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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 冪函數(shù)教案 理 教材分析 冪函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與函數(shù)性質(zhì)之后，全面掌握有理指數(shù)冪和根式的基礎(chǔ)上來(lái)研究的一種特殊函數(shù)，是對(duì)函數(shù)概念及性質(zhì)的應(yīng)用．從教材的整體安排看，學(xué)習(xí)了解冪函數(shù)是為了讓學(xué)生進(jìn)一步獲得比較系統(tǒng)的函數(shù)知識(shí)和研究函數(shù)的方法，為今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)等其他函數(shù)打下良好的基礎(chǔ)．在初中曾經(jīng)研究過(guò)y＝x，y＝x2，y＝x－1三種冪函數(shù)，這節(jié)內(nèi)容，是對(duì)初中有關(guān)內(nèi)容的進(jìn)一步的概括、歸納與發(fā)展，是與冪有關(guān)知識(shí)的高度升華．知識(shí)的安排環(huán)環(huán)緊扣，非常緊湊，充分體現(xiàn)了知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程．對(duì)冪函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)的理論研究，在研究過(guò)程中得出相應(yīng)的結(jié)論固然重要

2、，但更為重要的是，要讓學(xué)生了解系統(tǒng)研究一類函數(shù)的方法．這節(jié)課要特別讓學(xué)生去體會(huì)研究的方法，以便能將該方法遷移到對(duì)其他函數(shù)的研究． 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過(guò)對(duì)冪函數(shù)概念的學(xué)習(xí)以及對(duì)冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的歸納與概括，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力． 2. 使學(xué)生理解并掌握冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)，并能初步運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的靈活思維能力． 任務(wù)分析 學(xué)生對(duì)抽象的冪函數(shù)及其圖像缺乏感性認(rèn)識(shí)，不能夠在理解的基礎(chǔ)上來(lái)運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)．為此，在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生自己去感受冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)是這一堂課的突破口．因此，這節(jié)課的難點(diǎn)是冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，教學(xué)重點(diǎn)是冪函數(shù)的

3、性質(zhì)及運(yùn)用．首先，從學(xué)生已經(jīng)掌握的最簡(jiǎn)單的冪函數(shù)y＝x，y＝x2和y＝x-1的知識(shí)出發(fā)，利用實(shí)例，由師生共同歸納、總結(jié)出冪函數(shù)的定義，認(rèn)清冪函數(shù)的特點(diǎn)，深刻理解其定義域．其次，舉出幾個(gè)簡(jiǎn)單的冪函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)研究其定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、是否過(guò)公共定點(diǎn)這幾個(gè)性質(zhì)，讓學(xué)生自己去探究，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生．然后，再由學(xué)生自己結(jié)合性質(zhì)去畫(huà)冪函數(shù)的圖像，讓學(xué)生在獲得一定的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)歸納、比較上升為理性認(rèn)識(shí)，從而形成對(duì)概念與性質(zhì)的完整認(rèn)識(shí)．最后通過(guò)例題3與練習(xí)，讓學(xué)生利用圖像與性質(zhì)，比較兩個(gè)數(shù)的大小，從而提高學(xué)生獲取知識(shí)的能力． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)題情景 下列問(wèn)題中的函數(shù)各有什么

4、共同特征？ （1）如果張紅購(gòu)買(mǎi)了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她應(yīng)支付p＝w元．這里p是w的函數(shù)． （2）如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積為S＝a2．這里S是a的函數(shù)． （3）如果立方體的邊長(zhǎng)為a，那么立方體的體積為V＝a3．這里V是a的函數(shù)． （4）如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為S，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a＝．這里a是S的函數(shù)． （5）如果某人t（s）內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)了1km，那么他騎車(chē)的平均速度為v＝t-1（km／s）．這里v是t的函數(shù)． 由學(xué)生討論，總結(jié)，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自變量的若干次冪的形式． 教師指出：我們把這樣的都是自變量的若干次冪的形式

5、的函數(shù)稱為冪函數(shù)． 二、建立模型 定義：一般地，函數(shù)y＝xa叫作冪函數(shù)，其中x是自變量，a是實(shí)常數(shù)． 教師指出：由于無(wú)理指數(shù)冪的意義我們還沒(méi)學(xué)到，因此目前只討論a是有理數(shù)的情況． 思考討論：在冪函數(shù)y＝xn中，當(dāng)n＝0時(shí)，其表達(dá)式怎樣？定義域、值域、圖像如何？ 教師指出：此時(shí)y＝x0＝1；定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，＋∞），特別強(qiáng)調(diào)，當(dāng)x為任何非零實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)的值均為1，圖像是從點(diǎn)（0，1）出發(fā)，平行于x軸的兩條射線，但點(diǎn)（0，1）要除外． 三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例題一］ 1. 求下列函數(shù)的定義域． 解：（1）R．?。?）R．?。?）｛x｜x≥0｝．?。?）｛x｜x∈R且x≠0

