第61講條件概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念2理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2017·全國(guó)卷，132016·四川卷，12主要考查對(duì)事件獨(dú)立性的辨識(shí)能力和根據(jù)相關(guān)概型運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算的能力.分值：5分1條件概率(1)定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱P(B|A)_為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(2)性質(zhì)：0P(B|A)1；如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)_P(B|A)P(C|A)_2事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)_P(A)·P(B)_，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)_P(B)_，P(A|B)P(A)，P(AB)_P(A)·P(B)_如果事件A與B相互獨(dú)立，那么_A與_，_與B_，_與_也都相互獨(dú)立3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在_相同_條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). Ai (i1,2，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3An)_P(A1)P(A2)P(An)_(2)二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作_XB(n，p)_，并稱p為_(kāi)成功概率_在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk)_Cpk(1p)nk_(k0，1,2，n)1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)()(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，P(AB)表示事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率，一定有P(AB)P(A)·P(B)(×)(3)對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立(×)(4)若條件A與B獨(dú)立，則A與，與B，與不一定相互獨(dú)立(×)(5)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第1枚為正面”為事件A，“第2枚為正面”為事件B，則A，B相互獨(dú)立()(6)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生次數(shù)的概率分布()(7)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生k次的概率為Cpk.(×)2一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6個(gè)數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個(gè)，某人忘記了密碼的最后一位數(shù)字但記得是偶數(shù)，則不超過(guò)2次就按對(duì)的概率為_(kāi).解析 由題意知，此人在按最后一位數(shù)字時(shí)，有“0,2,4,6,8”5種可能，所以此人按前兩次的所有基本事件有nA20(個(gè))，不超過(guò)2次就按對(duì)的基本事件為mCA8(個(gè))，故P.3由0,1組成的三位編號(hào)中，若用A表示“第二位數(shù)字為0的事件”，用B表示“第一位數(shù)字為0的事件”，則P(A|B)_.解析 因?yàn)榈谝晃粩?shù)字可為0或1，所以第一位數(shù)字為0的概率P(B)，第一位數(shù)字為0且第二位數(shù)字也是0，即事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)×，所以P(A|B).4甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員分別進(jìn)行一次投籃，若兩人投中的概率都是0.6，則至少有一人投中的概率為_(kāi)0.84_.解析 由題意可得，甲、乙未投中的概率均為10.60.4，故甲、乙兩人分別進(jìn)行一次投籃均未投中的概率0.4×0.40.16，故所求概率P10.84.5(2017·全國(guó)卷)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)_1.96_.解析 依題意，XB(100,0.02)，所以D(X)100×0.02×(10.02)1.96.一條件概率條件概率的兩種求解方法(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)，求P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A).【例1】 (1)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(A)A0.8B0.75C0.6D0.45(2)(2018·湖北黃岡調(diào)考)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A是“取到的兩數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B是“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)(B)ABCD(3)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則P(B|A)_.解析 (1)根據(jù)條件概率公式P(B|A)，可得所求概率為0.8.(2)P(A)，P(B)，又AB，則P(AB)P(B)，所以P(B|A).(3)由題意可得，事件A發(fā)生的概率P(A)，事件AB表示“豆子落在EOH內(nèi)”，則P(AB).故P(B|A).二事件的獨(dú)立性求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法：(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算【例2】 為了分流地鐵高峰的壓力，某市發(fā)改委通過(guò)聽(tīng)眾會(huì)，決定實(shí)施低峰優(yōu)惠票價(jià)制度，不超過(guò)22千米的地鐵票價(jià)如下表.