2022年高三數(shù)學(xué) 1.5正態(tài)分布(第一課時)大綱人教版選修課時安排2課時從容說課正態(tài)分布是很抽象的概念,如何使學(xué)生從抽象轉(zhuǎn)化到具體、直觀中的問題里來,是我們教學(xué)的一個重點和難點.要借助具體實例及多媒體課件演示,有條件的讓學(xué)生也上機進行實習(xí),通過實驗了解一些概念的形成過程.具體的方法是：利用直方圖來引進正態(tài)曲線與正態(tài)分布.具體的步驟如下：先作出二項分布B(n,0.5)的直方圖(n=10).對n進行變化;如果用一條平滑的曲線把每個長方形的中點聯(lián)結(jié)起來,就能得到一條鐘形曲線(演示圖形的形成過程),稱為正態(tài)曲線;給出其函數(shù)解析式為xR,其中=np,=npq,e2.71828.對于正態(tài)曲線,如果規(guī)定,試驗的觀察值x落在區(qū)間(a,b)內(nèi)的概率P(axb)就是由這條曲線、x軸、直線x=a及x=b所圍成的圖形的面積,那么稱這種概率分布為正態(tài)分布.一個平均數(shù)為,標(biāo)準(zhǔn)差為b的正態(tài)分布可以用公式將它變換成平均數(shù)為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布.平均數(shù)為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(利用投影或多媒體,將其圖象描繪出來),公式為,其中.一般的正態(tài)分布問題,能轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問題來處理,即將正態(tài)分布中觀察值x的概率P(axb)表示成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中的P(z1zz2),其中,.在教學(xué)中應(yīng)多用多媒體進行教學(xué),增強動態(tài)感覺.第九課時課題§1.5.1正態(tài)分布(一)教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)知識點1.深刻理解并掌握正態(tài)分布和正態(tài)曲線的概念、意義及性質(zhì).2.理解和掌握標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的概念、意義及性質(zhì).二、能力訓(xùn)練要求1.能用正態(tài)分布、正態(tài)曲線研究有關(guān)隨機變量分布的規(guī)律.2.會畫有關(guān)正態(tài)分布的正態(tài)曲線和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線.3.會用函數(shù)的概念、性質(zhì)解決有關(guān)正態(tài)分布的問題.三、德育滲透目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.2.培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的觀點(運動觀、靜止觀).3.培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和概括歸納能力,讓學(xué)生真正地學(xué)會學(xué)習(xí),也就是讓學(xué)生主動建構(gòu)式地學(xué)習(xí),真正掌握學(xué)習(xí)方法.教學(xué)重點正態(tài)分布的意義、正態(tài)分布的主要性質(zhì)是本節(jié)課的教學(xué)重點.通過具體實例,結(jié)合研究函數(shù)的方法來研究正態(tài)分布的意義和性質(zhì).正態(tài)分布之所以成為概率統(tǒng)計中最重要的一種分布的原因有兩方面：一方面,正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布,若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機因素很多,而每個因素所起的作用都不太大,則這個指標(biāo)服從正態(tài)分布；另一方面,正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì),許多分布可以用正態(tài)分布來近似描述,另外一些分布又可以通過正態(tài)分布來推導(dǎo).教學(xué)難點正態(tài)分布的意義及性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的概念教學(xué)是難點,正態(tài)分布的性質(zhì)的抽象與概括是難點,要利用函數(shù)的觀點、函數(shù)與方程的思想方法研究正態(tài)曲線的五條性質(zhì).教學(xué)方法建構(gòu)主義觀點在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實踐的教學(xué)方法.在學(xué)生已經(jīng)掌握總體密度曲線、累積分布曲線的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生通過函數(shù)觀點主動建構(gòu)出正態(tài)分布、正態(tài)曲線、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線.利用函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、對稱軸、奇偶性、單調(diào)性等等).教具準(zhǔn)備實物投影儀(或幻燈機、幻燈片).幻燈片記作§1.5.1 A例1.設(shè)N(0,1)借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的函數(shù)表計算：(1)P(>1.24);(2)P(<-1.24);(3)P(|<1).