突破點(diǎn)13圓錐曲線中的綜合問(wèn)題(酌情自選)核心知識(shí)提煉提煉1 解答圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問(wèn)題，從三個(gè)方面把握(1)從特殊開(kāi)始，求出定值，再證明該值與變量無(wú)關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，在整個(gè)過(guò)程中消去變量，得定值(3)在含有參數(shù)的曲線方程里面，把參數(shù)從含有參數(shù)的項(xiàng)里面分離出來(lái)，并令其系數(shù)為零，可以解出定點(diǎn)坐標(biāo).提煉2 用代數(shù)法求最值與范圍問(wèn)題時(shí)從下面幾個(gè)方面入手(1)若直線和圓錐曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則可以利用判別式求范圍(2)若已知曲線上任意一點(diǎn)、一定點(diǎn)或與定點(diǎn)構(gòu)成的圖形，則利用圓錐曲線的性質(zhì)(性質(zhì)中的范圍)求解(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系式直接求范圍(4)利用基本不等式求最值與范圍(5)利用函數(shù)值域的方法求最值與范圍.提煉3 與圓錐曲線有關(guān)的探索性問(wèn)題(1)給出問(wèn)題的一些特殊關(guān)系，要求探索出一些規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性通常要對(duì)已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律(2)對(duì)于只給出條件，探求“是否存在”類(lèi)型問(wèn)題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，若推出相符的結(jié)論，則存在性得到論證；若推出矛盾，則假設(shè)不存在高考真題回訪回訪1圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問(wèn)題1(2015·全國(guó)卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解 (1)由題意有，1，2分解得a28，b24.3分所以C的方程為14分(2)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b2806分故xM，yMk·xMb8分于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k.11分所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值12分回訪2圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題2(2016·全國(guó)卷)已知A是橢圓E：1的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.(1)當(dāng)|AM|AN|時(shí)，求AMN的面積；(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí)，證明：<k<2.解 (1)設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0.由已知及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，直線AM的傾斜角為.又A(2,0)，因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此AMN的面積SAMN2×××4分(2)證明：設(shè)直線AM的方程為yk(x2)(k0)，代入1得(34k2)x216k2x16k2120.由x1·(2)得x1，故|AM|x12|.由題意，設(shè)直線AN的方程為y(x2)，故同理可得|AN|.7分由2|AM|AN|得，即4k36k23k80.9分設(shè)f(t)4t36t23t8，則k是f(t)的零點(diǎn)f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)單調(diào)遞增又f()15260，f(2)60，因此f(t)在(0，)上有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)k在(，2)內(nèi)，所以k212分回訪3與圓錐曲線有關(guān)的探索性問(wèn)題3(2016·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y22px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H. (1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說(shuō)明理由解 (1)如圖，由已知得M(0，t)，P1分又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，故N，故直線ON的方程為yx，將其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H4分所以N為OH的中點(diǎn)，即26分(2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其他公共點(diǎn)理由如下：7分直線MH的方程為ytx，即x(yt).9分代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外，直線MH與C沒(méi)有其他公共點(diǎn)12分熱點(diǎn)題型1圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題題型分析：主要考查直線、曲線過(guò)定點(diǎn)或兩直線的交點(diǎn)在定直線上，以解答題為主【例1】(2017·鄭州二模)已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，且與直線y1相切(1)求圓心M的軌跡方程；(2)動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且與點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求證：直線AC恒過(guò)定點(diǎn). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024115】解 (1)由題意，得點(diǎn)M與點(diǎn)(0,1)的距離始終等于點(diǎn)M到直線y1的距離，由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(diǎn)(0,1)為焦點(diǎn)，直線y1為準(zhǔn)線的拋物線，則1，p2.圓心M的軌跡方程為x24y4分(2)證明：由題知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(x2，y2)，聯(lián)立得x24kx80，6分kAC，則直線AC的方程為yy1(xx1)，8分即yy1(xx1)xx10分x1x28，yxx2，故直線AC恒過(guò)定點(diǎn)(0,2)12分方法指津動(dòng)線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類(lèi)型及解法(1)動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為ykxt，由題設(shè)條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(m,0)(2)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn).變式訓(xùn)練1(2017·蘭州二模)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F1(2,0)，點(diǎn)B(2，)在橢圓C上，直線ykx(k0)與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別與y軸交于點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由解 (1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，橢圓的左焦點(diǎn)為F1(2,0)，a2b242分點(diǎn)B(2，)在橢圓C上，1.解得a28，b24.橢圓C的方程為1.5分(2)依題意點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，設(shè)P(x0，y0)(不妨設(shè)x00)，則Q(x0，y0)，由得x0，y0，6分直線AP的方程為y(x2)，7分直線AQ的方程為y(x2)，8分M，N，9分|MN|.