第2講選修45 不等式選講 考情考向·高考導(dǎo)航高考主要考查絕對值不等式的解法，求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式、絕對值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn)真題體驗(yàn)1(2019·全國卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x|x2|(x1)當(dāng)x1時(shí)，f(x)2(x1)20；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集為(，1)(2)因?yàn)閒(a)0，所以a1.當(dāng)a1，x(，1)時(shí)，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以，a的取值范圍是1，)2(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2x|x1|x1|40.當(dāng)x1時(shí)，式化為x23x40，無解；當(dāng)1x1時(shí)，式化為x2x20，從而1x1；當(dāng)x1時(shí)，式化為x2x40，從而1x.所以f(x)g(x)的解集為.(2)當(dāng)x1,1時(shí)，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等價(jià)于當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍是1,1主干整合1絕對值不等式的性質(zhì)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0，等號成立2|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc.(2)|axb|caxbc或axbc.3|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用絕對值不等式的幾何意義直觀求解(2)利用零點(diǎn)分段法求解(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解4基本不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立定理2：如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均數(shù)不等式)如果a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)(nN*，n1)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號成立熱點(diǎn)一絕對值不等式的解法例1已知f(x)|x4|x1|3.(1)求不等式f(x)2的解集(2)若直線ykx2與函數(shù)f(x)的圖象有公共點(diǎn)，求k的取值范圍審題指導(dǎo)(1)看到f(x)|x4|x1|3，聯(lián)想到分x1、1x4、x4三種情況去絕對值號(2)看到y(tǒng)kx2聯(lián)想到此直線恒過定點(diǎn)(0，2)解析(1)由f(x)2，得或或解得0x5，故不等式f(x)2的解集為0,5(2)f(x)|x4|x1|3作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，直線ykx2過定點(diǎn)C(0，2)，當(dāng)此直線經(jīng)過點(diǎn)B(4,0)時(shí)，k；當(dāng)此直線與直線AD平行時(shí)，k2，故由圖可知，k(，2).(1)用零點(diǎn)分段法解絕對值不等式的步驟：求零點(diǎn)；劃區(qū)間、去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值(2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合法可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法(2019·聊城三模)已知函數(shù)f(x)|x2|x5|.(1)證明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集解析：(1)證明：f(x)|x2|x5|當(dāng)2x5時(shí)，32x73.所以3f(3)3.(2)由(1)可知，當(dāng)x2時(shí)，f(x)x28x15的解集為空集；當(dāng)2x5時(shí)，f(x)x28x15的解集為x|5x5；當(dāng)x5時(shí)，f(x)x28x15的解集為x|5x6綜上，不等式f(x)x28x15的解集為x|5x6熱點(diǎn)二不等式的證明邏輯推理素養(yǎng)邏輯推理不等式證明中心的核心素養(yǎng)通過不等式的證明掌握邏輯推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，對式子進(jìn)行等價(jià)變形，進(jìn)而通過證明不等式，體驗(yàn)邏輯推理的核心素養(yǎng).例2(2019·全國卷)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc1.證明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.審題指導(dǎo)(1)利用重要不等式a2b22ab構(gòu)造三個(gè)不等式相加，再結(jié)合abc1進(jìn)行證明(2)利用平均值不等式進(jìn)行證明解析(1)證明：因?yàn)閍2b22ab，b2c22ab，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，等號成立所以a2b2c2.(2)證明：因?yàn)閍，b，c為正數(shù)且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3×(2)×(2)×(2)24.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，等號成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.(2019·蘇州二模)已知f(x)|2x1|x的最小值為m.(1)求m的值；(2)已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abcm，求證：2(a3b3c3)abbcca3abc.解析：(1)當(dāng)x時(shí)，f(x)3x在上單調(diào)遞增，且f(x)1；當(dāng)x時(shí)，f(x)x在上單調(diào)遞減，且f(x)1.綜上可得x時(shí)，f(x)取得最小值1，即m1.