乘坐里程x/km0<x66<x1212<x22票價(jià)/元345現(xiàn)有甲、乙兩位乘客，他們乘坐的里程都不超過(guò)22千米，已知甲、乙乘車不超過(guò)6千米的概率分別為，甲、乙乘車超過(guò)6千米且不超過(guò)12千米的概率分別為，.(1)求甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用不相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列解析 (1)由題意可知，甲、乙乘車超過(guò)12千米且不超過(guò)22千米的概率分別為，則甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用相同的概率P1×××，所以甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用不相同的概率P1P11 .(2)由題意可知，6,7,8,9,10.且P(6)×，P(7)××，P(8)×××，P(9)××，P(10)×，所以的分布列為678910P三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(Xk)Cpk(1p)nk的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率【例3】 (2018·河南開(kāi)封模擬)博彩公司曾經(jīng)對(duì)2016年NBA總決賽做了大膽地預(yù)測(cè)和分析，預(yù)測(cè)西部冠軍是老辣的馬刺隊(duì)，東部冠軍是擁有詹姆斯的年輕的騎士隊(duì)，總決賽采取7場(chǎng)4勝制，每場(chǎng)必須分出勝負(fù)，場(chǎng)與場(chǎng)之間的結(jié)果互不影響，只要有一隊(duì)獲勝4場(chǎng)就結(jié)束比賽，前4場(chǎng)，馬刺隊(duì)勝利的概率為，第5,6場(chǎng)馬刺隊(duì)因?yàn)槠骄挲g大，體能下降厲害，所以勝利的概率降為，第7場(chǎng)，馬刺隊(duì)因?yàn)橛卸啻未虻?場(chǎng)的經(jīng)驗(yàn)，所以勝利的概率為.(1)分別求馬刺隊(duì)以40,41,42,43勝利的概率及總決賽馬刺隊(duì)獲得冠軍的概率；(2)隨機(jī)變量X為分出總冠軍時(shí)比賽的場(chǎng)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列解析 (1)設(shè)“馬刺隊(duì)以40勝利”為事件A，“馬刺隊(duì)以41勝利”為事件B，“馬刺隊(duì)以42勝利”為事件C，“馬刺隊(duì)以43勝利”為事件D，“總決賽馬刺隊(duì)獲得冠軍”為事件E，則P(A)4，P(B)C4×，P(C)C4××C4×2，P(D)C4×3C4×C×××C4×××.P(E)P(A)P(B)P(C)P(D).(2)隨機(jī)變量X的可能取值為4,5,6,7，P(X4)4×2，P(X5)C4·，P(X6)2C4C4·，P(X7)1P(X4)P(X5)P(X6)，所以隨機(jī)變量X的分布列為X4567P1袋中有5個(gè)小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是(C)ABCD解析 在第一次取到白球的條件下，在第二次取球時(shí)，袋中有2個(gè)白球和2個(gè)黑球共4個(gè)球，故取到白球的概率P.2(2018·廣東六校聯(lián)考)已知甲有5張紅卡、2張藍(lán)卡和3張綠卡，乙有4張紅卡、3張藍(lán)卡和3張綠卡他們分別從自己的10張卡片中任取一張進(jìn)行打卡游戲比賽設(shè)事件A1，A2，A3表示甲取出的一張卡分別是紅卡、藍(lán)卡和綠卡；事件B表示乙取出的一張卡是紅卡，則下列結(jié)論中正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))P(B)；P(A1|B)；事件B與事件A1相互獨(dú)立；A1，A2，A3是彼此相互獨(dú)立的事件；A1，A2，A3是兩兩互斥的事件解析 因?yàn)镻(B)，所以錯(cuò)誤；因?yàn)槭录﨎與事件A1相互獨(dú)立，所以P(A1|B)P(A1)，所以錯(cuò)誤，正確；A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，所以錯(cuò)誤，正確3某學(xué)校舉行聯(lián)歡會(huì)，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎(jiǎng)甲、乙、丙三名老師都有“獲獎(jiǎng)”“待定”“淘汰”三類票各一張每個(gè)節(jié)目投票時(shí)，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒(méi)有影響，若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎(jiǎng)”票，則決定該節(jié)目最終獲一等獎(jiǎng)；否則，該節(jié)目不能獲一等獎(jiǎng)(1)求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)的概率；(2)求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎(jiǎng)”和“待定”票票數(shù)之和X的分布列解析 (1)設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)”這一事件為A，則事件A包括：該節(jié)目可以得到兩張“獲獎(jiǎng)”票，或者得到三張“獲獎(jiǎng)”票甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒(méi)有影響，P(A)C21C3.(2)所含“獲獎(jiǎng)”和“待定”票票數(shù)之和X的值為0,1,2,3.P(X0)3；P(X1)C12；P(X2)C21；P(X3)3.因此X的分布列為X0123P4在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊耕地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表.