2022年高中數(shù)學(xué) 1.2.1平面的基本性質(zhì)學(xué)案 蘇教版必修2我們?cè)谌粘Ｉ钪谐Ｒ?jiàn)到一些物體如湖面、黑板面、桌面、玻璃面，都給我們以平面的感覺(jué)那么我們能夠?qū)⑦@些面定義為平面嗎？測(cè)量中的平板儀、望遠(yuǎn)鏡或照相機(jī)等都用三條腿的架子支撐在地面上，你知道其中的道理嗎？1我們知道，幾何里的平面是無(wú)限延展的，通常把水平的平面畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，常用符號(hào)的規(guī)定是：A，讀作：“點(diǎn)A在平面內(nèi)”；B，讀作：“點(diǎn)B在平面外或點(diǎn)B不在平面內(nèi)”Al，讀作：“點(diǎn)A在直線l上”；Bl，讀作：“點(diǎn)B在直線l外或點(diǎn)B不在直線l上”l，讀作：“直線l在平面內(nèi)”；l，讀作：“直線l在平面外或直線l不在平面內(nèi)”2公理1.(1)文字語(yǔ)言：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(2)符號(hào)語(yǔ)言：Al，Bl，A，Bl3公理2.(1)文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線(2)符號(hào)語(yǔ)言：P，Pl，Pl4公理3.(1)文字語(yǔ)言：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(2)符號(hào)語(yǔ)言：Al，Bl，Cl三點(diǎn)A、B、C確定唯一平面5推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面6推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面7推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面,一、公理1公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)該公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)證明一條直線在某一平面內(nèi)，即只需證明這條直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)在該平面內(nèi)即可二、公理2公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線該公理主要用于判定或證明兩個(gè)平面相交及三點(diǎn)在同一條直線上證明點(diǎn)共線的問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)(依據(jù)：由點(diǎn)在線上，線在面內(nèi)，推出點(diǎn)在面內(nèi))，這樣，可根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的公共直線上證明共點(diǎn)問(wèn)題，一般是先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上，而這一點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這第三條直線是這兩個(gè)平面的交線三、公理3及其三個(gè)推論公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面公理3和三個(gè)推論是證明點(diǎn)和點(diǎn)、點(diǎn)和線、線和線共面的重要依據(jù)，是把空間問(wèn)題化歸成平面問(wèn)題的重要渠道知識(shí)點(diǎn)一平面的概念及符號(hào)表示1下列說(shuō)法中，正確的有_(填序號(hào))一個(gè)平面長(zhǎng)4 m，寬2 m；2個(gè)平面重疊在一起比一個(gè)平面厚；一個(gè)平面的面積是25 cm2；一條直線的長(zhǎng)度比一個(gè)平面的長(zhǎng)度大；圓和平行四邊形都可以表示平面解析：根據(jù)平面定義，前4個(gè)說(shuō)法均不正確，正確答案：2點(diǎn)M在直線a上，且直線a在平面內(nèi)，可記為_(kāi)解析：點(diǎn)、線、面的關(guān)系采用集合中的符號(hào)來(lái)記答案：Ma3根據(jù)下列條件，畫(huà)出圖形：平面平面AB，直線CD，CDAB，ECD，直線EFF，F(xiàn)AB.解析：由題意畫(huà)圖形如下：知識(shí)點(diǎn)二平面基本性質(zhì)三條公理4平面、有公共點(diǎn)A，則、有_個(gè)公共點(diǎn)解析：根據(jù)公理2.答案：無(wú)數(shù)5如圖，平面平面l，A、B，C，Cl，直線ABlD，過(guò)A、B、C三點(diǎn)確定的平面為，則平面、的交線必過(guò)點(diǎn)_解析：根據(jù)公理判定點(diǎn)C和點(diǎn)D既在平面內(nèi)又在平面內(nèi)，故在與的交線上答案：C和D6空間任意四點(diǎn)可以確定_個(gè)平面解析：若四點(diǎn)共線，可確定無(wú)數(shù)個(gè)平面；若四點(diǎn)共面不共線，可確定一個(gè)平面；若四點(diǎn)不共面，可確定四個(gè)平面答案：1個(gè)或4個(gè)或無(wú)數(shù)知識(shí)點(diǎn)三平面基本性質(zhì)三條推論7下列命題說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面；空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；一條直線和一個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面；梯形一定是平面圖形解析：根據(jù)三個(gè)公理及推論知均不正確答案：8下列各圖的正方體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則使這四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是_(把正確圖形的序號(hào)都填上)解析：中PSRQ，中SRPQ，由推論3知四點(diǎn)共面答案：9點(diǎn)A在直線l上但不在平面內(nèi)，則l與的公共點(diǎn)有_個(gè)答案：0或1綜合點(diǎn)一點(diǎn)共線的問(wèn)題10如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)A1C平面ABC1D1E，則B、E、D1三點(diǎn)的關(guān)系是_解析：連接AC、A1C1、AC1，則E為A1C與AC1的交點(diǎn)，故E為AC1的中點(diǎn)又ABC1D1為平行四邊形，所以B、E、D1三點(diǎn)共線答案：共線11如右圖，E、F、G、H分別是空間四邊形中AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且EH與FG交于點(diǎn)O.求證：B、D、O三點(diǎn)共線證明：EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理可證O平面BCD.平面ABD平面BCDBD，OBD，即B、D、O三點(diǎn)共線綜合點(diǎn)二線共點(diǎn)問(wèn)題12如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、AB的中點(diǎn)，求證：D1E、CF、DA三線共點(diǎn)證明：如圖，連接EF，A1B，D1C，E、F為AA1、AB的中點(diǎn)，EF綊A1B.又A1B綊D1C，EF綊D1C.故直線D1E、CF在同一個(gè)平面內(nèi)，且D1E、CF不平行，則D1E、CF必相交于一點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為M.又M平面ABCD且M平面ADD1A1，MAD，即D1E、CF、DA三線共點(diǎn)綜合點(diǎn)三點(diǎn)、線共面問(wèn)題13下列敘述中，正確的是_(填序號(hào))若點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P在直線m上，點(diǎn)P在直線n上，則l、m、n共面；若點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P在直線m上，則l、m共面；若點(diǎn)P不在直線l上，點(diǎn)P不在直線m上，點(diǎn)P不在直線n上，則l、m、n不共面；若點(diǎn)P不在直線l上，點(diǎn)P不在直線m上，則l、m不共面；若點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P不在直線m上，則l、m不共面解析：Pl，Pm，lmP.由推論2知，l、m共面答案：綜合點(diǎn)四同一法證直線共面14已知：abc，直線laA，lbB，lcC.求證：a、b、c、l四線共面證明：ab，a、b確定一個(gè)平面.Aa，Bb，A，B.AB，即l.同理，由bc，得b，c確定一個(gè)平面，可證l.l、b，l、b.lbB，l、b只能確定一個(gè)平面與重合故c在平面內(nèi)a、b、c、l四線共面