指導五 回扣溯源·查缺補漏集合、復數(shù)與常用邏輯用語方法結(jié)論·記熟用活1集合(1)集合的運算性質(zhì)：ABABA；ABBBA；ABUAUB；交集的補集等于補集的并集，即U(AB)(UA)(UB)；并集的補集等于補集的交集，即U(AB)(UA)(UB)(2)子集、真子集個數(shù)計算公式：對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n,2n1,2n1,2n2.2復數(shù)(1)復數(shù)的相等：abicdi(a，b，c，dR)ac，bd.(2)共軛復數(shù)：當兩個復數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)(3)運算：(abi)±(cdi)(a±c)(b±d)i，(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i，(abi)÷(cdi)i(cdi0)(4)復數(shù)的模：|z|abi|r(r0，rR)3四種命題的關(guān)系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系4充分條件與必要條件若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，則p，q互為充要條件5全(特)稱命題及其否定(1)全稱命題p：xM，p(x)它的否定 p：x0M，p(x0)(2)特稱命題p：x0M，p(x0)它的否定 p：xM，p(x)警示易錯·跳出陷阱1遇到AB時，注意“極端”情況：A或B；同樣在應用條件ABBABAAB時，不要忽略A的情況2區(qū)分命題的否定和否命題的不同，否命題是對命題的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對命題的結(jié)論否定3“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，但A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，但B不能推出A.4復數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件是a0且b0(zabi(a，bR)還要注意巧妙運用參數(shù)問題和合理消參的技巧習題回扣·保溫必勝1設UR，Ax|1x3，Bx|2x4，則AB (2,3 ，AB 1,4) AUB (，34，) 2已知(12i)43i，則z 2i ， i .3已知p：x0R，xx010，則p xR，x2x10 .4已知條件p：x22x30，條件q：xa，且 p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為 1，) 函數(shù)圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程方法結(jié)論·記熟用活1函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結(jié)論復合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則；(2)奇偶性：若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(x)；若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則f(0)0；奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；(3)周期性：若yf(x)對xR，f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)恒成立，則yf(x)是周期為2a的周期函數(shù)；若yf(x)是偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線xa對稱，則f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)；若yf(x)是奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線xa對稱，則f(x)是周期為4|a|的周期函數(shù)；若f(xa)f(x)，則yf(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)2函數(shù)與方程(1)零點定義：x0為函數(shù)f(x)的零點f(x0)0(x0,0)為f(x)的圖象與x軸的交點(2)確定函數(shù)零點的三種常用方法解方程判定法：解方程f(x)0.零點定理法：根據(jù)連續(xù)函數(shù)yf(x)滿足f(a)f(b)0，判斷函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點數(shù)形結(jié)合法：尤其是方程兩端對應的函數(shù)類型不同時多用此法求解警示易錯·跳出陷阱1解決分段函數(shù)問題時，要注意與解析式對應的自變量的取值范圍2求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“”和“或”連接，可用“及”連接或用“，”隔開單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替3判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響4準確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)如函數(shù)yax(a0，a1)的單調(diào)性容易忽視字母a的取值討論，忽視ax0；對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，a1)容易忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件5易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點，不能把函數(shù)零點、方程的解、不等式解集的端點值進行準確互化習題回扣·保溫必勝1若函數(shù)f(x)x2mxm2是偶函數(shù)，則m 0 .2若函數(shù)f(x)x2mx2在區(qū)間(，2)上是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為 (，4 