為x2+y24y=0即x2+（y2）2=4（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，整理，得t23t+1=0，=184=140，設t1，t2為方程的兩個實根，則t1+t2=3，t1t2=1，t1，t2均為正數(shù)，又直線l過M（1，4），由t的幾何意義得：|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3選修4-5：不等式選講24已知函數(shù)f（x）=|x2|（1）解不等f（x）+f（x+1）5；（2）若|a|1且f（ab）|a|f（），證明：|b|2【考點】絕對值不等式的解法【分析】（1）通過討論x的范圍，去掉絕對值號，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（），代入不等式，問題轉(zhuǎn)化為|ab2|b2a|，平方證明即可【解答】（1）解：原不等式等價于|x2|+|x1|5，當x2時，不等式可化為：（x2）+（x1）5，解得：x4，當1x2時，不等式可化為（2x）+（x1）5，15，無解，x1時，不等式可化為：（2x）+（1x）5，解得：x1，綜上，不等式的解集是x|x4或x1；（2）證明：|ab2|a|2|ab2|b2a|（ab2）2（b2a）2a2b2+4b24a20（a21）（b24）0，|a|1，a210，b240，|b|2，證畢xx1月6日