2022年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)理試題 含解析辨性、靈活性,基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì),考基礎(chǔ),考方法,考潛能的檢測功能.一. 選擇題: 本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.【題文】1. 已知復(fù)數(shù)滿足, 則=( )A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算L4 【答案解析】A 解析：由，得故選：A【思路點(diǎn)撥】把已知的等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求值【題文】2. 設(shè), , , 則（ ）A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較B7 【答案解析】A 解析：a=30.51，0b=log321，c=log0.530，三個(gè)數(shù)字的大小根據(jù)三個(gè)數(shù)字的范圍得到cba，故選A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到三個(gè)數(shù)字與0，1之間的大小關(guān)系，利用兩個(gè)中間數(shù)字得到結(jié)果【題文】3. 函數(shù)() 的值域是（ ）A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域菁優(yōu)B6 【答案解析】C 解析：函數(shù)v=，當(dāng)0x3時(shí)，3（x1）2+11，e3e1，即e3ve；函數(shù)v的值域是（e3，e故選：C【思路點(diǎn)撥】先求出時(shí)x2+2x的取值范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出值域.【題文】4. 把的圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的三倍，再向右移動(dòng)一個(gè)單位，得到的函數(shù)解析式是（ ）A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化B9 【答案解析】C 解析：把y=ln（x+1）的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的三倍，得到函數(shù)y=ln（），再向右移動(dòng)一個(gè)單位，得到y(tǒng)=ln（）=ln，故選：C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系即可得到結(jié)論【題文】5. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A. 1 B. 2 C. 0 D. 3【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理菁B9 【答案解析】A 解析：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+），且函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（1）=2ln1+25=30，f（3）=2ln3+10，在（1，3）內(nèi)函數(shù)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)f（x）=2lnx+2x5的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性以及函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件即可得到結(jié)論【題文】6若定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)滿足, , 對(duì)任意恒成立, 則（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)B4 【答案解析】D 解析：f（x）0，f（x+2）=，f（x+4）=f（x），函數(shù)f（x）的周期是4f（xx）=f（504×41）=f（1），函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，f（1）=f（1），當(dāng)x=1時(shí)，f（1+2）=f（1）=，f2（1）=1，即f（1）=1，f（xx）=f（1）=1故選：D【思路點(diǎn)撥】由f（x）0，f（x+2）=，對(duì)可得函數(shù)的周期是4，然后利用函數(shù)的奇偶性和周期性即可求值【題文】7. 若某程序框圖如右圖所示, 當(dāng)輸入50時(shí), 則該程序運(yùn)算后輸出的結(jié)果是( )A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖L1 【答案解析】B 解析：由程序框圖知，n=50，S=0，i=1S=1，i=2，Sn，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)；S=4，i=3，Sn，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)；S=11，i=4，Sn，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)；S=26，i=5，Sn，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)；S=57，i=6，此時(shí)Sn，退出循環(huán)，輸出i的值為6；故答案為：B【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閚=50，由程序框圖寫出每次循環(huán)S，i的值，判斷當(dāng)Sn時(shí)，退出循環(huán)，即可求得輸出i的值【題文】8. 如圖所示, 醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體. 