第九節(jié)圓錐曲線的綜合問題考綱傳真(教師用書獨具)1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法；2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；3.理解數(shù)形結(jié)合的思想(對應(yīng)學(xué)生用書第148頁)基礎(chǔ)知識填充1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系設(shè)直線l：AxByC0，圓錐曲線C：F(x，y)0，由消去y得到關(guān)于x的方程ax2bxc0.(1)當(dāng)a0時，設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則0直線l與圓錐曲線C有兩個公共點；0直線l與圓錐曲線C有一個公共點；0直線l與圓錐曲線C有零個公共點(2)當(dāng)a0，b0時，即得到一個一元一次方程當(dāng)C為雙曲線時，l與雙曲線的漸近線平行或重合，它們的公共點有1個或0個當(dāng)C為拋物線時，l與拋物線的對稱軸平行或重合，它們的公共點有1個2圓錐曲線的弦長公式設(shè)斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|·|x1x2|··.知識拓展過一點的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切；過橢圓上一點有且只有一條直線與橢圓相切；過橢圓內(nèi)一點的直線與橢圓相交(2)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線上一點總有兩條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線內(nèi)一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條與對稱軸平行或重合的直線基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個公共點()(2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是直線l與雙曲線C只有一個公共點()(3)過拋物線y22px(p>0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p.()(4)若拋物線上存在關(guān)于直線l對稱的兩點，則l與拋物線有兩個交點()解析(1)對橢圓是個封閉圖形，直線與橢圓只有一個公共點時，一定相切(2)錯當(dāng)直線l與漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個交點，但不相切(3)對可轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離來證明(3)正確(4)錯當(dāng)直線l為對稱軸時，l與拋物線有一個交點答案(1)(2)×(3)(4)×2(教材改編)直線yk(x1)1與橢圓1的位置關(guān)系是()A相交B相切C相離D不確定A直線yk(x1)1恒過定點(1,1)，又點(1,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交3過點(0,1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個公共點，這樣的直線有()A1條B2條C3條D4條C結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：一條過點(0,1)且平行于x軸的直線，兩條過點(0,1)且與拋物線相切的直線4直線yx3與雙曲線1(a0，b0)的交點個數(shù)是()A1B2C1或2D0A因為直線yx3與雙曲線的漸近線yx平行，所以它與雙曲線只有1個交點5過拋物線y28x的焦點F作傾斜角為135°的直線，交拋物線于A，B兩點，則弦AB的長為_16設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為拋物線y28x的焦點為F(2,0)，直線AB的傾斜角為135°，故直線AB的方程為yx2，代入拋物線方程y28x，得x212x40，則x1x212，x1x24，則|AB|x1x2412416.第1課時直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(對應(yīng)學(xué)生用書第149頁)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(2017·全國卷)設(shè)A，B為曲線C：y上兩點，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1，y2，x1x24，于是直線AB的斜率k1.(2)由 y，得y.設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知1，解得x32，于是M(2,1)設(shè)直線AB的方程為yxm，故線段AB的中點為N(2,2m)，|MN|m1|.將yxm代入y得x24x4m0.當(dāng)16(m1)>0，即m>1時，x1,22±2.從而|AB|x1x2|4.由題設(shè)知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直線AB的方程為yx7.規(guī)律方法1.判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去x(或y)，判斷該方程組解的個數(shù)，方程組有幾組解，直線與圓錐曲線就有幾個交點.但應(yīng)注意兩點：(1)消元后需要討論含x2(或y2)項的系數(shù)是否為0.(2)重視“判別式”起的限制作用.2.對于選擇題、填空題，要充分利用幾何條件，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法直觀求解，優(yōu)化解題過程.跟蹤訓(xùn)練已知直線l：y2xm，橢圓C：1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判別式(8m)24×9×(2m24)8m2144.(1)當(dāng)0，即3m3時，方程有兩個不同的實數(shù)根，可知方程組有兩組不同的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點(2)當(dāng)0，即m±3時，方程有兩個相同的實數(shù)根，可知方程組有兩組相同的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點弦長問題(2018·廣州綜合測試(二)已知雙曲線y21的焦點是橢圓C：1(ab0)的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：79140304】(1)設(shè)橢圓C的方程；(2)設(shè)動點M，N在橢圓C上，且|MN|，記直線MN在y軸上的截距為m，求m的最大值解(1)雙曲線y21的焦點坐標(biāo)為(±，0)，離心率為.因為雙曲線y21的焦點是橢圓C：1(ab0)的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，所以a，且，解得b1.故橢圓C的方程為y21.(2)因為|MN|2，所以直線MN的斜率存在因為直線MN在y軸上的截距為m，所以可設(shè)直線MN的方程為ykxm.代入橢圓的方程y21中，得(16k2)x212kmx6(m21)0.因為(12km)224(16k2)(m21) 24(16k2m2)0，所以m216k2.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2則|MN|x1x2|··因為|MN|，則·.整理得m2.令k21t1，則k2t1.所以m2 .等號成立的條件是t，此時k2，m2滿足m216k2，符合題意故m的最大值為.規(guī)律方法弦長的三種常用計算方法(1)定義法：過圓錐曲線的焦點的弦長問題，利用圓錐曲線的定義，可優(yōu)化解題.(2)點距法：將直線的方程和圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標(biāo)，再運用兩點間距離公式求弦長.(3)弦長公式法：它體現(xiàn)了解析幾何中設(shè)而不求的思想，其實質(zhì)是利用兩點之間的距離公式以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到的.易錯警示：直線與圓錐曲線的對稱軸平行或垂直的特殊情況.跟蹤訓(xùn)練(2017·宜春中學(xué)與新余一中聯(lián)考)設(shè)橢圓M：1(ab0)的離心率與雙曲線x2y21的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為4.(1)求橢圓M的方程；(2)若直線yx1交橢圓M于A，B兩點，P(1，)為橢圓M上一點，求PAB的面積解(1)由題可知，雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率e，由2a4，b2a2c2，得a2，c，b，故橢圓M的方程為1.(2)聯(lián)立方程，得4x22x30，且，所以|AB|x1x2|··.又P到直線AB的距離為d，所以SPAB|AB|·d··.中點弦問題(1)在橢圓1內(nèi)，通過點M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為()【導(dǎo)學(xué)號：79140305】Ax4y50Bx4y50C4xy50D4xy50(2)如圖8­9­1，已知橢圓y21上兩個不同的點A，B關(guān)于直線ymx對稱則實數(shù)m的取值范圍為_(1)A(2)(1)設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由，得0，因為所以，所以所求直線方程為y1(x1)，即x4y50.(2)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為yxB由消去y，得x2xb210.因為直線yxb與橢圓y21有兩個不同的交點，所以2b220，將AB中點M代入直線方程ymx，解得b，由得m或m.規(guī)律方法處理中點弦問題的常用方法(1)點差法：即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1x2，y1y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率.(2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.跟蹤訓(xùn)練拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線xy0與拋物線C交于A，B兩點若P(1,1)為線段AB的中點，則拋物線C的方程為()Ay2x2By22xCx22yDy22xB設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程為y22px，則兩式相減可得2p·(y1y2)kAB·22，即可得p1，拋物線C的方程為y22x.7