3已知函數(shù)yloga(xb)的圖象如圖所示，則a ；b 3 .4若方程7x2(m13)xm20的一個根在區(qū)間(0,1)上，另一個根在區(qū)間(1,2)上，則實數(shù)m的取值范圍是 (4，2) 導數(shù)及其應用方法結(jié)論·記熟用活1導數(shù)的幾何意義(1)f(x0)的幾何意義；曲線yf(x)在點xx0的導數(shù)就是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，該切線的方程為yf(x0)f(x0)(xx0)(2)切點的兩大特征：在曲線yf(x)上；在切線上2利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：求函數(shù)f(x)的定義域；求導函數(shù)f(x)；由f(x)0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由f(x)0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間3利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值(1)求函數(shù)的極值的一般步驟：確定函數(shù)的定義域；解方程f(x)0；判斷f(x)在方程f(x)0的根x0兩側(cè)的符號變化；若左正右負，則x0為極大值點；若左負右正，則x0為極小值點；若不變號，則x0不是極值點(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最值的一般步驟：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；比較函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值4與不等式有關(guān)的恒成立與存在性問題(1)f(x)g(x)對一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI)(2)存在x0I使f(x)g(x)成立I與f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI)(3)對x1，x2D使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)對x1D1，x2D2使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min，f(x)定義域為D1，g(x)定義域為D2.5證明不等式問題不等式的證明可轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，再由單調(diào)性或最值來證明不等式，其中構(gòu)造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關(guān)鍵警示易錯·跳出陷阱1曲線yf(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”是不同的前者只有一條，后者則可能有多條2利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，首先確定函數(shù)的定義域3已知單調(diào)性求參數(shù)時，應明確f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上是增函數(shù)的充分條件當f(x)在(a，b)上是增函數(shù)時，應有f(x)0恒成立(其中滿足f(x)0的x只有有限個)，否則答案不全面4可導函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)f(x0)0是yf(x)在xx0處取得極值的必要不充分條件5求定積分時應明確定積分結(jié)果可負，但曲邊形的面積非負習題回扣·保溫必勝1曲線yx2axb在點(0，b)處的切線方程是xy10，則ab 2 .2函數(shù)f(x)2x36x27的單調(diào)遞增區(qū)間是 (，0)，(2，) 3函數(shù)f(x)x34x在x 2 處取極大值，其值是 .4已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，其導函數(shù)為f(x)，當x(0，)時，恒有xf(x)f(x)若g(x)xf(x)，則滿足g(1)g(12x)的實數(shù)x的取值范圍是 (，0)(1，) 三角函數(shù)、解三角形方法結(jié)論·記熟用活1“牢記”四組公式(1)同角三角函數(shù)關(guān)系式平方關(guān)系：sin2cos21；商數(shù)關(guān)系：tan .(2)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(±)sin cos ±cos sin ；cos(±)cos cos sin sin ；tan(±).(3)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos ；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2；cos2，sin2.(4)輔助角公式asin bcos sin().2三種三角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象單調(diào)性在(kZ)上單調(diào)遞增；在(kZ)上單調(diào)遞減在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在(kZ)上單調(diào)遞增對稱性對稱中心：(k，0)(kZ)；對稱軸：xk(kZ)對稱中心：(kZ)；對稱軸：xk(kZ)對稱中心：(kZ)3.三角函數(shù)的圖象變換4正弦定理及其變形2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.5余弦定理及其推論、變形a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.變形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.