開始輸液時(shí), 滴管內(nèi)勻速滴下液體(滴管內(nèi)液體忽略不計(jì)), 設(shè)輸液開始后分鐘, 瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為厘米, 已知當(dāng)時(shí), . 如果瓶內(nèi)的藥液恰好156分鐘滴完. 則函數(shù)的圖像為（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用B10 【答案解析】A 解析：由題意知，每分鐘滴下cm3藥液，當(dāng)4h13時(shí)，x=42（13h），即h=13，此時(shí)0x144；當(dāng)1h4時(shí)，x=429+22（4h），即，此時(shí)144x156函數(shù)單調(diào)遞減，且144x156時(shí)，遞減速度變快故選：A【思路點(diǎn)撥】每分鐘滴下cm3藥液，當(dāng)液面高度離進(jìn)氣管4至13cm時(shí)，x分鐘滴下液體的體積等于大圓柱的底面積乘以（13h），當(dāng)液面高度離進(jìn)氣管1至4cm時(shí)，x分鐘滴下液體的體積等于大圓柱的體積與小圓柱底面積乘以（4h）的和，由此即可得到瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為h與輸液時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系【題文】9. 函數(shù), 若關(guān)于的方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解, 則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；分段函數(shù)的應(yīng)用B9 B10 【答案解析】A 解析：由方程2f2（x）（2a+5）f（x）+5a=0解得，f（x）=或f（x）=a，則x=1時(shí)，方程2f2（x）（2a+5）f（x）+5a=0的一個(gè)解，則2|x1|=1與2|x1|=a1還要在（，1）（1，+）上有四個(gè)不同的解，則a1=2|x1|1且a11，即a2且a故選A【思路點(diǎn)撥】先化簡方程，從而簡化問題，轉(zhuǎn)化為2|x1|=1與2|x1|=a1在（，1）（1，+）上有四個(gè)不同的解【題文】10. 若定義域在的函數(shù)滿足： 對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，都有; ; ; , 則（ ）A. B C D 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值B1 【答案解析】B 解析：f（1x）+f（x）=1，令x=0；f（1）+f（0）=1，又f（0）=0；f（1）=1；令x=可得，2f（）=1，f（）=；在f（x）中令x=1，則f（）=f（1）=，又對(duì)于任意x1，x20，1，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2）；在，上，f（x）f（）=f（）=f（）=（）3f（）=（）4f（），=故=；故選B【思路點(diǎn)撥】由題意給出的四個(gè)性質(zhì)可推出在，上，f（x）；從而求出的值二. 填空題: 本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應(yīng)位置上?！绢}文】11. 設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集, , , 則_. 【知識(shí)點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算A1【答案解析】x|1x2 解析：由M中不等式解得：x2或x2，即M=x|x2或x2，RM=x|2x2，由N中不等式變形得：0，即0，解得：1x3，即N=x|1x3，則（RM）N=x|1x2故答案為：x|1x2【思路點(diǎn)撥】求出M中不等式的解集確定出M，求出N中不等式的解集確定出N，找出M補(bǔ)集與N的交集即可【題文】12. 已知函數(shù), 則的值為_.【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值B1 【答案解析】 解析：函數(shù)f（x）=，f（2）=f（3）=f（4）=故答案為：【思路點(diǎn)撥】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解【題文】13. 若函數(shù)(為常數(shù))在區(qū)間上是減函數(shù), 則的取值范圍是_.【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)B3 【答案解析】 解析：設(shè)，則函數(shù) 在定義域上單調(diào)遞減，要使f（x）在區(qū)間（2，4）上是減函數(shù)，則設(shè)在（2，4）上為增函數(shù)因?yàn)?a+，所以要使函數(shù)t=a+，在（2，4）上為增函數(shù)，則a20，即a2，要使函數(shù)有意義，則t0，則t=a+0在（2，4）成立，所以只要當(dāng)x=2時(shí)，=2a20，即可，解得a1，綜上1a2，故a的取值范圍是1，2）故答案為：1，2）【思路點(diǎn)撥】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解考生注意：14, 15, 16三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.【題文】14. 如圖, 為外一點(diǎn), 過點(diǎn)作的兩條切線, 切點(diǎn)分別為, , 過的中點(diǎn)作割線交于, 兩點(diǎn), 若, , 則 _【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段N1 【答案解析】4 解析：QA是O的切線，QA2=QCQD，QC=1，CD=3，QA2=4，QA=2，PA=4，PA，PB是O的切線，PB=PA=4故答案為：4【思路點(diǎn)撥】利用切割線定理可得QA2=QCQD，可求QA，可得PA，利用圓的切線長定理，可得PB【題文】15. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi), 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為, 曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)), 則點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值為 【知識(shí)點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；圓的參數(shù)方程菁N3 【答案解析】 解析：由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），化成普通方程為：（x1）2+y2=2，圓心為A（1，0），半徑為r=，由于點(diǎn)M在曲線C外，故點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值為|MA|故答案為：5【思路點(diǎn)撥】利用x=cos，y=sin即可把點(diǎn)M的坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出直線OM的方程；再把曲線C的參數(shù)方程化為化為普通方程，再利用|MA|r即可求出最小值【題文】16. 若關(guān)于的不等式在實(shí)數(shù)集上的解集為, 則的取值范圍為_.【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法菁優(yōu)N4 【答案解析】 解析：根據(jù)絕對(duì)值的意義可得|x1|+|x+2a|的最小值為|1+2a|，結(jié)合所給的條件可得|1+2a|1 由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（，1）（0，+）；故答案為：（，1）（0，+）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對(duì)值的意義可得|x1|+|x+2a|的最小值為|1+2a|，結(jié)合所給的條件可得|12a|1，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍三. 解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算過程.【題文】17. (本小題滿分13分) 已知 實(shí)數(shù)滿足, 其中; 實(shí)數(shù)滿足.(1) 若 且為真, 求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2) 若是的必要不充分條件, 求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復(fù)合命題的真假A2 【答案解析】(1) (2) 解析：（1）對(duì)：由得，因?yàn)? 所以 .2分當(dāng)時(shí)，解得1<,即為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是1<.又為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.4分若為真，則真且真，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. .7分(2) p是q的必要不充分條件，即qp,且pq， 設(shè)A=, B =, 則AB, .10分又，A=；所以有解得 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. .13分【思路點(diǎn)撥】(1) 利用一元二次不等式的解法可化簡命題p，若pq為真，則p真且q真，即可得出；(2)p是q的充分不必要條件，即pq，且qp，即可得出【題文】18. (本小題滿分13分) 函數(shù)(且)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)(1) 若, 試求不等式的解集；(2) 若且在上的最小值為, 求的值【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合B3 B4 【答案解析】(1) (2) 解析：（1）是定義在R上的奇函數(shù)， .2分，又且 4分易知在R上單調(diào)遞增，原不等式化為：，即不等式的解集為. .7分 （2），即（舍去）9分令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.12分解得，舍去. 綜上可知 .13分【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，可得k=1，從而（a0，且a1），利用f（1）0，可得a1，從而可證f（x）在R上單調(diào)遞增，故原不等式化為，從而可求不等式的解集；（2）根據(jù)確定a=2的值，從而可得函數(shù),令，由（1）可知為增函數(shù)，可得tf（1）=，分類討論，利用最小值為2，可求m的值【題文】19. (本小題滿分13分) 如下圖1, 在中, , , . , 分別是, 上的點(diǎn), 且/, 將沿折起到的位置, 使(如下圖2).(1) 求證: 平面;(2) 若, 求與平面所成角的正弦值. 圖1圖2【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角G4 G5 【答案解析】(1)見解析 (2) 解析：(1) 證明： 在中， 2分又.由 .4分. .7分(2) 如圖, 以為原點(diǎn)，, , 分別為軸, 軸, 軸, 建立空間直角坐標(biāo)系. 因?yàn)? 所以, 又/, 所以, 所以.則. .設(shè)為平面的一個(gè)法向量， .8分因?yàn)樗? 即，令，得. 所以為平面的一個(gè)法向量 .11分設(shè)與平面所成角為, 則所以與平面所成角的正弦值為 13分【思路點(diǎn)撥】（1）由中，且/,，證出A1DDE結(jié)合A1DCD，可得A1D面BCDE，從而得到最后根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合BCCD可證出BC面A1DC；（2）以C為原點(diǎn)，CD、CB所在直線分別為x、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示可得D、E、B、A1各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而算出，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出為平面A1BC的一個(gè)法向量根據(jù)空間向量的夾角公式和直線與平面所成角的性質(zhì)，即可算出與平面所成角的正弦值?！