2022年高中數(shù)學(xué) 1.2.1任意角的三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用（一）學(xué)案 新人教A版必修41理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義及其表示，能熟練求三角函數(shù)的值2理解并掌握三角函數(shù)線的幾何表示，能利用三角函數(shù)線確定三角函數(shù)值的取值范圍或角的取值范圍一、任意角的三角函數(shù)1單位圓：在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，以單位長度為半徑的圓稱為單位圓2三角函數(shù)的定義：設(shè)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合在直角坐標(biāo)系中，角終邊與單位圓交于一點(diǎn)P(x，y)，則r|OP|1.那么：(1)y叫做的正弦，記作sin ，即ysin ；(2)x叫做的余弦，記作cos ，即xcos ；(3)叫做的正切，記作tan ，即tan (x0)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們把它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)練習(xí)1：已知角A的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P0，求角的正弦、余弦和正切值解析：由三角函數(shù)定義知，sin y，cos x，tan .1三角函數(shù)的值與點(diǎn)P在終邊上的位置有關(guān)系嗎？解析：利用三角形的相似性可知任意角的三角函數(shù)值只與有關(guān)，而與點(diǎn)P的位置無關(guān)對于角的終邊上任意一點(diǎn)P，設(shè)其坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r>0.(1)比值叫做的正弦，記作sin ，即sin ；(2)比值叫做的余弦，記作cos ，即cos ；(3)比值叫做的正切，記作tan ，即tan .點(diǎn)P在單位圓上是一種特殊情形二、三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號1由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號，可以確定三角函數(shù)在各象限的符號sin ，其中r>0，于是sin 的符號與y的符號相同，即：當(dāng)是第一、二象限角時(shí)，sin >0；當(dāng)是第三、四象限角時(shí)，sin <0.cos ，其中r>0，于是cos 的符號與x的符號相同，即：當(dāng)是第一、四象限角時(shí)，cos >0；當(dāng)是第二、三象限角時(shí)，cos <0.tan ，當(dāng)x與y同號時(shí)，它們的比值為正，當(dāng)x與y異號時(shí)，它們的比值為負(fù)，即：當(dāng)是第一、三象限角時(shí)，tan >0；當(dāng)是第 二、四象限角時(shí)，tan <0.2根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識記口訣1：“sin ：上正下負(fù)橫為0；cos ：左負(fù)右正縱為0；tan ：交叉正負(fù)”形象的識記口訣2：“一全正二正弦，三正切四余弦”練習(xí)2：已知角的終邊過點(diǎn)P0(3，4)，求角的正弦、余弦和正切值解析：r5，sin ，cos ，tan .2你知道形象的識記口訣的意思嗎？解析： 口訣：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意為：第一象限各個三角函數(shù)均為正；第二象限只有正弦為正，其余兩個為負(fù)；第三象限正切為正，其余兩個為負(fù)；第四象限余弦為正，其余兩個為負(fù)三、誘導(dǎo)公式一由定義可知，三角函數(shù)值是由角的終邊的位置確定的，因此，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，這樣就有下面的一組公式(誘導(dǎo)公式一)：sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，tan(2k)tan ，kZ.3公式一中的角一定是銳角嗎？解析：公式一中的角為任意角，公式一都成立四、三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)sin cos tan 定義域RR 4三角函數(shù)線有哪些特征？應(yīng)用三角函數(shù)線體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？解析： (1)三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)(3)三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為負(fù)值(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面應(yīng)用三角函數(shù)線解決問題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法1若<<0，則點(diǎn)Q(cos ，sin )位于(D)A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析： <<0，則cos >0，sin <0，故選D.2已知角的終邊過點(diǎn)P，則cos (B)A.B.C.D±解析： 點(diǎn)P是單位圓上一點(diǎn)，則cos x， 故選B.3有下列四個命題：終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不相等；若sin >0，則是第一或第二象限角；若是第二象限角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cos .其中，不正確命題的個數(shù)是(C)A1個 B2個 C3個 D4個解析： 正確；不正確；不正確，例：也成立；不正確故選C.4若sin <0且tan >0，則(C)A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：sin <0，在第三、四象限又tan >0，在第一、三象限故在第三象限1角的終邊落在yx(x>0)上，則sin 的值等于(D)A±B.C±D2sin 330°等于(B)A B C. D.3若角的終邊上有一點(diǎn)P(4a，3a)(a0)，則2sin cos 的值是(B)A. B.或C D與a有關(guān)但不能確定解析：當(dāng)a0時(shí)，sin ，cos ，2sin cos ；當(dāng)a0時(shí)，為.4點(diǎn)P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓x2y21順時(shí)針運(yùn)動弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(A)A. B.C. D.解析：旋轉(zhuǎn)角為，此時(shí)點(diǎn)Q所在終邊對應(yīng)的角為，xcos，ysin.故選A.5sin 1 485°的值為(B)A. B. C. D解析：sin 1 485°sin(4×360°45°)sin 45°.6若是第二象限角，P(x，)為其終邊上一點(diǎn)，且cos x，則sin 的值為(A)A. B. C. D解析：是第二象限角，x<0，r|OP|，故cos x，解得x，r2，sin ，故選A.7sin 2·cos 3·tan 4的值的符號為_解析：<2<，sin 2>0.<3<，cos 3<0.<4<，tan 4>0.則sin 2·cos 3·tan 4為負(fù)值答案：負(fù)8已知的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a9，a2)且cos 0，sin >0，則a的取值范圍是_答案：(2，39確定三角函數(shù)式的符號解析：<3<，tan(3)>0.<5<2，cos 5>0.<8<3，sin 8>0.>0.10已知sin x<0，且tan x>0.(1)求角的終邊所在的象限；(2)試判斷tan與sin ·cos 的符號解析：(1)sin x<0，且tan>0，x是第三象限角2k<x<2k，kZ，k<<k(kZ)，角的終邊在第二或第四象限(2)由(2)得tan<0，sin· cos<0.1三角函數(shù)的定義(1)可以用角的終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來定義三角函數(shù)設(shè)是一個任意角，的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，P與原點(diǎn)的距離為r(r>0)，則sin ；cos ；tan .這樣定義三角函數(shù)，突出了與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān)，若令r1，則為單位圓中三角函數(shù)的定義(2)三角函數(shù)既可以看成是以角為自變量，又可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，三角函數(shù)具有二重性(3)深刻認(rèn)識理解三角函數(shù)符號的含義如sin 這個符號，表示，即角的正弦，不能把sin 看成sin與的積同時(shí)也應(yīng)注意每個函數(shù)記號的第一個字母都不能大寫2三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(1)用坐標(biāo)定義三角函數(shù)，因而坐標(biāo)的符號即角的終邊所在的象限決定三角函數(shù)值的符號，同時(shí)，三角函數(shù)的定義域只需抓住分母不為零這一關(guān)鍵，不要死記(2)判斷三角函數(shù)值的符號時(shí)，應(yīng)特別注意角所在的象限的確定，不能忽視終邊在坐標(biāo)軸上的情況