2022年高中數(shù)學(xué) 1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-31楊輝三角的特點(diǎn)(1)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即CCC2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)3賦值法的應(yīng)用設(shè)f(x)a0a1xa2x2a3x3anxn.(1)a0a1a2a3anf(1)(2)a0a1a2a3(1)nanf(1)(3)a0a2a4a6(4)a1a3a5a7(5)a0f(0)想一想：設(shè)(2x)8a0a1xa2x2a8x8，則a0a1a2a8的值為111(1x)(1x)2(1x)100的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為(C)A199 B21001C21011 D21002在(1x)n(nN)的二項(xiàng)展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n(C)A8 B9 C10 D11解析：由題意(1x)n展開式中，x5的系數(shù)就是第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)橹挥兴嵌?xiàng)式系數(shù)中最大的，所以n10. 故選C.3(xx·北海市第二次質(zhì)檢)設(shè)(x2)(2x3)10a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為(B)A0 B1 C6 D15解析：令x1，則1a0a1a2a11，故選B.【典例】設(shè)nN*，則CC6C62C6n1_解析：原式(C6C62C63C6n)(CC6C62C63C6n1)(16)n1(7n1)【易錯(cuò)剖析】由于對二項(xiàng)式定理理解不透，誤認(rèn)為CC6C62C6n1(16)n17n1，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤1(1x)2n1的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是(C)An，n1 Bn1，nCn1，n2 Dn2，n32已知(1x)(1x)2(1x)na0a1xa2x2anxn(nN*)，若a0a1an30，則n等于(C)A5 B3 C4 D7解析：令x1得a0a1an2222n30得n4.3關(guān)于(ab)10的說法，錯(cuò)誤的是(C)A展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和是1 024B展開式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C展開式的第5項(xiàng)或第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最小解析：由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，CCCC2101 024.A正確又二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C，是展開式的第6項(xiàng)B正確又由通項(xiàng)Tr1Ca10r(b)r(1)rCa10rbr知，第6項(xiàng)的系數(shù)C最小D正確4下圖是一個(gè)類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為_13356571111791822189解析：由1，3，5，7，9，可知它們成等差數(shù)列，所以an2n1.答案：2n15若(1a)(1a)2(1a)3 (1a)nb0b1ab2a2 bnan，且b0b1b2 bn30，則自然數(shù)n的值為(C)A6 B5C4D3解析：令a1，得b0b1b2bn2222n2n12，又b0b1b2bn30，2n1230，解得n4.6(xx高考新課標(biāo)卷)設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a7b，則m(B)A5 B6C7 D8解析：由題知aC，bC，所以13C7C，即，解得m6，故選B.7(xx·潮州二模)若的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為_解析：的展開式的二項(xiàng)式的二項(xiàng)系數(shù)之和為64，2n64，n6，由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式可知，Tr1C·(2)6r·26r(1)r·C·x3r.當(dāng)r3時(shí)，展開式的常數(shù)項(xiàng)23(1)3·C160.8若展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則n_，其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_(用數(shù)字作答)解析：依題意得2n32，n5，Tr1C(x2)5r·Cx105x.令105r0，得r2，常數(shù)項(xiàng)為T3C10.答案：5109已知(13x)n的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)解析：由題意知，CCC121，即CCC121，所以1n121，即n2n2400，解得：n15或16(舍去)所以在(13x)n展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第8、9兩項(xiàng)，且T8C(3x)7C37x7，T9C(3x)8C38x8.10(1)求證：12222能被31整除(nN*)；(2)求SCCC除以9的余數(shù)(1)證明：122225n125n132n1(311)n1C×31nC31n1C×31C131(C×31n1C×31n2C)，顯然上式括號內(nèi)為整數(shù)，故原式能被31整除(2)解析：SCCC2271891(91)91C×99C×98C×9C19(C×98C×97C)29(C×98C×97C1)7，顯然上式括號內(nèi)的數(shù)是正整數(shù)故S除以9的余數(shù)是7.