警示易錯·跳出陷阱1在求三角函數(shù)的值域(或最值)時，不要忽略x的取值范圍2求函數(shù)f(x)Asin(x)的單調(diào)區(qū)間時，要注意A與的符號，當0時，需把的符號化為正值后求解3三角函數(shù)圖象變換中，注意由ysin x的圖象變換得到y(tǒng)sin(x)時，平移量為，而不是.4在已知兩邊和其中一邊的對角時，要注意檢驗解是否滿足“大邊對大角”，避免增解習題回扣·保溫必勝1函數(shù)f(x)tan xcos x的值域是(1,1)2已知函數(shù)f(x)sin，為了得到函數(shù)g(x)cos 2x的圖象，只要將yf(x)的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度解析：Ag(x)sinsin，yf(x)的圖象向左平移個單位長度即可得到y(tǒng)g(x)的圖象3在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a1，c.(1)若角C，則角A ；(2)若角A，則b 2或1 .平面向量、算法、合情推理方法結(jié)論·記熟用活1平面向量(1)平面向量的兩個充要條件若兩個非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abab(b0)x1y2x2y10.aba·b0x1x2y1y20.(2)平面向量的三個性質(zhì)若a(x，y)，則|a|.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .|a·b|a|·|b|.(3)三點共線的判定三個點A，B，C共線，共線；向量，中三終點A，B，C共線存在實數(shù)，使得，且1.2程序框圖程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)(1)順序結(jié)構(gòu)：如圖(1)所示；(2)條件結(jié)構(gòu)：如圖(2)和(3)所示；(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)：如圖(4)和(5)所示3合情推理的思維過程(1)歸納推理的思維過程(2)類比推理的思維過程警示易錯·跳出陷阱1a·b0不能推出a0或b0，因為a·b0時，有可能ab.2a·b0是兩個向量a，b夾角為銳角的必要不充分條件3在解決含有循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖時，要弄清停止循環(huán)的條件注意理解循環(huán)條件中“”與“”的區(qū)別4解決程序框圖問題時，要注意流程線的指向與其上文字“是”“否”的對應5類比推理易盲目機械類比，不要被表面的假象(某一點表面相似)迷惑，應從本質(zhì)上類比習題回扣·保溫必勝1.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，他在所著的數(shù)書九章中提出的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n，x的值分別為3,4，則輸出v的值為()A6B25C100 D400解析：C輸入n3，x4，v1，i312；v1×426；i211；v6×4125，i110；v25×4100，i0110.程序結(jié)束，輸出的v100.故選C.2已知甲、乙、丙三人恰好都去過青島、三亞中的一個城市，三人分別給出了以下說法：甲說：我去過三亞，乙去過三亞，丙去過青島；乙說：我去過三亞，甲說的不完全對；丙說：我去過青島，乙說的對已知甲、乙、丙三人中恰好有一人說的不對，則去過青島的是()A甲、乙B乙、丙C甲、丙 D甲、乙、丙解析：C若甲說的不對，則乙、丙說的對，即乙一定去過三亞，丙一定去過青島，甲只可能去過青島；若乙、丙說的不對，則得出與“甲、乙、丙三人中恰好有一人說的不對”矛盾，所以去過青島的是甲、丙3已知正方形ABCD，點E在邊BC上，且滿足2，設向量，的夾角為，則cos _.解析：通解：因為2，所以E為BC中點設正方形的邊長為2，則|，|2，··()|2|2·×22222，所以cos .優(yōu)解：因為2，所以E為BC中點設正方形的邊長為2，建立如圖所示的平面直角坐標系xAy，則點A(0，0)，B(2,0)，D(0,2)，E(2,1)，所以(2,1)，(2,2)，所以·2×(2)1×22，故cos .答案：數(shù)列方法結(jié)論·記熟用活1等差數(shù)列(1)基本公式：通項公式、前n項和公式(2)項的性質(zhì)：mnpq(m，n，p，qN*)時，amanapaq，當pq時，aman2ap.(3)基本方法：基本量法；定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列，其他證明方法均為定義法的延伸；函數(shù)方法處理等差數(shù)列的前n項和問題2等比數(shù)列(1)基本公式：通項公式、前n項和公式(公比等于1和不等于1)(2)項的性質(zhì)：mnpq(m，n，p，qN*)時，amanapaq，當pq時，amana.(3)基本方法：基本量法；定義法證明數(shù)列an為等比數(shù)列，其他證明方法均為定義法的延伸3數(shù)列求和的常用方法(1)等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和，直接利用公式求和(2)形如an·bn(其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列)的數(shù)列，利用錯位相減法求和(3)通項公式形如an(其中a，b1，b2，c為常數(shù))用裂項相消法求和(4)通項公式形如an(1)n·n或ana·(1)n(其中a為常數(shù)，nN*)等正負項交叉的數(shù)列求和一般用并項法并項時應注意分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論警示易錯·跳出陷阱1已知數(shù)列的前n項和求an，易忽視n1的情形，直接用SnSn1表示事實上，當n1時，a1S1；當n2時，anSnSn1.2運用等比數(shù)列的前n項和公式時，易忘記分類討論一定分q1和q1兩種情況進行討論3利用錯位相減法求和時，要注意尋找規(guī)律，不要漏掉第一項和最后一項4裂項相消法求和時，分裂前后的值要相等，如，而是.習題回扣·保溫必勝1已知數(shù)列an的前n項和為Snn2n1，則數(shù)列an的通項公式為 an .2設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3S6S9，則數(shù)列an的公比q 1或1 .3等差數(shù)列an中，已知|a6|a11|，且公差d0，則其前n項和取最小值時n的值為()A6B7C8 D9解析：C由d0可得等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以a1，則a80，a90，所以前8項和為前n項和的最小值，故選C.