指導四 高考創(chuàng)新題型揭-秘創(chuàng)新型數(shù)學問題的命制是以集合、函數(shù)圖象與性質(zhì)、立體幾何、數(shù)列、復(fù)數(shù)等常規(guī)知識為基礎(chǔ)，并用新的背景、新的情境等進行“包裝”，使平淡的數(shù)學題煥發(fā)出新的活力，充滿了無窮的魅力此類問題有利于考查考生在新情境下分析問題、解決問題的實際能力，有利于考查考生的發(fā)散性思維能力和探索、創(chuàng)新精神，是各級各類考試中一道亮麗的風景線設(shè)置“新定義” “新定義”試題是指給出一個考生從未接觸過的新規(guī)定、新概念，要求考生現(xiàn)學現(xiàn)用，其目的是考查考生的閱讀理解能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生自主學習、主動探究的品質(zhì)此類問題可能以文字的形式出現(xiàn)，也可能以數(shù)學符號或數(shù)學表達式的形式出現(xiàn)，要求考生要先準確理解“新定義”的特點，再加以靈活運用特別提醒：“給什么，用什么”是應(yīng)用“新定義”解題的基本思路例1(2020·唐山調(diào)研)若函數(shù)exf(x)(e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為_f(x)2xf(x)3xf(x)x3f(x)x22解析設(shè)g(x)exf(x)對于，g(x)ex·2x(xR)，g(x)ex·2xex·2x·ln 2(1ln 2)·ex·2x0，函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，故中f(x)具有M性質(zhì)對于，g(x)ex·3x(xR)，g(x)ex·3xex·3x·ln 3(1ln 3)·ex·3x0，函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，故中f(x)不具有M性質(zhì)對于，g(x)ex·x3(xR)，g(x)ex·x3ex·3x2(x3)·ex·x2，當x3時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，故中f(x)不具有M性質(zhì)對于，g(x)ex·(x22)(xR)，g(x)ex·(x22)ex·2x(x22x2)·ex(x1)21·ex0，函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，故中f(x)具有M性質(zhì)綜上，具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為.答案解決此類新定義問題首先要準確理解給出的新定義，然后把其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學問題求解如本例通過對函數(shù)f(x)所具有M性質(zhì)的理解，將問題轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)是否具有此性質(zhì)活學活用1(2019·青島三模)已知函數(shù)yf(x)(xR)對于函數(shù)yg(x)(xI)，定義g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)yh(x)(xI)，yh(x)滿足：對任意xI，兩個點(x，h(x)，(x，g(x)關(guān)于點(x，f(x)對稱若h(x)是g(x)關(guān)于f(x)3xb的“對稱函數(shù)”，且h(x)g(x)恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是_解析：由于g(x)的圖象是圓x2y24在x軸上方的半圓(包括與x軸的交點)，設(shè)這個半圓的一條切線方程為y3xb1，則有2，解得b12，要使得h(x)g(x)恒成立，則需bb12.故實數(shù)b的取值范圍為(2，)答案：(2，)設(shè)置“新運算”“新運算”是指在現(xiàn)有的運算法則和運算律的基礎(chǔ)上定義的一種新的運算，是一種特別設(shè)計的計算形式，它使用一些特殊的運算符號，如“*”“”“”等，這些符號與四則運算中的加減乘除符號是不一樣的“新運算”類問題的情境一般比較陌生，求解時考生需要坦然面對，先準確理解“新運算”法則，再加以靈活運用即可解決問題特別注意：新定義的算式在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合運用現(xiàn)有的運算法則和運算律進行計算的例2定義一種運算“”，對于任意nN*均滿足以下運算性質(zhì)：(1)22 0171；(2)(2n2)2 017(2n)2 0173.則2 0182 017_.解析設(shè)an(2n)2 017，則由運算性質(zhì)(1)知a11，由運算性質(zhì)(2)知an1an3，即an1an3.于是，數(shù)列an是等差數(shù)列，且首項為1，公差為3.故2 0182 017(2×1 009)2 017a1 00911 008×33 025.答案3 025注意到(2n)2 017與2(n1)2 017(2n2)2 017)結(jié)構(gòu)相同，具體區(qū)別為前邊是“n”，后邊是“n1”，于是，可將它們看作某一數(shù)列的相鄰兩項，從而通過“換元”將不熟悉的“新運算”問題轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列問題，這是求解本題的關(guān)鍵活學活用2定義平面向量之間的一種運算“”如下：對任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面說法錯誤的是()A若a與b共線，則ab0BabbaC對任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(a·b)2|a|2|b|2解析：B若a(m，n)與b(p，q)共線，則mqnp0，依運算“”知ab0，故A正確，由于abmqnp，又banpmq，因此abba，故B不正確由于a(m，n)，因此(a)bmqnp，又(ab)(mqnp)mqnp，故C正確(ab)2(a·b)2m2q22mnpqn2p2(mpnq)2m2(p2q2)n2(p2q2)(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，故D正確設(shè)置“實際背景”以現(xiàn)實中的生活實例或最新時事為背景，考查學生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識解決這類問題的關(guān)鍵，正確理解題意，建立數(shù)學模型例3交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，且保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：交強險浮動因素和費率浮動比率表浮動因素浮動比率A1上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮10%A2上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮20%A3上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮30%A4上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮10%A6上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故上浮30%某機構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率；(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車假設(shè)購進一輛事故車虧損5 000元，一輛非事故車盈利10 000元且各種投保類型的頻率與上述機構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問題：若該銷售商店內(nèi)有6輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，某顧客欲在其內(nèi)隨機挑選2輛車，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率；若該銷售商一次購進120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值解析(1)一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率為.