2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 點(diǎn)到直線的距離教案 理教材分析點(diǎn)到直線的距離是解析幾何的重要內(nèi)容之一，它的應(yīng)用十分廣泛點(diǎn)到直線的距離是指由點(diǎn)向直線引垂線的垂線段的長(zhǎng)我們知道，求點(diǎn)到點(diǎn)的距離，有“工具”兩點(diǎn)間的距離公式可用，同樣有必要?jiǎng)?chuàng)造出一套“工具”來方便地解決點(diǎn)到直線的距離問題，也就是說：已知點(diǎn)P（x1，y1）和直線l：AxByC0，（A，B不全為0），目標(biāo)是設(shè)法用已知的量x1，y1，A，B，C把點(diǎn)P到l的距離表示出來，當(dāng)作公式用教材上公式的推導(dǎo)運(yùn)用了兩點(diǎn)間的距離公式，具體做法是作直線m過點(diǎn)P與l垂直，設(shè)垂足為Po（xo，yo），Po滿足直線m的方程，也滿足直線l的方程，將Po的坐標(biāo)分別代入直線m和直線l的方程，通過恒等變形利用兩點(diǎn)間的距離公式，推出點(diǎn)到直線的距離公式這種方法思路清晰，學(xué)生易于接受，但恒等變形較抽象，學(xué)生難于掌握，故教學(xué)中應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生怎樣想到這樣變形這樣既可以活躍學(xué)生的思維，又可以鍛煉其發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力公式的推導(dǎo)方法還有很多，對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)可加以啟發(fā)，展開討論，以培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力這節(jié)課的重點(diǎn)是理解和掌握點(diǎn)到直線的距離公式，并能熟練地應(yīng)用公式求點(diǎn)到直線的距離，難點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)教學(xué)目標(biāo)1. 通過探索點(diǎn)到直線距離公式的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生探索與研究問題能力2. 理解和掌握點(diǎn)到直線的距離公式，體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的過程，數(shù)形結(jié)合、化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力任務(wù)分析這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了“兩點(diǎn)間的距離公式”、“兩條直線的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)上引入的，通過復(fù)習(xí)兩直線垂直、兩直線相交及兩點(diǎn)間的距離公式，學(xué)生容易想到把點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題為了利用兩點(diǎn)間的距離公式，須要求垂足的坐標(biāo)若利用垂線與已知直線相交解出垂足的坐標(biāo)，想法自然，但求解較繁，為了簡(jiǎn)化解題過程，自然要想其他方法，教材采用了設(shè)而不求，整體代換來解決問題，簡(jiǎn)單明了，但恒等變形較難，因此，通過分析兩點(diǎn)間的距離公式與點(diǎn)到直線距離的聯(lián)系和區(qū)別，找到恒等變形的思路是解決問題的關(guān)鍵本課通過觀察、分析掌握兩點(diǎn)間距離公式的特點(diǎn)，總結(jié)應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式的步驟；通過例題和練習(xí)使學(xué)生掌握并能應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式解決有關(guān)問題；通過探索和研究有關(guān)問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情境1. 某供電局計(jì)劃年底解決本地區(qū)一個(gè)村莊的用電問題，經(jīng)過測(cè)量，若按部門內(nèi)部設(shè)計(jì)好的坐標(biāo)圖（以供電局為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正半軸，正北方向?yàn)檩S的正半軸，長(zhǎng)度單位為km），則這個(gè)村莊的坐標(biāo)是（15，20），它附近只有一條線路通過，其方程為3x4y100問：要完成任務(wù)，至少需要多長(zhǎng)的電線？這實(shí)際上是一個(gè)求點(diǎn)到直線的距離問題，那么什么是點(diǎn)到直線的距離，如何求村莊到線路的距離呢？2. 在學(xué)生思考討論的基礎(chǔ)上，教師收集學(xué)生各種的求法，得常見求法如下：（1）設(shè)過點(diǎn)P（15，20）與l：3x4y100垂直的直線為m，易求m的方程為4x3y1200由解得即m與l的交點(diǎn)由兩點(diǎn)間的距離公式，得故要完成任務(wù)，至少需要9km長(zhǎng)的電線（2）設(shè)直線l：3x4y100與x軸的交點(diǎn)為Q，則Q（，0）在直線l上任取一點(diǎn)M（0，），易讓向量（，）與向量n（3，4）垂直設(shè)向量與向量n的夾角為，點(diǎn)P到直線l的距離為d，由向量的數(shù)量積的定義易知（3）設(shè)過點(diǎn)P（15，20）與l：3x4y100垂直的直線為，易求的方程為4（x15）3（y20）0設(shè)垂足為Po（xo，yo），則4（xo15）3（yo20）0，又因?yàn)辄c(diǎn)Po在l上，所以3xo4yo100，即3xo4yo10，而3×154×20103×154×203xo4yo3（xo15）4（yo20），即3（xo15）4（yo20）45 把等式和等式兩邊相加，得25（xo15）2（yo20）2452，（xo15）2（yo20）2，3. 