不等式方法結(jié)論·記熟用活1一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷的符號)；三解(解對應的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：二次項系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；判別式，它決定根的情形，一般分0，0，0三種情況；在有根的條件下，要比較兩根的大小2一元二次不等式的恒成立問題(1)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是3基本不等式(1)(a，b(0，)，當且僅當ab時取等號(2)在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中“正”、“定”、“等”的條件4線性規(guī)劃(1)可行域的確定，“線定界，點定域”(2)線性目標函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得(3)線性目標函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，這時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個警示易錯·跳出陷阱1求解形如ax2bxc0(a0)的一元二次不等式時，易忽視系數(shù)a的討論導致漏解或錯解，應分a0，a0進行討論在填空題中不等式的解集一定要寫成集合或區(qū)間的形式2求解線性規(guī)劃問題時應明確：“直線定界，特殊點定域”，定界時注意是否包含邊界3使用基本不等式時應注意“一正、二定、三相等”的條件，在多次使用基本不等式求最值時，應注意取“等號”的條件是否一致習題回扣·保溫必勝1若x，y滿足約束條件則z3x5y的最大值為17，最小值為 11 .2若關(guān)于x的一元二次方程mx2(1m)xm0沒有實數(shù)根，則m的取值范圍為 (，1) .3函數(shù)f(x)x的值域是 (，22，) 立體幾何方法結(jié)論·記熟用活1三視圖排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖一樣；側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度和正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣畫三視圖的基本要求：正(主)俯一樣長，俯側(cè)(左)一樣寬，正(主)側(cè)(左)一樣高2平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖(2)兩個結(jié)論ab，b.3(理)用空間向量證明平行垂直設直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)則有：(1)線面平行l(wèi)aa·0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直v·v0a2a3b2b3c2c30.4(理)用向量求空間角(1)直線l1，l2的夾角有cos |cosl1，l2|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)(2)直線l與平面的夾角有sin |cosl，n|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面的法向量)(3)平面，的夾角有cos |cosn1，n2|，則l二面角的平面角為或(其中n1，n2分別是平面，的法向量)警示易錯·跳出陷阱1在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正(主)視圖和俯視圖為主2不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導致判斷出錯如由，l，ml，易誤得出m的結(jié)論，就是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中m的限制條件3注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系4(理)幾種角的范圍：兩條異面直線所成的角0°90°；直線與平面所成的角0°90°；二面角0°180°；兩條相交直線所成的角(夾角)0°90°；直線的傾斜角0°180°；兩個向量的夾角0°180°；銳角0°90°.5(理)空間向量求角時易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，如求解二面角時，不能根據(jù)幾何體判斷二面角的范圍，忽視法向量的方向，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導致出錯習題回扣·保溫必勝1一個三棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)(左)視圖可能為()解析：D分析三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD平面BCD，故其側(cè)(左)視圖應為D.2已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是()A若m，n，則mnB若m，mn，則nC若m，mn，則nD若m，n，則mn解析：D在正方體ABCDABCD中，令底面ABCD為平面.A令mAB，nBC，滿足m，n，但mn不成立，A項錯誤；B令mAA，nAB，滿足m，mn，但n不成立，B項錯誤；C令mAB，nAD，滿足m，mn，但n不成立，C項錯誤D正確3三棱錐PABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐DABE的體積為V1，PABC的體積為V2，則_.解析：由題意，知VDABEVABDEV1，VPABCVAPBCV2.因為D，E分別為PB，PC中點，所以.設點A到平面PBC的距離為d，則.答案：4(理)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為2，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為_解析：以C為原點建立坐標系，得下列坐標：A(2,0,0)，C1(0,0,2)點C1在側(cè)面ABB1A1內(nèi)的射影為點C2，所以(2,0,2)，設直線AC1與平面ABB1A1所成的角為，則cos .