設(shè)MN的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，10分則以MN為直徑的圓的方程為x22，即x2y2y4，令y0，得x2或x2，11分即以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn)H1(2,0)，H2(2,0)12分熱點(diǎn)題型2圓錐曲線中的定值問(wèn)題題型分析：圓錐曲線中的定值問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是引入變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立，數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量【例2】(2016·重慶二模)已知橢圓C：1(ab0)上一點(diǎn)P與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于x軸，直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(均不在坐標(biāo)軸上)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AOB的面積為，試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024116】解 (1)由題意知解得3分橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為16分(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x28kmx4m2120，5分由(8km)216(4k23)(m23)0，得m24k236分x1x2，x1x2，SOAB|m|x1x2|m|·，8分化簡(jiǎn)得4k232m20，滿足0，從而有4k2m2m23(*)，9分kOA·kOB·，由(*)式，得1，kOA·kOB，即直線OA與OB的斜率之積為定值12分方法指津求解定值問(wèn)題的兩大途徑1由特例得出一個(gè)值(此值一般就是定值)2先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對(duì)值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值變式訓(xùn)練2已知橢圓C：1過(guò)A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值解 (1)由題意得a2，b1，橢圓C的方程為y214分又c，離心率e6分(2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x00，y00)，則x4y4.7分又A(2,0)，B(0,1)，直線PA的方程為y(x2)令x0，得yM，從而|BM|1yM18分直線PB的方程為yx1.令y0，得xN，從而|AN|2xN210分四邊形ABNM的面積S|AN|·|BM|2.從而四邊形ABNM的面積為定值12分熱點(diǎn)題型3圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題題型分析：圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法是幾何法和代數(shù)法【例3】(2017·東北三省四市模擬)已知橢圓C：y21(a0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是，求線段AB長(zhǎng)的取值范圍解 (1)因?yàn)橐訤1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，所以bc1，a，所以橢圓C的方程為y214分(2)根據(jù)題意，直線A，B的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，與y21聯(lián)立，消去y并整理得(12k2)x24k2x2k220，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x1x2，x1·x2，y1y2k(x11)k(x21)k(x1x22)，即M.則直線AB的垂直平分線為y，令y0，得xP，因?yàn)閤P，即0，所以0k2，|AB|.1，|AB|12分方法指津與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問(wèn)題的三種解法1數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解2構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解3構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域變式訓(xùn)練3(2017·長(zhǎng)沙二模)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)B1(0，1)和B2(0,1)連線的斜率之積等于.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)設(shè)直線l：yxm(m0)與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，當(dāng)m變化時(shí)，求PAB面積的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024117】解 (1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，1分依題意得·，2分化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程為y21(x0)4分(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立化簡(jiǎn)得3x24mx2m220(x0)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2，6分(4m)212(2m22)0，即m且m1,0,1.7分設(shè)A，B的中點(diǎn)為C(xC，yC)，則xC，yCxCm，C，線段AB的垂直平分線方程為y，令y0，得P點(diǎn)坐標(biāo)為8分則點(diǎn)P到AB的距離d，9分由弦長(zhǎng)公式得|AB|·，10分SPAB····，11分當(dāng)且僅當(dāng)m2，即m±(，)時(shí)，等號(hào)成立，PAB面積的最大值為12分熱點(diǎn)題型4圓錐曲線中的探索性問(wèn)題題型分析：探索性問(wèn)題一般分為探究條件和探究結(jié)論兩種類(lèi)型，若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在若探究結(jié)論，則應(yīng)先寫(xiě)出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對(duì)參數(shù)的討論【例4】(2017·湘中名校聯(lián)考)如圖13­1，曲線C由上半橢圓C1：1(ab0，y0)和部分拋物線C2：yx21(y0)連接而成，C1與C2的公共點(diǎn)為A，B，其中C1的離心率為.(1)求a，b的值；(2)過(guò)點(diǎn)B的直線l與C1，C2分別交于點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A，B)，是否存在直線l，使得以PQ為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)A？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖13­1解 (1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半橢圓C1的左、右頂點(diǎn)由e及a2c2b21可得a2，a2，b12分(2)存在由(1)知，上半橢圓C1的方程為x21(y0).3分由題易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為yk(x1)(k0)代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)5分設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，直線l過(guò)點(diǎn)B，x1是方程(*)的一個(gè)根由求根公式，得xP，從而yP，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.7分同理，由得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2).9分連接AP、AQ(圖略)，依題意可知APAQ，·0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.11分經(jīng)檢驗(yàn)，k符合題意，故直線l的方程為y(x1)12分方法指津探索性問(wèn)題求解的思路及策略1思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在2策略：(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類(lèi)討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件變式訓(xùn)練4(2017·呼和浩特一模)已知橢圓1(ab0)的離心率e，直線ybx2與圓x2y22相切(1)求橢圓的方程；(2)已知定點(diǎn)E(1,0)，若直線ykx2(k0)與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，試判斷是否存在實(shí)數(shù)k，使得以CD為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)E？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024118】解 (1)直線l：ybx2與圓x2y22相切，b12分橢圓的離心率e，e22，a23，4分所求橢圓的方程是y21.5分(2)直線ykx2代入橢圓方程，消去y可得(13k2)x212kx90，36k2360，k1或k1.7分設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則有x1x2，x1x2.若以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E，則ECED.(x11，y1)，(x21，y2)，(x11)(x21)y1y20.9分(1k2)x1x2(2k1)(x1x2)50，10分(1k2)×(2k1)×50.解得k1.存在實(shí)數(shù)k使得以CD為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)E12分12