教師展現(xiàn)學(xué)生們的求法，師生共同點(diǎn)評(píng)各種求法，得出：求垂線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式使問題得解，想法雖自然，但計(jì)算量較大；不求垂足的坐標(biāo)，設(shè)出垂足的坐標(biāo)代入直線方程，進(jìn)而通過等式變形，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得結(jié)果，想法既巧妙，又簡(jiǎn)單明了二、建立模型設(shè)坐標(biāo)平面上（如圖24-1），有點(diǎn)P（x1，y1）和直線l：AxByC0（A，B不全為0）我們來尋求點(diǎn)到直線l距離的算法作直線m通過點(diǎn)P（x1，y1），并且與直線l垂直，設(shè)垂足為P0（x0，y0）容易求得直線m的方程為B（xx1）A（yy1）0由此得B（x0x1）A（y0y1）0由點(diǎn)P0在直線l上，可知Ax0By0C0，即CAx0By0所以Ax1By1CAx1By1Ax0By0，即A（x1x0）B（y1y0）Ax1By1C把等式和兩邊平方后相加，整理可得（A2B2）（x1x0）2（y1y0）2（Ax1By1C）2，即（x1x0）2（y1y0）2容易看出，等式左邊即為點(diǎn)P（x1，y1）到直線l距離的平方由此我們可以得到點(diǎn)P（x1，y1）到直線l的距離d的計(jì)算公式：歸納求點(diǎn)P（x1，y1）到直線l：AxByC0的距離的計(jì)算步驟如下：（1）給出點(diǎn)的坐標(biāo)x1和y1賦值（2）給A，B，C賦值（3）計(jì)算注意：（1）在求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式（2）當(dāng)直線與x軸或y軸平行時(shí)，公式也成立，但此時(shí)求距離一般不用公式三、解釋應(yīng)用例題1. 求點(diǎn)P（1，2）到下列直線的距離：l1：2xy5，l2：3x2注意：規(guī)范解題格式2. 求兩平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC2，（C1C2）之間的距離分析：求兩條平行線間的距離，就是在其中一條直線上任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)到另一條直線的距離解：在l1上任取一點(diǎn)P（x1，y1），則Ax1ByC1，點(diǎn)P到l2的距離d3. 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，證明：等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高解：以等腰三角形底邊所在的直線為x軸，底邊上的高所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖24-2）不妨設(shè)底邊AB2a，高OCb，則直線AC：即bxayab0；直線BC：，即bxayab0，點(diǎn)B（a，0）在線段AB上任取一點(diǎn)D（m，0），則amad1d2，即等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高練習(xí)1. 求下列點(diǎn)到直線的距離（1）0（0，0），l1：3x4y50（2）A（1，0），l2：xy0（3）B（1，2），l3：3xy0（4）C（2，3），l4：y702. 求兩條平行直線2x3y80和2x3y180之間的距離3. （1）求過點(diǎn)A（1，2），且與原點(diǎn)的距離為的直線方程（2）若點(diǎn)P（x，y）在直線xy40上，O為原點(diǎn)，求OP的最小值（3）若ABC的三頂點(diǎn)分別為A（7，8），B（0，4），C（2，4），求ABC的面積（4）求點(diǎn)P（0，1）關(guān)于直線x2y10的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)（5）求直線2x11y160關(guān)于點(diǎn)P（0，1）對(duì)稱的直線方程四、拓展延伸1. 點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用非常廣泛，你能舉例說明它在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用嗎？2. 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法有很多，對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)可探索其他推導(dǎo)方法，下面介紹兩種常見的推導(dǎo)方法（1）如圖，已知點(diǎn)P0（x0，y0），直線l：AxByC0，求點(diǎn)P0到直線l的距離不妨設(shè)A0，B0，這時(shí)l和x軸、y軸都相交過點(diǎn)P0作直線l的垂線，交l于Q令P0Qd，過P0作x軸的平行線交l于R（x1，y0），作y軸的平行線交l于S（x0，y2）由Ax1By0C0，Ax0By2C0得易證A0或B0，公式也成立（2）點(diǎn)到直線的距離公式也可用向量的知識(shí)求得，此法更能體現(xiàn)出代數(shù)與幾何的聯(lián)系，比其他方法更簡(jiǎn)單，直觀，易懂求法如下：如圖24-4，證明向量n（A，B）與直線l垂直不妨設(shè)A0，直線l與x軸的交點(diǎn)是Q（，0）如果P1（x1，y1）是直線l上不同于Q的點(diǎn)，則Ax1By1C0A（x1）B（y10）0，即（A，B）·（x1，y10）0，向量n（A，B），與向量（x1，y10）垂直，即向量n與直線l垂直求點(diǎn)P0到直線l的距離d由數(shù)量積的定義，如果向量與向量n的夾角為，那么易證當(dāng)A0或B0時(shí)，公式也成立點(diǎn)評(píng)這節(jié)課首先通過實(shí)例闡述了點(diǎn)到直線距離的產(chǎn)生背景，并通過學(xué)生思考討論，歸納和概括出了求點(diǎn)到直線的距離的常用方法，然后按照由特殊到一般的思路，找出了推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式的方法這種安排充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)精神例題與練習(xí)的設(shè)計(jì)由淺入深，完整，全面解釋應(yīng)用深有新意，有深度拓展延伸活躍了學(xué)生思維，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力總之，這篇案例較好地體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)教育發(fā)展的一絲新理念