2022年高三數(shù)學(xué) 1.6線性回歸(第二課時(shí))大綱人教版選修課題§1.6.2線性回歸(二)教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.加深理解兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系、線性回歸、線性回歸分析等基本概念.2.深入理解相關(guān)性檢驗(yàn)、樣本相關(guān)系數(shù)、概念及意義、作用.3.進(jìn)一步理解并掌握一元線性回歸分析、回歸直線方程.二、能力訓(xùn)練要求1.會(huì)用公式求一元線性回歸方程=bx+a,其中, .2.會(huì)用樣本相關(guān)系數(shù)公式求出樣本相關(guān)系數(shù).3.會(huì)用有關(guān)公式對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).三、德育滲透目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生收集信息、處理信息的動(dòng)手操作能力(如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),列表求值,進(jìn)行相關(guān)系數(shù)r的檢驗(yàn)分析),培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.2.培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn).3.培養(yǎng)學(xué)生的情感、意志、刻苦耐勞、科學(xué)求是求實(shí)的非智力因素,要有科學(xué)方法和態(tài)度.教學(xué)重點(diǎn)線性回歸分析中,回歸直線方程和樣本相關(guān)系數(shù)及相關(guān)性檢驗(yàn)是本節(jié)課的教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.在具體問題里是先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),通過檢驗(yàn)確認(rèn)兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系后,再求其線性回歸方程.否則,所求的線性回歸方程是無意義的.相關(guān)性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn),這種檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)相關(guān)性檢驗(yàn)是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn),相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法中規(guī)定,|r|越接近于1,表明相關(guān)程度越好；|r|越接近于0,表明相關(guān)程度越差.由于教材中,未明確提出要檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是什么,而且所用的顯著性水平只有0.05,對(duì)0.01等顯著性水平課本中采用了回避的做法.教學(xué)方法啟發(fā)式的教學(xué)方法,啟發(fā)性教學(xué)原則是建構(gòu)主義觀點(diǎn)的一種重要的教學(xué)原則,讓學(xué)生通過討論來達(dá)到主動(dòng)建構(gòu)的目標(biāo).教具準(zhǔn)備幻燈機(jī)(或?qū)嵨锿队皟x)教學(xué)過程.課題導(dǎo)入師上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線性回歸中的有關(guān)概念和回歸直線方程、回歸直線等.請(qǐng)同學(xué)們回顧這些基本內(nèi)容.生1回歸直線方程是=bx+a,其中,.師給出一組數(shù)據(jù)xi、yi(i=1,2,3,n)都可以求出它的線性回歸的回歸直線方程.如圖123.這是一組觀測(cè)值的散點(diǎn)圖,我們看到,圖中的各點(diǎn)并不集中在一條直線的圖123附近,但是按照上面的方法,同樣可以就這組數(shù)據(jù)求得一個(gè)回歸直線方程.這顯然是毫無意義的.于是提出一個(gè)問題：所求得的回歸直線方程,在什么情況下才能對(duì)相應(yīng)的一組觀測(cè)值具有代表意義呢？這就是我們這節(jié)課研究的問題：線性回歸(二)相關(guān)性檢驗(yàn).講授新課師為了檢驗(yàn)所求得的回歸直線方程在什么情況下才能對(duì)相應(yīng)的一組觀測(cè)值具有代表意義,我們要引入新的概念,并研究檢測(cè)方法：對(duì)于變量y和x的一組觀測(cè)值來說,我們把叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)(簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)),用它來衡量它們之間的線性相關(guān)程度.你們能求出r的范圍嗎？生2(討論片刻后)|r|1.師如何證明這個(gè)不等式呢？生2作差比較不對(duì),用平方差來比較.師你能證明嗎？如果愿意,請(qǐng)到黑板上來寫.否則,下面哪位同學(xué)上來寫？(學(xué)生2和另外一個(gè)同學(xué)都上來寫過程)生2當(dāng)n=2時(shí),.r2-10顯然成立.對(duì)于n3時(shí),也類似地配方可知,r21,即|r|1.生3令xi-x=ai,yi-y=bi,.要證|r|1,只要證明r21,即只要證.事實(shí)上,因柯西不等式可知是成立的.故有|r|1.師這兩位同學(xué)給出了證明,請(qǐng)同學(xué)們看看,他們的證明是否正確,如果不正確,請(qǐng)給予補(bǔ)充證明.生4生2的證明過程有問題,配方那一步是錯(cuò)誤的,不能配成完全平方.另外,即使n=2成立,那也未必對(duì)于n3都成立.而分子上的配方是-(x1y2-x2y1)2+2(x1-y1)2+2(x2-y2)2無法確定正負(fù)性.生5生3的證明過程是跳步的.關(guān)于柯西不等式應(yīng)該證明,構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(anx+bn)2恒大于或等于0,即對(duì)應(yīng)的判別式0.f(x)=(a12+a22+an2)x2+2(a1b1+a2b2+anbn)x+(b12+b22+bn2),0,4(a1b1+a2b2+anbn)2-4(a12+a22+a32+an2)(b12+b22+bn2)0.(a1b1+a2b2+a3b3+anbn)2(a12+a22+an2)(b12+b22+b32+bn2)成立.師經(jīng)過幾位同學(xué)的共同努力,我們終于證明了|r|1是成立的,學(xué)生3的思路是平方后,不作差,而是改變作差思路,他主要是利用換元方法,將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題.只要再補(bǔ)證柯西不等式,他的方法就更完善了.而學(xué)生2的思路是正確的,利用特殊探路,概括到一般情況.但對(duì)于n=2時(shí),他的運(yùn)算過程出了問題,是可以配方的,請(qǐng)同學(xué)們課后繼續(xù)研究.師由于|r|1,請(qǐng)問如果|r|越接近1,或越接近于0,那么相關(guān)程度有何影響？生6若|r|越接近于1,相關(guān)程度越大；|r|越接近于0,相關(guān)程度越小.師利用r的計(jì)算公式來計(jì)算上節(jié)課問題1中水稻產(chǎn)量與施化肥量的相關(guān)系數(shù).