又，所以.答案：解析幾何方法結(jié)論·記熟用活1直線：直線的傾斜角和斜率、直線方程的四種特殊形式、直線方程的一般形式、兩直線平行關(guān)系和垂直關(guān)系的判斷、點到直線的距離公式、兩平行線間的距離公式2圓：圓的定義、標準方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圓的充要條件、直線與圓的位置關(guān)系(三種，距離判斷方法)、圓與圓的位置關(guān)系(距離判斷方法)3圓錐曲線定義、標準方程和性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF|PM|定點F不在直線l上，PMl于M標準方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)圖形幾何性質(zhì)軸長軸長2a，短軸長2b實軸長2a，虛軸長2b離心率e (0e1)e (e1)e1漸近線y±x4.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|或|P1P2| .5拋物線y22px(p0)，過焦點的弦AB有如下結(jié)論：(1)xA·xB；(2)yA·yBp2；(3)|AB|(是直線AB的傾斜角)；(4)|AB|xAxBp.警示易錯·跳出陷阱1不能準確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系，導致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時出錯2易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩軸上的截距相等設方程時，忽視截距為0的情況，直接設為1；再如，過定點P(x0，y0)的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設為yy0k(xx0)等3討論兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視系數(shù)等于零時的討論導致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0.4圓的標準方程中，易誤把r2當成r；圓的一般方程中忽視方程表示圓的條件5易誤認為兩圓相切為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導致漏解6利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支7已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時，易忽視討論焦點所在坐標軸導致漏解習題回扣·保溫必勝1已知直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)24相交于A，B兩點，且ABC為等邊三角形，則實數(shù)a的值為()A4 B4C4± D4±解析：C依題意，圓C的半徑是2，圓心C(1，a)到直線axy20的距離等于×2，于是有，即a28a10，解得a4±.2在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：B設橢圓方程為1(ab0)，因為AB過F1且A，B在橢圓上，如圖，則ABF2的周長為|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，解得a4.又離心率e，故c2.所以b2a2c28，所以橢圓C的方程為1.3已知點F(c,0)(c0)是雙曲線1(a0，b0)的左焦點，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x2y2c2交于點F和另一個點P，且點P在拋物線y24cx上，則該雙曲線的離心率是()A. B.C. D.解析：C本題主要考查圓錐曲線間知識的綜合應用，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學運算如圖，由x2y2c2與y24cx及題意可取P(2)c,2c)，又P在過F且與漸近線平行的直線y(xc)上，所以2(2)cc，又a2b2c2且e，所以e.故選C.4已知離心率為e的雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點為F，且O為坐標原點，以OF為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O，A兩點，若AOF的面積為4，則a的值為_解析：因為e ，所以，設|AF|m，則|OA|2m，所以SAOF·m·2m4，解得m2.由勾股定理，得c2.又，所以a4.答案：4概率與統(tǒng)計方法結(jié)論·記熟用活1概率的計算公式(1)古典概型的概率計算公式P(A).(2)互斥事件的概率計算公式P(AB)P(A)P(B)(3)對立事件的概率計算公式P()1P(A)(4)幾何概型的概率計算公式P(A).2抽樣方法簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣(1)從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，則每個個體被抽到的概率都為；(2)分層抽樣實際上就是按比例抽樣，即按各層個體數(shù)占總體的比確定各層應抽取的樣本容量3統(tǒng)計中的四個數(shù)據(jù)特征(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)(2)中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即(x1x2xn)(4)方差與標準差方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2標準差：s .4頻率分布直方圖的三個結(jié)論(1)小長方形的面積組距×頻率(2)各小長方形的面積之和等于1.(3)小長方形的高，所有小長方形高的和為.5線性回歸方程線性回歸方程x一定過樣本點的中心(，)6獨立性檢驗利用獨立性檢驗來考查兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較為準確地給出這種判斷的可靠程度，具體的做法是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算，由公式K2所給出的檢驗隨機變量K2的觀測值k，并且k的值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性就越大7(理)排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式An(n1)(n2)(nm1)C性質(zhì)0！