幻燈片記作§1.5.1 B例2.某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區(qū)火車站有兩條路線,可是,第一條路線穿過市區(qū),路線較短,但交通擁擠,所需時間(單位：min)服從正態(tài)分布N(50,102)；第二條路線沿環(huán)城公路走,路程較長,但交通阻塞較少,所需時間服從正態(tài)分布N(60,42).(1)若只有70 min可用,問應(yīng)走哪條路線？(2)若只有65 min可用,又應(yīng)走哪條路線？幻燈片記作§1.5.1 C例3.某市210名高中學(xué)生參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽,隨機調(diào)閱了60名學(xué)生的答卷,成績列下表：成績1分2分3分4分5分人數(shù)分布000615成績6分7分8分9分10分人數(shù)分布2112330(1)求樣本的數(shù)學(xué)平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差(精確到0.01);(2)若總體服從正態(tài)分布,求正態(tài)曲線的近似方程;(3)若規(guī)定,預(yù)賽成績在7分或7分以上的學(xué)生參加復(fù)賽,試估計有多少個學(xué)生可以進入復(fù)賽?教學(xué)過程.課題導(dǎo)入在上節(jié)課,我們作出了100個產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖,并指出了當(dāng)樣本容量無限增大時,這個頻率分布直方圖無限接近于如圖111所示的一條總體密度曲線.圖111產(chǎn)品尺寸是一類典型的總體,對于成批生產(chǎn)的產(chǎn)品,如果生產(chǎn)條件正常并穩(wěn)定,即工藝、設(shè)備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等條件都相對穩(wěn)定,而且不存在生產(chǎn)系統(tǒng)誤差的明顯因素,那么,產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線就可以用一個函數(shù)y=f(x)圖象來擬合.這個函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線.這節(jié)課我們將來學(xué)習(xí)正態(tài)分布(一).(板書課題)講授新課師總體密度曲線可以用一個函數(shù)y=f(x)的圖象來擬合,我們選用什么樣的函數(shù)呢？換句話講,由這個曲線,我們可以想到哪類函數(shù)圖象與它相近似？生甲可以用二次函數(shù)y=a(x-m)2+n(a<0)的圖象來擬合.師這個二次函數(shù)定義域和值域如何確定呢？生甲定義域為x|x>0,值域為y|y>0.師你規(guī)定的定義域和值域是否符合函數(shù)組成的三要素呢？生乙他的這種規(guī)定是無道理的,也是不符合構(gòu)成函數(shù)的三要素的.我認為可以用二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復(fù)合以后的函數(shù)圖象來擬合,即f(x)=ap(x-m)2+n,這樣就符合題設(shè)的條件.由圖形和實際可以知道,函數(shù)的值域是正實數(shù)組成的.函數(shù)圖象也是一對稱曲線,關(guān)于直線x=x0對稱,所以聯(lián)想到二次函數(shù)y=p(x-m)2+q和指數(shù)函數(shù)y=ax進行復(fù)合以后再擬合.師太好了！太好了！(這時教室里報以熱烈的掌聲和贊嘆聲,同學(xué)們都投以敬佩的目光,這位同學(xué)在大家的目光中,顯得十分自豪但又很謙遜)生乙感謝生甲的提醒和老師的幫助,更要感謝同學(xué)們的鼓勵,我的設(shè)想是與廣大同學(xué)們的合作研究分不開的.(建構(gòu)主義觀點的教學(xué)模式所倡導(dǎo)的就是要廣大同學(xué)有合作精神、參與意識,要求每一位同學(xué)都要有智力參與,這也正是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的：數(shù)學(xué)文化和人文精神)師學(xué)生甲和乙給出了我們一條曲線的擬合函數(shù)的大致設(shè)想,經(jīng)過研究和計算我們得到：總體密度曲線就是或近似地是函數(shù),x(-,+)的圖象,式中的實數(shù)、(>0)是參數(shù),分別表示總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差(總體標(biāo)準(zhǔn)差是衡量總體波動大小的特征數(shù),常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計).這個總體是有無限容量的抽象總體,其分布叫做正態(tài)分布.正態(tài)分布由參數(shù)、唯一確定.因此,正態(tài)分布常記作N(,2).函數(shù),x(-,+)的圖象被稱為正態(tài)曲線.師找三位同學(xué)分別畫出下列正態(tài)曲線：(1)=-1,=0.5;(2)=0,=1;(3)=1,=2.生三位學(xué)生畫的圖如圖112所示：圖112師從正態(tài)曲線上看,你們直觀上可以得出正態(tài)曲線具有什么特征？生正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征.師在實際中遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布.