(2)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內(nèi)的6輛該品牌車齡已滿三年的二手車中有2輛事故車，設(shè)為b1，b2,4輛非事故車，設(shè)為a1，a2，a3，a4.從6輛車中隨機挑選2輛車的情況有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共15種其中2輛車恰好有一輛為事故車的情況有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共8種所以該顧客在店內(nèi)隨機挑選2輛車，這2輛車恰好有一輛事故車的概率為.由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商一次購進120輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車40輛，非事故車80輛，所以一輛車盈利的平均值為(5 000)×4010 000×805 000(元)本例以“交強險”這一實際生活實例為背景，考查了古典概型概率的求法以及平均值的計算活學活用3幾位大學生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是()A440B330C220 D110解析：A設(shè)第一項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依次類推，則第n組的項數(shù)為n，前n組的項數(shù)和為.由題意可知，N100，令100，得n14，nN*，即N出現(xiàn)在第13組之后易得第n組的所有項的和為2n1，前n組的所有項的和為n2n1n2.設(shè)滿足條件的N在第k1(kN*，k13)組，且第N項為第k1組的第t(tN*)個數(shù)，若要使前N項和為2的整數(shù)冪，則第k1組的前t項的和2t1應(yīng)與2k互為相反數(shù)，即2t1k2，2tk3，tlog2(k3)，當t4，k13時，N495100，不滿足題意；當t5，k29時，N5440；當t5時，N440，故選A.設(shè)置“新模型”“新模型”試題指已知條件中給出具體的解題模型，需要考生將所給解題模型遷移至新情境中，對目標問題進行合理探究著重考查考生的閱讀理解能力，接受能力，應(yīng)變能力和創(chuàng)新、探究能力例4我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(2,3)且法向量為n(4，1)的直線(點法式)方程為4×(x2)(1)×(y3)0，化簡得4xy110.類比以上方法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點B(1,2,3)且法向量為m(1，2,1)的平面(點法式)方程為_解析由題意可設(shè)Q(x，y，z)為所求平面內(nèi)的任一點，則根據(jù)m，得·m0，所以(1)×(x1)(2)×(y2)1×(z3)0，化簡得x2yz20.故所求平面方程為x2yz20.答案x2yz20本題求解的關(guān)鍵是具體探究所給解題過程：設(shè)P(x，y)為所求直線上的任一點，則根據(jù)n，得·n0，所以4×(x2)(1)×(y3)0，化簡得4xy110.類比此解題過程，即可輕松解決目標問題活學活用4(1)“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”說明同一事物從不同角度看，我們會有不同的認識在數(shù)學解題活動中，倘若能恰當?shù)馗淖兎治鰡栴}的角度，往往會有“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”之感請閱讀以下問題及其解答：問題：對任意a1,1，不等式x2ax20恒成立，求實數(shù)x的取值范圍解析：令f(a)xa(x22)，則對任意的a1,1，不等式x2ax20恒成立，等價于解得1x1.故實數(shù)x的取值范圍是1,1(2)類比上述解法，可得關(guān)于x的方程2x3ax28x(a24a)0(a1)的根為_解析：因為2x3ax28x(a24a)0，所以a2(x24)a2(x34x)0，所以a2(x2)a(x22x)0，解得a2(x2)或ax22x，故所求方程的根為x12，x21，x31.答案：1設(shè)置“新考查方向”“新考查方向”試題是指試題考查的方式、方法與常規(guī)試題不同，此類試題設(shè)計新穎，注意對所學數(shù)學知識、方法的有效整合，側(cè)重考查考生的綜合運用能力此類型問題的設(shè)置充分體現(xiàn)了考綱要求“以能力立意”，側(cè)重體現(xiàn)對知識的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情境中去的能力，從而檢測出考生的理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能例5我市某高中從高三年級甲、乙兩個班中各選出7名學生參加全國高中數(shù)學聯(lián)賽(河南預(yù)賽)，他們?nèi)〉玫某煽?滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的中位數(shù)是81，乙班學生成績的平均數(shù)是86.若正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則的最小值為()A. B2C. D9解析：C由題意及莖葉圖可知80x81，86，則x1，y4.因為正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，所以2Gab，G2xy4，所以ab4，所以·2 ，當且僅當b2a時取等號故選C.本題以統(tǒng)計、數(shù)列知識為背景，考查基本不等式的運用，設(shè)計新穎，綜合性強，體現(xiàn)了在知識交匯處命題的特點根據(jù)樣本的數(shù)字特征及莖葉圖求得x，y的值，并利用等差、等比中項建立關(guān)于a，b的等量關(guān)系，即可將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的基本不等式求最值問題活學活用5(2017·全國卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上若，則 的最大值為()A3 B2C. D2解析：A如圖，建立平面直角坐標系則A(0,1)，B(0,0)，D(2,1)，C(2,0)，設(shè)P(x，y)根據(jù)等面積公式可得圓的半徑r是，即圓的方程是(x2)2y2(x，y1)，(0，1)，(2,0)，若滿足，即，1y，所以y1，設(shè)zy1，即y1z0，點P(x，y)在圓(x2)2y2上，所以圓心到直線的距離dr，即，解得1z3，所以z的最大值是3，即的最大值是3，故選A.- 7 -