1；An！CC；CCC8.(理)二項式定理(1)二項式定理二項式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二項展開式的通項公式Tk1Cankbk，它表示第k1項二項式系數(shù)二項展開式中各項的系數(shù)C(k0,1,2，n)(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)0kn時，C與C的關(guān)系是CC.二項式系數(shù)先增后減中間項最大當n為偶數(shù)時，第1項的二項式系數(shù)最大，最大值為Cn；當n為奇數(shù)時，第項和項的二項式系數(shù)最大，最大值為Cn和Cn.各二項式系數(shù)和：CCCC2n，CCCCCC2n1.9(理)八組公式(1)離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)pi0(i1,2，n)；p1p2pn1.(2)數(shù)學期望公式E(X)x1p1x2p2xnpn.(3)數(shù)學期望的性質(zhì)E(aXb)aE(X)b；若XB(n，p)，則E(X)np；若X服從兩點分布，則E(X)p.(4)方差公式D(X)(x1E(X)2·p1(x2E(X)2·p2(xnE(X)2·pn，標準差.(5)方差的性質(zhì)D(aXb)a2D(X)；若XB(n，p)，則D(X)np(1p)；若X服從兩點分布，則D(X)p(1p)(6)獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式P(AB)P(A)P(B)(7)獨立重復試驗的概率計算公式Pn(k)Cpk(1p)nk.(8)條件概率公式P(B|A).10(理)正態(tài)分布如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為XN(，2)滿足正態(tài)分布的三個基本概率的值是：P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.警示易錯·跳出陷阱1正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件2混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當成頻率，導致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯3(理)要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別(1)在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時發(fā)生(2)樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為，因而有P(A|B)P(AB)4(理)二項式(ab)n與(ba)n的展開式相同，但通項公式不同，對應項也不相同，在遇到類似問題時，要注意區(qū)分還要注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，同時明確二項式系數(shù)最大項與展開式系數(shù)最大項的不同5(理)易忘判定隨機變量是否服從二項分布，盲目使用二項分布的數(shù)學期望和方差公式計算致誤(理)習題回扣·保溫必勝1一組數(shù)據(jù)共有7個數(shù)，記得其中有10,2,5,2,4,2，還有一個數(shù)沒記清，但知道這組數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，這個數(shù)的所有可能值的和為()A9 B3C17 D11解析：A設這個數(shù)為x，則平均數(shù)為，眾數(shù)為2，若x2，則中位數(shù)為2，此時x11；若2x4，則中位數(shù)為x，此時2x2，x3；若x4，則中位數(shù)為4.2×42，x17.所有可能值為11,3,17，故其和為113179.2某數(shù)學興趣小組有男生3名，記為a1，a2，a3；有女生2名，記為b1，b2，現(xiàn)從中任選2名學生去參加學校數(shù)學競賽，則(1)參賽學生中恰好有1名男生的概率為 .(2)參賽學生中至少有1名男生的概率為 .3某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，則他等待的時間不多于10分鐘的概率為 .4天氣預報，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則在這段時間內(nèi)至少有一個地方降雨的概率是_解析：事件A：甲地降雨，事件B：乙地降雨，則至少有一個地方降雨的概率為P(AB)P(A)P(B)0.2×0.30.2×(10.3)(10.2)×0.30.44.答案：0.445現(xiàn)要發(fā)行10 000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1 000張，10元的彩票200張，50元的彩票50張，100元的彩票50張，1 000元的彩票5張，1張彩票可能中獎金額的均值是_元解析：設X表示1張彩票的中獎金額，則它的分布列為X0210501001 000P0.869 50.10.020.0050.0050.000 5EX0×0.86952×0.110×0.0250×0.005100×0.005100×0.0051.65答案：1.65(文)習題回扣·保溫必勝1一組數(shù)據(jù)共有7個數(shù)，記得其中有10,2,5,2,4,2，還有一個數(shù)沒記清，但知道這組數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，這個數(shù)的所有可能值的和為()A9 B3C17 D11解析：A設這個數(shù)為x，則平均數(shù)為，眾數(shù)為2，若x2，則中位數(shù)為2，此時x11；若2x4，則中位數(shù)為x，此時2x2，x3；若x4，則中位數(shù)為4.2×42，x17.所有可能值為11,3,17，故其和為113179.2某數(shù)學興趣小組有男生3名，記為a1，a2，a3；有女生2名，記為b1，b2，現(xiàn)從中任選2名學生去參加學校數(shù)學競賽，則(1)參賽學生中恰好有1名男生的概率為.