例如：生產(chǎn)中,在對正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如電子管的使用壽命、電容器的電容量、零件的尺寸、鐵水的含碳量、纖維的纖度)測量的誤差；炮彈落點的分布；人的生理特征的尺寸：身高、體重等；農(nóng)作物的收獲量；工廠產(chǎn)品的尺寸：直徑、長度、寬度、高度都近似服從正態(tài)分布.一般說來,若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機因素很多,而每個因素所起的作用都不太大,則這個指標(biāo)服從正態(tài)分布.師在測量中,測量結(jié)果一般可以表示為=a+,其中a表示測量的量的真值(未知常數(shù)),表示測量的隨機誤差,和一般都服從正態(tài)分布.你們能再舉一些實例嗎？生在生物學(xué)中,同一群體的某種特征(如某一地區(qū)同年齡組青少年特征,如身高、體重、肺活量、胸圍等),在一定條件下生產(chǎn)的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等,一般也服從正態(tài)分布.在氣象中,某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等,水文中的水位,也都服從或近似服從正態(tài)分布.師由此看來：正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中,正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位.對于=0,=1時,正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體,這時相應(yīng)的函數(shù)表示式是：,x(-,+),相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線,如上圖(2)所示.師從上述三張圖中,你們能總結(jié)出正態(tài)曲線具有哪些性質(zhì)？生1函數(shù)的定義域為一切實數(shù),值域為正的實數(shù)集的子集,對應(yīng)的曲線在x軸的上方,與x軸不相交.這是因為：由函數(shù)的性質(zhì)有eu>0,.故曲線與x軸不相交,在x軸上方.生2曲線關(guān)于直線x=對稱：證明如下(口述證明過程)：在曲線y=f(x)上任取一點A(x0,y0),關(guān)于直線x=的對稱點為A(x,y),y=y0且x=2-x0.x0=2-x,y0=y.又A在曲線上,.由反代法知,即,有.也就是點A在曲線上,由A點的任意性.曲線y=f(x)關(guān)于直線x=對稱.生3函數(shù)有最大值,因為當(dāng)x=時,有最大值0,所以y=f(x)有最大值,也就是曲線在x=時位于最高點.生4函數(shù)在x(-,上單調(diào)遞增；在,+)上單調(diào)遞減.這是因為：由指數(shù)函數(shù)y=ev是單調(diào)遞增函數(shù),在x(-,上是增函數(shù),在x,+)上是單調(diào)遞減函數(shù),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知,“同性增、異性減”,所以f(x)在x(-,上是增函數(shù),在x,+)上是減函數(shù).故當(dāng)x<時,曲線上升；當(dāng)x>時,曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線,向它無限靠近.師剛才四位同學(xué)不僅總結(jié)出性質(zhì),而且給予了詳細的證明,現(xiàn)將性質(zhì)總結(jié)如下：(1)曲線在x軸的上方,與x軸不相交;(2)曲線關(guān)于直線x=對稱;(3)曲線在x=時位于最高點;(4)當(dāng)x<時,曲線上升；當(dāng)x>時,曲線下降,并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線,向它無限靠近.現(xiàn)將上面的三幅圖對稱軸重疊在一起即x=0時,如圖113所示,你們能總結(jié)出什么性質(zhì)？圖113生5當(dāng)一定時,曲線的形狀由確定,越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散；越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中.師以上就是我們總結(jié)的正態(tài)曲線五條性質(zhì).由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1),在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位,為了便于應(yīng)用,已專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”.在這個表中,相應(yīng)于x0的值(x0)是指總體取值小于x0的概率,即(x0)=P(x<x0)如圖中左邊陰影部分所示.圖114由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱,表中給出了x00時的函數(shù)值(x0).如果x0<0時,(x0)的值又如何求呢？生由對稱性知圖(2)中兩個陰影部分的面積是相等的,(x0)=1-(-x0).這一點也可以從對立事件角度來解釋.師利用這個表,可求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(x1,x2)內(nèi)取值的概率P=(x2)-(x1).請同學(xué)們求出它在(-1,2)內(nèi)取值的概率.生所求概率為P=(2)-(-1)=(2)-1-(-1)=(2)+(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185.