绢}文】20. (本小題滿分12分) 已知函數(shù)(). (1) 若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行, 求的單調(diào)區(qū)間和極值; (2) 討論在上的單調(diào)性; (3) 若在上是單調(diào)函數(shù), 求的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程B12【答案解析】(1) 的增區(qū)間為，減區(qū)間為，, 無極小值. (2) 當(dāng)時(shí), 在，當(dāng)時(shí), 在，在在（3） 解析：(1) ，有 得，故. .2分 令得，故在 令得，故在 故的增區(qū)間為，減區(qū)間為， , 無極小值. .4分(2) 當(dāng)時(shí)，故在當(dāng)時(shí)，令得， 令得所以在，在在綜上: 當(dāng)時(shí), 在 當(dāng)時(shí), 在，在在.8分(3)由題意可知：在上是單調(diào)函數(shù) 當(dāng)時(shí)，在上恒大于零，即，符合要求； 當(dāng)時(shí)，令，則由題意可知或，解得: .的取值范圍是 .12分【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率再列出一個(gè)等式，最后解方程組即可求得a，再利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f（x）0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，最后求出極值即可（2）先求導(dǎo)，再根據(jù)a的值進(jìn)行分類討論即可（3）先求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，再分a0，a0，進(jìn)行討論，當(dāng)a0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=ax2+x1，求得a的范圍【題文】21. (本小題滿分12分) 以橢圓的中心為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”. 已知橢圓的離心率為, 且過點(diǎn)(1) 求橢圓及其“伴隨”的方程; (2) 過點(diǎn)作“伴隨”的切線交橢圓于, 兩點(diǎn), 記為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為, 將表示為的函數(shù), 并求的最大值.【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題H8 【答案解析】(1) (2) ，的最大值為1.解析：(1) 橢圓的離心率為, 則, 設(shè)橢圓的方程為 2分橢圓過點(diǎn)， ， .4分橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 橢圓的“伴隨”方程為. .6分(2) 由題意知，.易知切線的斜率存在,設(shè)切線的方程為由得 .8分設(shè), 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, , 則, .又由與圓相切, 所以, . 所以 10分 , .(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))所以當(dāng)時(shí)，的最大值為1. .12分【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓C的離心率，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，得到a=2b，設(shè)橢圓方程，再代入點(diǎn)，即可得到橢圓方程和“伴隨”的方程；（2）設(shè)切線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程，消去y得到x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，即可得到AB的長，由l與圓x2+y2=1相切，得到k，m的關(guān)系式，求出三角形ABC的面積，運(yùn)用基本不等式即可得到最大值【題文】22（本小題滿分12分）已知定義在上的函數(shù), 其中表示不小于的最小整數(shù),如, , . (1) 求的值, 其中為圓周率; (2) 若在區(qū)間上存在, 使得成立, 求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3) 求函數(shù)的值域. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值域B3 【答案解析】(1) (2) （3）解析：(1) 因?yàn)? , 所以 .3分(2) 因?yàn)? 所以, . . . . .4分則. 求導(dǎo)得, 當(dāng)時(shí),顯然有, 所以在區(qū)間上遞增, 即可得在區(qū)間上的值域?yàn)? . . . .6分在區(qū)間上存在, 使得成立,所以. . .7分 (3) 由于恒成立, 且, 不妨設(shè). 易知, 下面討論的情況. . .8分當(dāng)時(shí), , . 所以,當(dāng), , 時(shí), , .設(shè), 所以在上是增函數(shù),故當(dāng)時(shí)，, 因此的值域?yàn)?. .10分記, . 當(dāng)時(shí), , 即 當(dāng)時(shí), , 即而,所以.故的值域?yàn)?. .12分【思路點(diǎn)撥】（1）分開化簡求值，（2）化簡函數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，將恒成立問題化為最值問題；（3）分類討論函數(shù)的取值，再求并集