6、）．（5）｛x｜x＞0｝． 2. 求下列函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性． 解：（1）｛x｜x∈R且x≠0）｝，偶函數(shù)．（2）R，非奇非偶函數(shù)．（3）R，奇函數(shù)．（4）｛x｜x＞0｝，非奇非偶函數(shù)． ［問(wèn)題探究］ 1. 對(duì)于冪函數(shù)y＝xa，討論當(dāng)a＝1，2，3，，－1時(shí)的函數(shù)性質(zhì)． 表13-1 以上問(wèn)題給學(xué)生留出充分時(shí)間去探究，教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)解析式出發(fā)來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)． 2. 在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的圖像，并歸納出它們具有的共同性質(zhì)． 教師講評(píng)：冪函數(shù)的性質(zhì)． （1）所有的冪函數(shù)在（0，＋∞）上都有定義，并且圖像都過(guò)點(diǎn)（1，

7、1）． （2）如果a＞0，則冪函數(shù)的圖像通過(guò)原點(diǎn)，并在區(qū)間［0，＋∞）上是增函數(shù)． （3）如果a＜0，則冪函數(shù)在（0，＋∞）上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖像在y軸右方無(wú)限地趨近y軸；當(dāng)ｘ趨向于＋∞時(shí)，圖像在x軸上方無(wú)限地趨近ｘ軸． 思考討論：（1）在冪函數(shù)y＝xa中，當(dāng)a是正偶數(shù)時(shí)，這一類函數(shù)有哪種重要性質(zhì)？ （2）在冪函數(shù)y＝xa中，當(dāng)a是正奇數(shù)時(shí)，這一類函數(shù)有哪種重要性質(zhì)？ 教師講評(píng)：（1）在冪函數(shù)y＝xa中，當(dāng)a是正偶數(shù)時(shí)，函數(shù)都是偶函數(shù)，在第一象限內(nèi)是增函數(shù)． （2）在冪函數(shù)y＝xa中，當(dāng)a是正奇數(shù)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，在第一象限內(nèi)是增函數(shù)． ［例題二］

8、 比較下列各題中兩個(gè)值的大?。? 解：（1）∵冪函數(shù)y＝x1.5是增函數(shù)，又0.7＞0.6，∴0.71.5＞0.61.5． （2）∵冪函數(shù)y＝是減函數(shù)，又2.2＞1.8，∴ 注意：由于學(xué)生對(duì)冪函數(shù)還不是很熟悉，所以在講評(píng)中要刻意體現(xiàn)出冪函數(shù)y＝x1.5與y＝的圖像的畫(huà)法，即再一次讓學(xué)生體會(huì)根據(jù)解析式來(lái)畫(huà)圖像解題這一基本思路． ［練　習(xí)］ 比較下列各題中兩個(gè)值的大?。? 四、拓展延伸 1. 如果把函數(shù)圖像向上凸的函數(shù)稱為凸函數(shù)，把函數(shù)圖像向下凸的函數(shù)稱為凹函數(shù)，對(duì)于冪函數(shù)y＝xa，x∈［0，＋∞），當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，研究其凸凹性． 2. 研究?jī)缰笖?shù)與冪函數(shù)奇偶性的關(guān)系．

9、 3. 研究?jī)缰笖?shù)與冪函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系． （以上問(wèn)題的探究可以借助計(jì)算機(jī)來(lái)完成） 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例的突出特點(diǎn)是，緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)，遵循直觀式、啟發(fā)式原則而展開(kāi)．在這節(jié)課中，教師放手讓學(xué)生去探索與研究，并在一旁適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)幾個(gè)實(shí)例函數(shù)的公共特點(diǎn)歸納、總結(jié)冪函數(shù)的定義，對(duì)幾個(gè)特殊冪函數(shù)的性質(zhì)先進(jìn)行初步探索，再根據(jù)研究的結(jié)果結(jié)合描點(diǎn)作圖畫(huà)出冪函數(shù)的圖像，讓學(xué)生觀察和分析所作的圖像，歸納得出圖像特征，并由圖像特征得到相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，讓學(xué)生充分體會(huì)系統(tǒng)研究函數(shù)的方法．整個(gè)教學(xué)過(guò)程的絕大部分時(shí)間都給了學(xué)生，讓學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)手．通過(guò)對(duì)同類舊知識(shí)的回憶，充分引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合，找出與新知識(shí)的連接點(diǎn)，并在對(duì)照、類比分析中找出規(guī)律．這些均提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自學(xué)能力，培養(yǎng)了他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新思維習(xí)慣．最后“拓展延伸”的設(shè)計(jì)又把學(xué)生的思維推向了更廣闊的空間．