2022年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題 含解析一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題意，可知，所以，故選B.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.2.已知函數(shù)定義域是，則的定義域（ ）A B C D 【答案】D【解析】試題分析：由得，由，解得，故選D.考點(diǎn)：函數(shù)的定義域.3.命題“存在，為假命題”是命題“”的（ ）A充要條件 B必要不充分條件C充分不必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)題意為恒成立，即，解得，所以為充要條件，故選A.考點(diǎn)：充要條件的判斷.4.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則它在點(diǎn)A處的切線方程是（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，所以，根據(jù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，則有，所以，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式，求得切線方程是，故選C.考點(diǎn)：冪函數(shù)解析式的求解，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖像的切線方程.5.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原的2倍，再向左平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程是（ ）A B. C D 【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)題意，變換以后的函數(shù)解析式為，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程是，故選A.考點(diǎn)：函數(shù)圖像的變換.6.函數(shù)的圖象大致是（ ）【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，所以圖像不關(guān)于軸對(duì)稱，所以C,D不正確，當(dāng)趨向于正無窮時(shí)，趨向于正無窮，而余弦函數(shù)是有界的，所以趨向于，故B不對(duì)，只能選A.考點(diǎn)：函數(shù)圖像的選取.7.已知定義在R上的偶函數(shù)，在時(shí)，若，則a的取值范圍是（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在上是增函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，可知函數(shù)在上是減函數(shù)，所以等價(jià)于，解得，故選B.考點(diǎn)：偶函數(shù)的性質(zhì).8.下列四個(gè)命題：$x(0, ), ()x()x；$x(0, 1), logxlogx；"x(0, ), ()xlogx；"x(0, ), ()xlogx.其中真命題是（ ）ABCD【答案】C考點(diǎn)：指對(duì)函數(shù)的圖像和性質(zhì).9.已知符號(hào)函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A1B2 C3D4【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，可以求得函數(shù)的零點(diǎn)為，所以函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選B.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn).10.設(shè)奇函數(shù)在上是增函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)， 對(duì)所有的恒成立，則的取值范圍是（ ）AB或 C或或D 或或【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)題意有，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的最大值為，所以有對(duì)于恒成立，所以有在恒成立，即，解得或或，故選D.考點(diǎn)：構(gòu)造函數(shù)，恒成立問題.11.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，函數(shù)在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，而圖像過點(diǎn)，此時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像，可知的取值范圍是，故選A.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想.12.定義一：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，若存在兩條距離為的直線和，使得在時(shí)， 恒成立，則稱函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)寬度為的通道.定義二：若一個(gè)函數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)，都存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得函數(shù) 在內(nèi)有一個(gè)寬度為的通道，則稱在正無窮處有永恒通道.下列函數(shù),，其中在正無窮處有永恒通道的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）A. 1 B.2 C. 3 D.4【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖像，可知只有沒有，剩下三個(gè)都可以，所以選C.考點(diǎn)：新定義.第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若函數(shù)在其定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) 【答案】【解析】試題分析：根據(jù)奇函數(shù)的條件，當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)有定義時(shí)，可知，解得，當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)沒有定義時(shí)，求得，解得，經(jīng)驗(yàn)證函數(shù)是奇函數(shù)，故.考點(diǎn)：奇函數(shù)的定義.14.定義在R上的奇函數(shù)滿足則= 【答案】考點(diǎn)：利用函數(shù)的周期性及奇偶性求函數(shù)值.15.已知命題:關(guān)于的方程在有解；命題在單調(diào)遞增；若“”為真命題，“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 【答案】【解析】試題分析：根據(jù)題意，關(guān)于的方程在有解，可得，從而求得；在單調(diào)遞增，可得，解得，根據(jù)“”為真命題，“”是真命題，可知假真，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)：命題的真假判斷，參數(shù)的取值范圍.16.對(duì)于函數(shù)，有下列4個(gè)命題：任取，都有恒成立；，對(duì)于一切恒成立；函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；對(duì)任意，不等式恒成立則其中所有真命題的序號(hào)是 【答案】【解析】試題分析：根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在上的最大值和最小值分別是和，所以對(duì)，對(duì)于一切恒成立，故錯(cuò)，根據(jù)圖像可知函有3個(gè)零點(diǎn)，故對(duì)，根據(jù)圖像，可以判斷正確，故答案為.