2022年高三數(shù)學(xué) 簡(jiǎn)易邏輯教案同步教案 新人教A版一、教學(xué)進(jìn)度 高考總復(fù)習(xí)之二-簡(jiǎn)易邏輯命題，四種命題的關(guān)系，充要條件二、 復(fù)習(xí)指導(dǎo)邏輯是正確解題的基礎(chǔ)，邏輯錯(cuò)誤會(huì)導(dǎo)致全功盡棄是否命題的關(guān)鍵是看它能否判定真假，是否復(fù)合命題的標(biāo)準(zhǔn)在于該命題是否含有邏輯聯(lián)結(jié)詞：或、且、非，如果，那么原命題：若p，則q：逆命題：若q，則p：否命題：若非p，則非q，逆否命題：若非q，則非p原命題與逆否命題互為逆否，同真假逆命題與否命題互為逆否，同真假.反證法就是從原命題的否定出發(fā)，推出矛盾（這個(gè)矛盾，指的是與已知條件矛盾，或與公理，定理矛盾，或與假設(shè)矛盾）從而說(shuō)明原命題的否定是錯(cuò)誤的，這樣就確立了原命題的正確性。要分清充分條件和必要條件，在證明充要條件時(shí)要分清充分性和必要性，若pq，則p是q 的充分條件，q是p的必要條件，即“推出人者為充分，被人推出者為必要”三、典型例題講評(píng)例1在ABC中，P：AB， q1=sinAsinB，q2：cosAcosB，q3：cotAcotB，q4：sinAcosB其中p是：（i=1，2，3，4）的什么條件？P是q1的充要條件，原因如下：ABab2RsinA2RsinB，sinAsinB；P是q2的充要條件，原因如下：函數(shù)y=cosx在0，上單調(diào)遞減，而A，B0，ABcosAcosB；P是q3的充要條件，理由類似P既不是q4的充分條件，也不是q4的必要條件，理由如下：若ABC，A=900，B=600，則sinAcosB，若ABC中，A=1350，B=300，則sinAcosB例2P為ABC內(nèi)（含邊界）任一點(diǎn)，“p到三邊距離之和為定值”是“ABC是正三角形”的什么條件？證明你的結(jié)論。充要條件.充分性，分別取p為A、B、C，則它到三邊距離之和分別為ha，hb，hc，由題設(shè)ha=hb=hc，由面積公式，a=b=c，ABC為正三角形必要性，若p在頂點(diǎn)處（不妨設(shè)p在A點(diǎn)），則p到三邊距離之和即ha（當(dāng)然與ha，hc相等，為定值）；若p點(diǎn)在邊上（不妨設(shè)在BC上），則P到三邊距離之和即p到b，c兩邊距離之和db+dc，SABC=SABP+SACP.故有aha=a(db+db+dc)，db+dc當(dāng)定值ha；若P點(diǎn)在三角形內(nèi)部則SABC=SABP+SBCP+SACP，從而有aha=a(da+db+dc)，即da+db+dc=ha.例3已知函數(shù)f(x)在（，+）上單調(diào)遞增，a、bR，對(duì)命題“若a+b0，則f(a)+f(b)f(a)+f(b)，則a+b0”（1）寫(xiě)出其逆命題，并證明它的真假.（2）寫(xiě)出其逆否命題，并證明它的真假.（1）逆命題：“若f(a)+f(b) f(a)+f(b)，則a+b0”這是一個(gè)真命題，我們用反證法證明：假設(shè)a+b0，即ab，ba，而f(x)單調(diào)遞增.故f(a)f(b)，f(b)f(a). 從而f(a)+f(b)f(a)+ f(b).與已知矛盾，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤.a+b0(2)逆否命題：“f(a)+f(b)f(b)+ f(a)，則a+b 0”這也是一個(gè)真命題，可類（1）用反證法證明.例4已知p：2，q：x22x+1m20（m0）又知非p是非q的必要條件，但不是充分條件，求取m的取值范圍。先化簡(jiǎn) p即x1，11，q即x1m，1+m非p：x1或x11，非q：x1 m或x1+m.非q非p，故，解得m10當(dāng)m10時(shí)，1與1m不可能相等，故非p 非q.m 例5已知曲線C1：f(xy)=0，C2：g(x，y)=0，點(diǎn)M坐標(biāo)為（a，b），則M（C1C2）是的什么條件？說(shuō)明你的理由.M（C1C2）即M（C1C2）之否定，亦即之否定，也就是f(x，y)0或g(x，y)0，故M（C1C2） ，即MC1，且MC2，亦即M（C1C2）. M（C1C2）M（C1C2）是的必要條件，但不是充分條件.例6（0，），求證：2可作為一個(gè)三邊長(zhǎng)均為整數(shù)的直角三角形的一個(gè)內(nèi)角的充要條件是tan是有理數(shù).充分性.設(shè)tan= （m，nN+，m ，n互質(zhì)，mn）則tan2=，作兩直角邊長(zhǎng)分別為2mn，m2n2的直角三角形，則其斜邊長(zhǎng)為= m2+n2，該三角形有一內(nèi)角為2，三角均為整數(shù).證法二：tan=，故可作RtABC，AC=nk，BC=mk（kN*）（如圖）作斜邊AB的中垂線交BC于D，則AD=BD，ADC=2B=2，設(shè)CD=x，則AD=+x，整理可得x=，取k=2m時(shí)x即當(dāng)整數(shù)，此時(shí)CD=x=m2n2，AC=2mn，AD=BD=2m2(m2n2)=m2+n2. 