(2)證明：a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc1，由a3b3a2bb2aa2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)(ab)20，則有a3b3a2bb2a0，即a3b3a2bb2aab(ab)ab(1c)ababc，所以a3b3ababc，同理可得b3c3bcabc；c3a3caabc，上面三式相加得，2(a3b3c3)abbcca3abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取得等號不等式證明的常用方法不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、反證法等如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的，則考慮用反證法在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明熱點(diǎn)三絕對值不等式恒成立(存在)問題例3(2019·日照三模)已知函數(shù)f(x)|x12a|xa2|，aR，g(x)x22x4.(1)若f(2a21)4|a1|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若存在實(shí)數(shù)x，y，使f(x)g(y)0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)f(2a21)4|a1|，|2a22a|a21|4|a1|，|a1|(2|a|a1|4)0，|2a|a1|4且a1.若a1，則2aa14，a；若1a0，則2aa14，a3，此時(shí)無解；若a0且a1，則2aa14，a1.綜上所述，a的取值范圍為(1，)(2)g(x)(x1)252 51，顯然可取等號，g(x)min1.于是，若存在實(shí)數(shù)x，y，使f(x)g(y)0，只需f(x)min1.又f(x)|x12a|xa2|(x12a)(xa2)|(a1)2，(a1)21，1a11，0a2，即a0,21求含絕對值號函數(shù)的最值的兩種方法(1)利用|a|b|a±b|a|b|求解(2)將函數(shù)化為分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解2恒成立(存在)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化f(x)Mf(x)M任意x恒成立f(x)minMf(x)maxM存在x成立f(x)maxMf(x)minM(2018·全國卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集為x|x(2)當(dāng)x(0,1)時(shí)|x1|ax1|x成立等價(jià)于當(dāng)x(0,1)時(shí)|ax1|1成立若a0，則當(dāng)x(0,1)時(shí)|ax1|1；若a0，|ax1|1的解集為0x，所以1，故0a2.綜上，a的取值范圍為(0,2限時(shí)45分鐘滿分50分解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分)1(2018·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)當(dāng)x0，)時(shí)，f(x)axb，求ab的最小值解：(1)當(dāng)x時(shí)，f(x)2x1x13x，當(dāng)<x<1時(shí)，f(x)2x1x1x2.當(dāng)x1時(shí)，f(x)2x1x13x，由此可畫出函數(shù)f(x)的圖象(2)由圖象可得，b2，a3，所以ab的最小值為5.2(2020·湖南省五市十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)|x2|xa|，其中aR.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)6的解集；(2)若存在x0R，使得f(x0)2 020a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x2|x1|所以f(x)6或或解得x或x，因此不等式f(x)6的解集為.(2)f(x)|x2|xa|(x2)(xa)|a2|，故f(x)min|a2|.由題意知，解得a，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3(2020·唐山摸底考試)已知f(x)|x1|2x1|.(1)求不等式f(x)0的解集；(2)若xR時(shí)，不等式f(x)ax恒成立，求a的取值范圍解析：(1)由題意得|x1|2x1|，所以|x1|2|2x1|2，整理可得x22x0，解得0x2，故原不等式的解集為x|0x2(2)由已知可得，af(x)x恒成立，設(shè)g(x)f(x)x，則g(x)由g(x)的單調(diào)性可知，x時(shí)，g(x)取得最大值1，所以a的取值范圍是1，)4(2019·全國卷)設(shè)x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，證明：a3或a1.解析：兩個(gè)問都是考查柯西不等式，屬于柯西不等式的常見題型(1)(x1)2(y1)2(z1)2(121212)(x1)(y1)(z1)2(xyz1)24故(x1)2(y1)2(z1)2等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x1y1z1而又因xyz1，解得時(shí)等號成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為.(2)因?yàn)?x2)2(y1)2(za)2，所以(x2)2(y1)2(za)2(121212)1.根據(jù)柯西不等式等號成立條件，當(dāng)x2y1za，即時(shí)有(x2)2(y1)2(za)2(121212)(x2y1za)2(a2)2成立所以(a2)21成立，所以有a3或a1.5(2020·遼寧重點(diǎn)協(xié)作校模擬)已知函數(shù)f(x)|xb2|x1|，g(x)|xa2c2|x2b2|，其中a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且abbcac1.(1)當(dāng)b1時(shí)，求不等式f(x)1的解集；(2)當(dāng)xR時(shí)，求證f(x)g(x)解析：(1)由題意，當(dāng)b1時(shí)，f(x)|xb2|x1|當(dāng)x1時(shí)，f(x)21，不等式f(x)1無解，不等式f(x)1的解集為；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)2x，由不等式f(x)1，解得x，所以x1；當(dāng)x1時(shí)，f(x)21恒成立，所以不等式f(x)1的解集為.(2)證明：當(dāng)xR時(shí)，f(x)|xb2|x1|xb2(x1)|b21|b21；g(x)|xa2c2|x2b2|xa2c2(x2b2)|a2c22b2|a2c22b2.而a2c22b2(b21)a2c2b21(a2c2b2a2c2b2)1abbcac10，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號成立，即a2c22b2b21，即f(x)g(x)- 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