考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.（本小題滿分10分）已知集合，（1）分別求，；（2）已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值集合【答案】（1），；（2）.【解析】試題分析：第一問結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解集合，再根據(jù)集合的交并補(bǔ)集中元素的特點(diǎn)，求得結(jié)果，第二問注意對(duì)集合是否為空集進(jìn)行討論，在非空的條件下，結(jié)合數(shù)軸來解決即可.試題解析：（1）即，即，；，（2）由（1）知，當(dāng)當(dāng)C為空集時(shí)，當(dāng)C為非空集合時(shí)，可得 綜上所述考點(diǎn)：集合的運(yùn)算，參數(shù)的取值范圍，交并補(bǔ)集，子集.18.（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在單位圓上，且（1）若，求的值；（2）若也是單位圓上的點(diǎn)，且過點(diǎn)分別做軸的垂線，垂足為，記的面積為，的面積為設(shè)，求函數(shù)的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：第一問根據(jù)題意可知利用題中所給的條件，利用差角公式求得的值，第二問利用三角函數(shù)的定義式，結(jié)合圖形將三角形的面積用三角函數(shù)來表示，即將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用和差角公式，輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合自變量的取值范圍，求得函數(shù)的最大值.試題解析：（1）由三角函數(shù)的定義有， （2）由，得由定義得，又，于是， = ，即考點(diǎn)：三角函數(shù)和差角公式，三角函數(shù)的定義式，輔助角公式，三角函數(shù)的最值問題.19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（、為常數(shù)）（1）若，解不等式；（2）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍【答案】（1）時(shí)，解集為：， 時(shí)，解集為：， 時(shí)，解集為：，（2）.【解析】試題分析：第一問不等式為，將其轉(zhuǎn)化為正式不等式，需要對(duì)和比較大小，從而求得結(jié)果，第二問式子為，等價(jià)于，能夠發(fā)現(xiàn)，易知當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，所以式子轉(zhuǎn)化為恒成立，轉(zhuǎn)化為最值來處理，結(jié)合自變量的取值范圍，利用基本不等式求得最值，從而求得結(jié)果.試題解析：（1），等價(jià)于，即時(shí)，不等式的解集為：，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為：，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為：，（2）， （）顯然，易知當(dāng)時(shí)，不等式（）顯然成立；由時(shí)不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，故 綜上所述，考點(diǎn)：解不等式，恒成立問題，基本不等式.20.（本小題滿分12分）如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）若平面,，求平面與平面所成角（銳角）的大小【答案】（）證明見解析；（）.【解析】試題分析：第一問連結(jié)相應(yīng)的線段，利用平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，證得TH/DB，利用線面平行的判定定理證得線面平行，第二問建立空間坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用法向量所成的角的余弦求得二面角的余弦值.試題解析：（）證明：連接DG，DC，設(shè)DC與GF交于點(diǎn)T在三棱臺(tái)中，則而G是AC的中點(diǎn)，DF/AC，則,所以四邊形是平行四邊形,T是DC的中點(diǎn)，又在,H是BC的中點(diǎn)，則TH/DB，又平面，平面，故平面；（）由平面,可得平面而則,于是兩兩垂直，以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),則,，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則,即，取，則，故平面與平面所成角（銳角）的大小為考點(diǎn)：線面平行的判定，二面角的余弦值.21.（本題滿分12分）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C1：的焦點(diǎn)，且拋物線C1上點(diǎn)P處的切線與圓C2：相切于點(diǎn)Q（）當(dāng)直線PQ的方程為時(shí)，求拋物線C1的方程；（）當(dāng)正數(shù)變化時(shí)，記S1 ，S2分別為FPQ，F(xiàn)OQ的面積，求的最小值【答案】（）；（）.【解析】試題分析：第一問要求拋物線的方程，任務(wù)就是求的值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，再根據(jù)切點(diǎn)在切線上，得，從而求得，進(jìn)而得到拋物線的方程，第二問根據(jù)三角形的面積公式，利用題中的條件，將兩個(gè)三角形的面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于和切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式，從而有，利用基本不等式求得最值.試題解析：（）設(shè)點(diǎn)，由得，求導(dǎo)， 2分因?yàn)橹本€PQ的斜率為1，所以且，解得， 所以拋物線C1 的方程為（）因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為：，即，根據(jù)切線又與圓相切，得，即，化簡(jiǎn)得，由，得，由方程組，解得， 所以，點(diǎn)到切線PQ的距離是，所以， ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào)，即，此時(shí)，所以的最小值為考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，三角形的面積，基本不等式.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（），（）求證：在區(qū)間上單調(diào)遞增；（）若，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的解析式，并判斷是否有最大值和最小值，請(qǐng)說明理由（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（）證明見解析；（），有最小值，沒有最大值試題解析：（）證明：，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增（）R，的定義域是，且，即，當(dāng)變化時(shí)，、變化情況如下表：極大極小當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為即 （1）當(dāng)時(shí)，由（）知，在上單調(diào)遞增又，存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，有最小值（2）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增又，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增綜合（1）（2）及解析式可知，有最小值，沒有最大值考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.