2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 平面向量的數(shù)量積（含解析）1、 (1)(xx·威海期末考試)已知a(1,2)，2ab(3,1)，則a·b()A2 B3 C4 D5(2)(xx·江西卷)設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為，若ae13e2，b2e1，則向量a在b方向上的射影為_解析(1)a(1,2)，2ab(3,1)b2a(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)a·b(1,2)·(1,3)12×35.(2)由于ae13e2，b2e1，所以|b|2，a·b(e13e2)·2e12e6e1·e226×5，所以a在b方向上的射影為|a|·cos<a，b>.答案(1)D(2)2、 (1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)滿足條件(8ab)·c30，則x()A6 B5 C4 D3(2)(xx·山東卷)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_解析(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8ab)·c(6,3)·(3，x)30，即183x30，解得x4.故選C.(2)，·0，()·0，即()·()(1)·220.向量與的夾角為120°，|3，|2，(1)|·cos 120°940，解得.答案(1)C(2)3.向量a(1,2)，b(0,2)，則a·b()A2 B(0,4) C4 D(1,4)解析a·b(1,2)·(0,2)1×02×24.答案C4在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BAD120°，則在方向上的投影為()A. B. C1 D2解析如圖所示，在方向上的投影為|cos 60°2×1.答案C5已知向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)若a2b與c垂直，則k()A3 B2 C1 D1解析由題意知(a2b)·c0，即a·c2b·c0.所以k20，解得k3.答案A6若非零向量a，b滿足|a|b|，且(2ab)·b0，則向量a，b的夾角為()A. B. C. D.解析由(2ab)·b0，得2a·b|b|20.2|b|2·cos<a，b>|b|20，cos<a，b>，又<a，b>0，<a，b>.答案A7(xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，cta(1t)b.若b·c0，則t_.解析b·cb·ta(1t)bta·b(1t)b2t|a|b|cos 60°(1t)|b|21t1.由b·c0，得10，所以t2.答案28在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知(3，1)，(0,2)若·0，則實(shí)數(shù)的值為_解析設(shè)C(x，y)，則(x，y)，又(0,2)(3，1)(3,3)，所以·3x3y0，解得xy.又(x3，y1)(0,2)，得結(jié)合xy，解得2.答案29.(xx·濰坊二模)如圖，在ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB1，AC3，<，>60°，則|_.解析因?yàn)?lt;，>60°，所以·|·|cos 60°1×3×，又，所以2()2(22·2)，即2(139)，所以|.答案考點(diǎn)：向量的夾角與向量的模1、(1)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_(2)已知向量a，b滿足a·b0，|a|1，|b|2，則|2ab|_.解析(1)等式平方得|a|29|b|2|a|24|b|24a·b，則|a|2|a|24|b|24|a|b|cos ，即04|b|24·3|b|2cos ，得cos .(2)因?yàn)閨2ab|2(2ab)24a2b24a·b4a2b2448，故|2ab|2.答案(1)(2)22、已知向量a，b夾角為45°，且|a|1，|2ab|，則|b|_.(2)若平面向量a，b滿足|a|1，|b|1，且以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為，則a和b的夾角的取值范圍是_解析(1)由|2ab|平方得，4a24a·bb210，即|b|24|b|cos 45°410，亦即|b|22|b|60，解得|b|3或|b|(舍去)(2)依題意有|a|b|sin ，即sin ，由|b|1，得sin 1，又0，故有.答案(1)3(2)3已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解(1)若ab，則a·b1×(2x3)x(x)0.整理得x22x30，故x1或x3.(2)若ab，則有1×(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.當(dāng)x0時(shí)，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.當(dāng)x2時(shí)，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.綜上，可知|ab|2或2.4已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61，(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面積解(1)(2a3b)·(2ab)61，4|a|24a·b3|b|261.又|a|4，|b|3，644a·b2761，a·b6.cos .又0，.(2)|ab|2(ab)2|a|22a·b|b|2422×(6)3213，|ab|.(3)與的夾角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC×4×3×3.5(xx·青島一模)若兩個(gè)非零向量a，b滿足|ab|ab|2|a|，則向量ab與a的夾角為()A. B. C. D.解析由|ab|ab|，得a22a·bb2a22a·bb2，即a·b0，所以(ab)·aa2a·b|a|2.故向量ab與a的夾角的余弦值為cos .所以.答案B6設(shè)兩向量e1，e2滿足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解由已知得e4，e1，e1·e22×1×cos 60°1.(2te17e2)·(e1te2)2te(2t27)e1·e27te2t215t7.欲使夾角為鈍角，需2t215t70，得7t.設(shè)2te17e2(e1te2)(0)，2t27.t，此時(shí).即t時(shí)，向量2te17e2與e1te2的夾角為.當(dāng)兩向量夾角為鈍角時(shí)，t的取值范圍是.考點(diǎn)：向量的垂直關(guān)系1、已知平面向量a(，1)，b.(1)證明：ab；(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，試求函數(shù)關(guān)系式kf(t)(1)證明a·b×1×0，ab.(2)解ca(t23)b，dkatb，且cd，c·da(t23)b·(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)a·b0.又a2|a|24，b2|b|21，a·b0，c·d4kt33t0，kf(t)(t0)考點(diǎn)：坐標(biāo)法的應(yīng)用1、 (xx·上海卷)在矩形ABCD中，設(shè)AB，AD的長(zhǎng)分別為2,1.若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足，則·的取值范圍是_解：如圖，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，設(shè)k(0k1)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，k)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(22k,1)，則(2，k)，(22k,1)，·2(22k)k43k，而0k1，故143k4.答案1,42、(xx·江蘇卷)如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·，則·的值是_解析：以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)，(x,2)，(，0)，(，1)，(x，2)，·x，解得x1，F(xiàn)(1,2)，·.