作物產(chǎn)量/kg300500概率0.50.5作物市場(chǎng)價(jià)格/元·kg1610概率0.40.6(1)設(shè)X表示在這塊耕地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求X的分布列；(2)若在這塊耕地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率解析 (1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6元/kg”，由題設(shè)知P(A)0.5，P(B)0.4，因?yàn)槔麧?rùn)產(chǎn)量×市場(chǎng)價(jià)格成本，所以X所有可能的取值為500×101 0004 000,500×61 0002 000，300×101 0002 000,300×61 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)×(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)·P()(10.5)×0.40.5×(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.5×0.40.2.所以X的分布列為X4 0002 000800P0.30.50.2(2)設(shè)Ci表示事件“第i(i1,2,3)季利潤(rùn)不少于2 000元”，由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利潤(rùn)均不少于2 000元的概率為P(C1C2C3)P(C1)·P(C2)·P(C3)0.830.512；3季中有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為P(C2C3)P(C1C3)P(C1C2)3×0.82×0.20.384，所以，這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為0.5120.3840.896.易錯(cuò)點(diǎn)1不會(huì)使用條件概率公式解題錯(cuò)因分析：不理解條件概率的含義，不會(huì)使用條件概率公式解題【例1】 假定生男生女是等可能的，某家庭有3個(gè)孩子，其中有1個(gè)女孩，求至少有1個(gè)男孩的概率解析 方法一此家庭共有3個(gè)孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，其中至少有1個(gè)女孩共有7種可能，其中至少有1個(gè)男孩有6種可能，故其概率為.方法二記事件A表示“有一名女孩”，B表示“至少有一名男孩”，則P(B|A).【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016·全國(guó)卷節(jié)選)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下.上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下.一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率解析 (1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P(B)0.10.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率為.易錯(cuò)點(diǎn)2對(duì)二項(xiàng)分布理解不到位錯(cuò)因分析：不能把問(wèn)題歸結(jié)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布模型解決問(wèn)題【例2】 甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立分別求甲隊(duì)以30,31,32勝利的概率解析 記“甲隊(duì)以30勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以31勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以32勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A1)3，P(A2)C2×，P(A3)C22×.所以，甲隊(duì)以30勝利，以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.【跟蹤訓(xùn)練2】 (2016·四川卷)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是.解析 同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有一枚硬幣正面向上的概率為12，且XB，所以均值是2×.課時(shí)達(dá)標(biāo)第61講解密考綱對(duì)事件的獨(dú)立性與條件概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的考查在高考中三種題型均有呈現(xiàn)一、選擇題1(2018·陜西西安模擬)甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦?單位：分)甲組：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83乙組：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，將“抽出的學(xué)生為甲組學(xué)生”記為事件A；“抽出學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)不低于85分”記為事件B，則P(AB)，P(A|B)的值分別是(A)A，B，C，D，解析 P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B).2已知某射擊運(yùn)動(dòng)員，每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8，則該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為(B)A0.85B0.819 2C0.8D0.75解析 PC0.83·0.2C0.840.819 2.3從甲袋中摸出1個(gè)紅球的概率為，從乙袋中摸出1個(gè)紅球的概率為，從兩袋中各摸出一個(gè)球，則等于(C)A2個(gè)球都不是紅球的概率B2個(gè)球都是紅球的概率C至少有1個(gè)紅球的概率D2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率解析 因?yàn)閺膬蓚€(gè)袋中各摸出一個(gè)球都不是紅球的概率為×，所以至少有1個(gè)紅球的概率為1.4已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為(D)ABCD解析 設(shè)事件A為“第1次抽到的螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)，P(AB)×，則所求概率為P(B|A).5袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p.