(教師打出幻燈片§1.6.1 A)請(qǐng)學(xué)生計(jì)算相關(guān)的量:,.生7i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi49506900912512150155751800020475,相關(guān)系數(shù).師計(jì)算是正確的.一般地,當(dāng)|r|與1接近到什么程度才表明y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系呢？為了明確這一點(diǎn),通常采用對(duì)相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)(簡(jiǎn)稱相關(guān)性檢驗(yàn))的方法.其中待檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系,檢驗(yàn)的步驟如下：(1)在附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2(n為觀測(cè)值組數(shù))相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05.顯著性水平0.05是一個(gè)作為發(fā)生小概率事件的臨界值,0.9,0.99以及上一小節(jié)§1.5中用到的0.997等也都是常用的顯著性水平.(2)根據(jù)公式計(jì)算出r的值.(3)檢驗(yàn)所得的結(jié)果.如果|r|r0.05,那么可以認(rèn)為y與x之間的線性關(guān)系不顯著,從而接受統(tǒng)計(jì)假設(shè).如果|r|>r0.05,表明一個(gè)發(fā)生的概率不到5%的事件在一次試驗(yàn)中竟發(fā)生了.這個(gè)小概率事件的發(fā)生使我們有理由認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的,拒絕這一統(tǒng)計(jì)假設(shè)也就是表明可以認(rèn)為y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.按照上述步驟,我們來檢驗(yàn)問題1中水稻產(chǎn)量與施化肥量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系.生8(1)第一步：在附表3中查出與顯著性水平0.05和自由度7-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05=0.754.(2)由學(xué)生7已經(jīng)求出r0.9733.(3)因?yàn)閞>r0.05,這說明水稻產(chǎn)量與施化肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系.師上節(jié)課我們求得的關(guān)于水稻產(chǎn)量與施化肥量之間的回歸直線方程是否有效呢？生9根據(jù)上述結(jié)論表明,上節(jié)課我們求得的兩個(gè)變量之間的回歸直線方程是=4.75x+257是有意義的.師用上述方法對(duì)上節(jié)課我們研究的問題2進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).(教師打出幻燈片§ 1.6.1 B)先看下表并填寫有關(guān)項(xiàng)目.生10i123456789101112xi1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07yi2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50xiyi2.432.6542.8563.2643.5904.074.6435.0905.6526.0966.6537.245,生11相關(guān)系數(shù).生12在附表3中查出與顯著性水平0.05和自由度n-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05=0.576.r=0.998>r0.05,y與x之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系.師通常,在尚未斷定兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系的情況下,應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),在確認(rèn)其具有線性相關(guān)關(guān)系后,再求其回歸直線方程.課堂練習(xí)(200 4年杭州測(cè)試題)下表是某省20個(gè)縣城xx年的一份統(tǒng)計(jì)資料.縣城編號(hào)xiyi縣城編號(hào)xiyi112136011387602211826012270540327144013218414419040014342590575360151734926263500163706607334580171703608368560182054109305505193396801021048020283594其中xi表示第i個(gè)縣城在xx年建成的新住宅面積(單位：103m2),yi表示第i個(gè)縣城在xx年的家具銷售量(萬元).如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求回歸直線方程.解：由已知數(shù)據(jù)可以算出：;,a=-b218.4147.=1.0811x+218.4147,即為所求的回歸直線.課時(shí)小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們看到,由部分觀測(cè)值得到的回歸直線,可以對(duì)兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行估計(jì),這實(shí)際上是將非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來進(jìn)行研究.由于回歸直線將部分觀測(cè)值所反映的規(guī)律性進(jìn)行了延伸,它在情況預(yù)報(bào)、資料補(bǔ)充等方面有著廣泛的應(yīng)用.從某種意義上看,函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型,而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況.因此研究相關(guān)關(guān)系,不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,還可使我們對(duì)函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度.課后作業(yè)課本P42習(xí)題1.62、3.板書設(shè)計(jì)§ 1.6.2線性回歸(二)一、樣本相關(guān)系數(shù)公式二、|r|1,且|r|越接近于1,相關(guān)程度越大；|r|越接近于0,相關(guān)程度越小.三、相關(guān)性檢驗(yàn)步驟1.顯著性水平0.05與自由度n-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05.2.求出r.3.檢驗(yàn)結(jié)果:|r|>r0.05時(shí),y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系.推證|r|1的過程.柯西不等式的證明過程.f(x)=1(aix+bi)20恒成立.0.問題1的相關(guān)性檢驗(yàn)過程問題2的相關(guān)性檢驗(yàn)過程課堂練習(xí)題的解題過程