均為整數(shù).必要性：設(shè)RtABC中，B=2，三邊均為整數(shù)，延長(zhǎng)CB到D，使BD=AB，則D=，且DC=DB+BC=AB+BC為整數(shù)，tan=Q證法二，RtABC中，ABC=2，三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，BD為角平分線=.=Q鞏固練習(xí)1（1）x2+54 （xR）（2）ax2+bx+c=0是關(guān)于x的一元二次方程.（3）若b24ac0，則不等式ax2+bx+c0的解集為R或，以上哪些是命題？哪些是真命題？2P為平面四邊形ABCD內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)“p到四邊距離之和為定值”是“ABCD是正方形”的什么條件？證明你的結(jié)論.31，不可能是同一等差數(shù)列中的項(xiàng)4已知p：方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)根.q：方程4x2+4(m2)x+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根.若p或q真而p且q假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.5寫(xiě)出命題p：“若m0，則關(guān)于x的方程x2+xm=0有實(shí)數(shù)根”的逆命題，否命題和逆命題，并分別判斷它的真假.6已知p：3，q：0，非p是非q的什么條件？證明你的結(jié)論。7求關(guān)于x的方程m2x2(m+1)x+2=0根的總和為2的充要條件.8已知當(dāng)a成立時(shí)，4也成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。9若方程ax22x+1=0（a0）的小根x11，大根x2（1，3），求實(shí)數(shù)a的范圍.10寫(xiě)出命題“圓的兩相交弦若互相平分，則它們都是直徑”的逆命題，否命題和逆否命題，并判斷它們的真假。11若命題“abcd”和“abef”均真，則“cd”是“ef”的（ ）（A）充分條件，但不是必要條件 （B）必要條件，但不是充分條件（C）充要條件 （D）既不是充分條件，也不是必要條件12（1）p：“數(shù)列是常數(shù)列”，q：“數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列”（2）p：“數(shù)列是等比數(shù)列”，q：“數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=”.（3）p：“點(diǎn)（n，Sn）（nN+）都在一條過(guò)原點(diǎn)的拋物線上”，q：“數(shù)列是等差數(shù)列”（Sn是的前n項(xiàng)之和）（4）已知：數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=pn+q（p0且p1），p：“q=1”q：數(shù)列是等比數(shù)列.以上四題中，p是q的充要條件者為_(kāi)（標(biāo)出相應(yīng)題號(hào)即可）13已知兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程mx24x+4=0和x24mx+4m2+(44m)9=0，求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件。參考答案 1x2+5=(x2+1)+44.故可判斷（1）是一個(gè)假命題；當(dāng)a0時(shí)，ax2+bx+c=0才是關(guān)于x的一元二次方程，今不知a的取值情況，無(wú)法判斷其真假，故（2）不是命題；當(dāng)a=0時(shí)，b24ac=b2不可能小于0，故由b24ac0知ax2+bx+c0是關(guān)于x的一元二次不等式，判別式0，解集必為R或，故（3）是命題，且是真命題。2必要條件，但不是充分條件，證明如下：設(shè)ABCD為正方形，當(dāng)p為一頂點(diǎn)（不妨設(shè)是A）時(shí)，它到AB、AD距離為0，到CB、CD都相距a，和為2a；當(dāng)p在邊上（不妨設(shè)在AB上）時(shí)，它到AB距離為0，到BC、AD距離之和為a，到CD距離為a，和仍為定值2a，當(dāng)p在正方形內(nèi)部時(shí)，P到AB、CD距離之和為a，到AD、BC距離之和也為a，總和仍為定值2a； 另一方面，當(dāng)ABCD雖不是正方形而是菱形時(shí)也有此性質(zhì)，故不充分。3（反證法）假設(shè)1，是同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，則必存在m，nZ，mn，使1=md，1=nd（m，n均不當(dāng)0，d0），于是=，整理成=，平方得=1+，左為無(wú)理數(shù)，右為有理數(shù)，矛盾，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤。1，不可能是同一等差數(shù)列中的項(xiàng)。4p 或q真而p且q假p，q一真一假當(dāng)p真q假時(shí)，應(yīng)滿足 解得m3，當(dāng)p假q真時(shí)，應(yīng)滿足 解得mm5逆命題：“若關(guān)于x的方程x2+xm=0有實(shí)數(shù)根，則m0”；否命題：“m0，則關(guān)于x的方程x2+xm=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根”；逆否命題：“若關(guān)于x的方程x2+xm=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m0”. 當(dāng)m0時(shí)，=1+4m0，方程x2+xm=0必有兩個(gè)不等實(shí)根，故原命題及逆否命題是真命題。當(dāng)方程x2+xm=0，有實(shí)數(shù)根時(shí)，=1+4m0，m，而不一定要0，故逆命題及否命題是假命題。6P：x1或x，非p：x1 q：xR， 非q：x非p與非q互相不能推出。非p既不是非q的充要條件，也不是非q的必要條件。7當(dāng)m=0時(shí)，原方程即x=2，滿足條件當(dāng)m0時(shí)，=2，m=1或。但=(m+1)28m2，m=1及m=均使0。故充要條件是m=08即當(dāng)x（2a，2+a）時(shí)，x25即x（，）一定成立，(2a，2+a)（，） a（0，2）9ax22x+1=0（a0）一根1，一根（1，3）的充要條件是a（，1）10逆命題：“圓的兩直徑互相平分”，否命題“圓的兩條相交弦若不互相平分，則它們不都是直徑”；逆否命題：“圓的兩相交弦若不都是直徑，則它們不相互平分”。圓的兩相交弦互相平分，交點(diǎn)是它們的中點(diǎn)，則交點(diǎn)與圓心的連線與這兩條弦都垂直，這與平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線只能作一條相矛盾，除非交點(diǎn)就是圓心，此時(shí)兩弦都是直徑。原命題和逆否命題都是正確的。兩直徑都過(guò)圓心，而圓心是任一直徑的中點(diǎn)，故兩直徑互相平分。逆命題和逆否命題也都是正確的。11命題“abcd”之逆否命題為“cdab”，又有“abef”cdef，但由題設(shè)條件，由ef不能保證推出cd.“cd”是“ef”的充分條件，但不是必要條件，選（A）12常數(shù)列是公差為0的等差數(shù)列，非零常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列，但由“0”組成的常數(shù)列不是等比數(shù)列，故（1）中p是q的必要條件，但不是充分條件；當(dāng)?shù)墓炔粸?時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn=，但q=1時(shí)，Sn=na1而不能寫(xiě)為上述形式，（2）中p是q的必要條件，但不是充分條件；等差數(shù)列前n項(xiàng)Sn=na1+d=n2+(a1)n，當(dāng)d0時(shí)，（n，Sn）為過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=x2+(a1)x上的點(diǎn)，但d=0時(shí)，則為直線y=a1x上的點(diǎn)，故（3）中p是q的充分條件，但不是必要條件；當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=p+q當(dāng)n2時(shí)，an=Sn=(p1)，說(shuō)明從第二項(xiàng)起構(gòu)成公比為P的等比數(shù)列，故從第一項(xiàng)就構(gòu)成等比數(shù)列的充要條件是p+q=p1，即q=1，（4）中p是q的充要條件填13mx24x+4=0是一元二次方程 m0。另一方程為x24mx+4m24m5=0都要有實(shí)根 解得m，1兩根為整數(shù)，故和與積也為整數(shù). m為4之約數(shù)m=1或1 m=1時(shí)，第一個(gè)方程與x2+4x4=0根非整數(shù)，而m=1時(shí)，兩方程均為整數(shù)根兩方程根均為整數(shù)的充要條件是m=1六、附錄例1ABab2RsinA2RsinBsinAsinB。p是q1 的充要條件。y=cosx在（0，）單調(diào)減，A，B（0，），故ABcosAcosB，p是q2充要條件y=cotx在（0，）單調(diào)減，A、B（0，），故ABcotAcotB，p是q3的充要條件；由900600，sin900cos600，及1350300，sin1350cos300知，p不是q4的充分條件，也不是q4的必要條件。例2充要條件（證明見(jiàn)正文）例3四個(gè)命題都是真命題例4非p：2，即x1或x11非q：x22x+1m20，即x1m或x1+m.非qp： m10m10時(shí)，1與1m不可能相等，故非p 非q，m例5必要條件，但不是充分條件例6見(jiàn)正文