若A，B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為12，將A，B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，則p的值為(B)ABCD解析 設(shè)A中有x個(gè)球，B中有y個(gè)球，則因?yàn)锳，B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為12，將A，B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，所以且，解得p.6將一枚硬幣連擲5次，如果出現(xiàn)k次正面向上的概率等于出現(xiàn)k1次正面向上的概率，那么k的值為(C)A0B1C2D3解析 C5C5，k(k1)5，k2.二、填空題7如圖所示的電路有a，b，c三個(gè)開(kāi)關(guān)，每個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)或關(guān)的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為_(kāi).解析 a，c閉合，b斷開(kāi)，燈泡甲亮，概率為.8一盒中放有大小相同的10個(gè)小球，其中8個(gè)黑球，2個(gè)紅球，現(xiàn)甲、乙二人先后各自從盒子中無(wú)放回地任意抽取2個(gè)小球，已知甲取到了2個(gè)黑球，則乙也取到2個(gè)黑球的概率是_.解析 記事件“甲取到2個(gè)黑球”為A，“乙取到2個(gè)黑球”為B，則有P(B|A)，即所求事件的概率是.9設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，且在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為_(kāi).解析 假設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生說(shuō)明試驗(yàn)成功，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)XB(3，p)，則有1(1p)3，得p，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C××2.三、解答題10某中學(xué)為豐富教職工生活，國(guó)慶節(jié)舉辦教職工趣味投籃比賽，有A，B兩個(gè)定點(diǎn)投籃位置，在A點(diǎn)投中一球得2分，在B點(diǎn)投中一球得3分規(guī)則是：每人投籃三次按先A后B再A的順序各投籃一次，教師甲在A和B點(diǎn)投中的概率分別是和，且在A，B兩點(diǎn)投中與否相互獨(dú)立(1)若教師甲投籃三次，求教師甲投籃得分X的分布列；(2)若教師乙與教師甲在A，B點(diǎn)投中的概率相同，兩人按規(guī)則各投三次，求甲勝乙的概率解析 (1)設(shè)“教師甲在A點(diǎn)投中”的事件為A，“教師甲在B點(diǎn)投中”的事件為B.依題可知X的可能取值為0,2,3,4,5,7.P(X0)P(··)2×，P(X2)P(A····A)C×××，P(X3)P(·B·)××，P(X4)P(A··A)××，P(X5)P(A·B··B·A)C×××，P(X7)P(A·B·A)××.則教師甲投籃得分X的分布列為X023457P(2)教師甲勝乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五種情形這五種情形之間彼此互斥，因此所求事件的概率為P×××××.11(2018·湖北黃岡期末)甲、乙兩位小學(xué)生各有2008年奧運(yùn)吉祥物“福娃”5個(gè)(其中“貝貝”“晶晶”“歡歡”“迎迎”和“妮妮”各一個(gè))，現(xiàn)以投擲一個(gè)骰子的方式進(jìn)行游戲，規(guī)則如下：當(dāng)出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，甲贏得一個(gè)福娃；否則乙贏得甲一個(gè)福娃，規(guī)定擲骰子的次數(shù)達(dá)9次時(shí)，或在此前某人已贏得所有福娃時(shí)游戲終止記游戲終止時(shí)投擲骰子的次數(shù)為.(1)求擲骰子的次數(shù)為7的概率；(2)求的分布列及數(shù)學(xué)期望E()解析 (1)當(dāng)7時(shí)，“甲贏”即“第七次甲贏，前6次贏5次，且前5次中必輸1次”，依題意，每次甲贏或乙贏的概率均為，P(7)2×C××4××.(2)設(shè)游戲終止時(shí)骰子向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m，向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n，則由或得：當(dāng)m5，n0或m0，n5時(shí)，5；當(dāng)m6，n1或m1，n6時(shí)，7；當(dāng)m7，n2或m2，n7時(shí)，9；當(dāng)m5，n4或m4，n5時(shí)，9；當(dāng)m6，n3或m3，n6時(shí)，9；的可能取值是5,7,9.每次投擲甲贏得乙一個(gè)福娃與乙贏得甲一個(gè)福娃的可能性相同，其概率都是.P(5)2×5，P(7)，P(9)1P(5)P(7)，的分布列是579PE()5×7×9×.12(2018·福建泉州模擬)在一種電腦屏幕保護(hù)畫面中，符號(hào)“”和“×”隨機(jī)地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“”和“×”之一，其中出現(xiàn)“”的概率為p，出現(xiàn)“×”的概率為q.若第k次出現(xiàn)“”，則記ak1；出現(xiàn)“×”，則記ak1，令Sna1a2an.(1)當(dāng)pq時(shí)，記|S3|，求 的分布列；(2)當(dāng)p，q時(shí)，求S82且Si0(i1,2,3,4)的概率解析 (1)因?yàn)閨S3|的取值為1,3，又pq，所以P(1)C×2×2，P(3)33.所以的分布列為13P(2)當(dāng)S82時(shí)，即前八秒出現(xiàn)“”5次，“×”3次，又已知Si0(i1,2,3,4)，若第一、三秒出現(xiàn)“”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“”3次；若第一、二秒出現(xiàn)“”，第三秒出現(xiàn)“×”，則后五秒可任意出現(xiàn)“”3次故所求的概率P(CC)×5×3.15