(2)參賽學生中至少有1名男生的概率為.3某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，則他等待的時間不多于10分鐘的概率為.4有人收集了10年中某城市的居民收入x億元與某種商品的銷售額y萬元的有關(guān)數(shù)據(jù)，由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程是1.447x15.843.若這座城市居民的年收入達到40億元，則這種商品的銷售額估計是_萬元解析：當x40時，1.447×4015.84342.037.答案：42.0375為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯(lián)表：患病未患病總計服用藥104555沒服用藥203050總計3075105通過計算K2說明可有_的把握認為藥物有效(P(K25.024)0.025)解析：K2的觀測值k6.109 15.024，所以有97.5%的把握認為藥物有效答案：97.5%選修4系列方法結(jié)論·記熟用活1坐標系與參數(shù)方程(選修44)(1)直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標系中取相同的長度單位設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(，)，則(2)圓的極坐標方程若圓心為M(0，0)，半徑為r，則圓的方程為220cos(0)r20.幾個特殊位置的圓的極坐標方程：當圓心位于極點，半徑為r：r；當圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos ；當圓心位于M，半徑為a：2asin .(3)直線的極坐標方程若直線過點M(0，0)，且與極軸所成的角為，則它的方程為sin()0sin(0)幾個特殊位置的直線的極坐標方程：直線過極點：0和0；直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cos a；直線過M且平行于極軸：sin b.(4)幾種常見曲線的參數(shù)方程直線經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)圓以O(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中是參數(shù)當圓心為(0,0)時，方程為其中是參數(shù)橢圓橢圓1(ab0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)橢圓1(ab0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)2不等式選講(選修45)(1)絕對值不等式定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0時，等號成立(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|c(c0)caxbc.|axb|c(c0)axbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用絕對值不等式幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類討論思想通過構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想(4)證明不等式的基本方法比較法；綜合法；分析法；反證法；放縮法(5)二維形式的柯西不等式若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當且僅當adbc時，等號成立警示易錯·跳出陷阱1將曲線的參數(shù)方程化為普通方程主要消去參數(shù)，簡稱為“消參”把參數(shù)方程化為普通方程后，很容易改變變量的取值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致，因此我們要注意參數(shù)方程與普通方程的等價性2“零點分段法”是解絕對值不等式的最基本方法，一般步驟是：(1)令每個絕對值符號里的代數(shù)式等于零，求出相應的根；(2)把這些根按由小到大進行排序，n個根把數(shù)軸分為n1個區(qū)間；(3)在各個區(qū)間上，去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集；(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集習題回扣·保溫必勝1(選修44)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a0)在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：4cos .說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；曲線C3的極坐標方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解析：消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2(y1)2a2.C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為22sin 1a20.曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)，或a1.a1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上所以a1.2(選修45)設函數(shù)f(x)|x1|xa|.若a1，解不等式f(x)3；如果xR，f(x)2，求a的取值范圍解析：當a1時，f(x)|x1|x1|.由f(x)3得|x1|x1|3.()當x1時，不等式化為1x1x3，即2x3，不等式組的解集為.()當1x1時，不等式化為1xx13，不可能成立，不等式組的解集為.()當x1時，不等式化為x1x13，即2x3，不等式組的解集為.綜上得f(x)3的解集為.若a1，則f(x)2|x1|不滿足題設條件若a1，f(x)f(x)的最小值為1a.由題意有1a2，即a1.若a1，f(x)f(x)的最小值為a1，由題意有a12，故a3.綜上可知，a的取值范圍為(，13，)- 28 -