師一般的正態(tài)總體N(,2)均可以化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)來進行研究.事實上,可以證明：對于任一正態(tài)總體N(,2)來說,取值小于x的概率.事實上,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體,對應(yīng)的函數(shù)表達式為,將x變化為即可.例如對于正態(tài)總體N(1,4)來說,取值小于3的概率P是什么？生P=F(3)=()=(1).查表知(1)=0.8413.精典例題師(打出幻燈片§1.5.1 A)生(1)P(>1.24)=1-P(1.24)=1-P(<1.24)=1-(1.24)=1-0.8925=0.1075.(2)P(<-1.24)=P(>1.24)=1-(1.24)=0.1075.(3)P(|<1)=P(-1<<1)=(1)-(-1)=(1)-1-(1)=2(1)-1=2×0.8431-1=0.6826.師生共析若N(0,1),則的概率密度函數(shù)關(guān)于y軸對稱,P(-x0)=P(x0).若N(0,1),(x)=P(<x),則P(|x)=P(-xx)=2(x)-1,P(a<b)=(b)-(a).師(打出幻燈片§1.5.1 B)生析最佳路線是在允許的時間內(nèi)有較大概率及時趕到火車站的那條路線.生解：設(shè)為行車時間.(1)走第一條路線,及時趕到的概率為P(0<70)=()-()()=(2)=0.9772,走第二條路線及時趕到的概率為P(0<70)()=(2.5)=0.9938,因此在這種情況下應(yīng)走第二條路線.(2)走第一條路線及時趕到的概率為P(0<65)()=(1.5)=0.9332,走第二條路線及時趕到的概率為P(0<65)()=(1.25)=0.8944,因此在這種情況下應(yīng)走第一條路線.師(打出幻燈片§1.5.1 C)生解：(1)=(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6.s2=6(4-6)2+15(5-6)2+21(6-6)2+12(7-6)2+3(8-6)2+3(9-6)2=1.5.s1.22.答：樣本的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?分,標(biāo)準(zhǔn)差為1.22.(2)以x=6,s1.22作為總體數(shù)學(xué)平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值,即=6,1.22,則總體服從正態(tài)分布N(6,1.222).正態(tài)曲線的近似方程為.(3)F(7)=()(0.8)0.7881.1-F(7)1-0.7881=0.2119.210×0.2119=45.根據(jù)規(guī)定,大約有45名學(xué)生可以參加復(fù)賽.課堂練習(xí)(一)課本P35練習(xí)題1、2.(二)補充練習(xí)1.(xx年長沙市重點中學(xué)模擬題)若隨機變量N(3,1)(服從正態(tài)分布),則P(-1<1)等于()A.2(1)-1 B.(4)-(2)C.(-4)-(-2)D.(2)-(4)解析：P(-1<1)=F(1)-F(-1),又F(1)=()=(-2)=1-(2),F(-1)=()=(-4)=1-(4).代入得P(-1<1)=(4)-(2).故選B.答案：B2.設(shè)隨機變量服從正態(tài)N(0,1)分布,記(x)=P(<x),若a>0,則下列結(jié)論錯誤的是()A.(0)=0.5B.(x)=1-(-x)C.P(|>a)=1-(a)D.P(=0)=0解析：P(|>a)=P(>a)+P(<-a)=1-P(<a)+1-P(<a)=2-2(a).C是錯誤的,應(yīng)選C.答案：C.課時小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正態(tài)分布、正態(tài)曲線、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線等基本概念,以及函數(shù)關(guān)系式及曲線的性質(zhì).(請同學(xué)們總結(jié)概括)師從這節(jié)課中,我們用到或?qū)W到哪些數(shù)學(xué)思想方法？生我們學(xué)到了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,還學(xué)到了配方法、對稱法、直覺類比法、猜想法、由特殊到一般等數(shù)學(xué)基本方法.(學(xué)生總結(jié),教師板書)課后作業(yè)課本P35習(xí)題1.51、2、3.板書設(shè)計§ 1.5.1正態(tài)分布(一)一、正態(tài)分布的定義：二、正態(tài)曲線定義：三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體：N(0,1)四、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線五、正態(tài)曲線性質(zhì)1.曲線在x軸的上方,與x軸不相交.2.曲線關(guān)于直線x=對稱.3.曲線在x=時位于最高點.4.當(dāng)x<時,曲線上升,當(dāng)x>時,曲線下降.5.當(dāng)一定時,曲線的形狀由確定.六、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(0,1)表,相應(yīng)于x0的值(x0)是指總體取值小于x0的概率,(x0)=P(x<x0)(x00),當(dāng)x0<0時,(x0)=1-(-x0).在(x1,x2)內(nèi)取值的概率為P=(x2)-(x1).例題1.2(交通路線問題)3(成績統(tǒng)計問題)小結(jié)：數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)方法：