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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 空間直角坐標(biāo)系教案 理 教材分析 這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的二維的平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上的推廣，是以后學(xué)習(xí)“空間向量”等內(nèi)容的基礎(chǔ)．通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，可以將空間內(nèi)任一點(diǎn)用有序數(shù)組來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，任一有序數(shù)組就對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，這樣空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)就有了坐標(biāo)表示．在空間中引入坐標(biāo)的目的和物理學(xué)中引入單位制一樣，是提供一個(gè)度量幾何對(duì)象的方法．因此，研究空間圖形就可以代數(shù)化，實(shí)現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來(lái)．這節(jié)課學(xué)完后，如把幾何體放入空間直角坐標(biāo)系中來(lái)研究，幾何體上的點(diǎn)就有了坐標(biāo)表示，一些題目如兩點(diǎn)間距離、異面直線成的角、二面角的平面角等就可借助于空間向量

2、來(lái)解答，所以，這節(jié)課對(duì)于溝通高中各部分知識(shí)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，起到了很重要的作用． 教學(xué)目標(biāo) 1. 讓學(xué)生經(jīng)歷用類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想方法探索空間直角坐標(biāo)系的建立方法，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)概念、方法產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，學(xué)會(huì)科學(xué)的思維方法． 2. 理解空間直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，掌握由空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)確定其坐標(biāo)或由坐標(biāo)確定其在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系． 3. 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與確定性思維能力． 任務(wù)分析 點(diǎn)在三維空間內(nèi)位置的確定是一個(gè)比較抽象的過(guò)程，學(xué)生在這個(gè)方面還沒(méi)有形成清晰的認(rèn)識(shí)，教學(xué)時(shí)應(yīng)充分類(lèi)比以往點(diǎn)在直線、點(diǎn)在平面內(nèi)位置的確定方式．通過(guò)

3、實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探索欲望，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生順理成章地得出通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定點(diǎn)在空間內(nèi)的位置．要特別強(qiáng)調(diào)點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，來(lái)強(qiáng)化對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)的理解．圍繞在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定這一教學(xué)重點(diǎn)，通過(guò)鞏固與練習(xí)反復(fù)強(qiáng)化如何在坐標(biāo)系中利用點(diǎn)的坐標(biāo)的概念來(lái)確定點(diǎn)的坐標(biāo)這一過(guò)程，以鞏固學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)題情景 1. 確定一個(gè)點(diǎn)在一條直線上的位置的方法． 2. 確定一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)的位置的方法． 例：如圖26-1，要在一塊長(zhǎng)10cm、寬5cm的鐵板上鉆一個(gè)孔．若孔中心到鐵板左邊為2cm，

4、到下邊為4cm（鐵板擺放位置已定），問(wèn)孔中心的位置是否確定． 3. 如何確定一個(gè)點(diǎn)在三維空間內(nèi)的位置？ 例：如圖26-2，在房間（立體空間）內(nèi)如何確定電燈位置？ 在學(xué)生思考討論的基礎(chǔ)上，教師明確：確定點(diǎn)在直線上，通過(guò)數(shù)軸需要一個(gè)數(shù)；確定點(diǎn)在平面內(nèi)，通過(guò)平面直角坐標(biāo)系需要兩個(gè)數(shù)．那么，要確定點(diǎn)在空間內(nèi)，應(yīng)該需要幾個(gè)數(shù)呢？通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想，容易知道需要三個(gè)數(shù)．要確定電燈的位置，知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個(gè)墻面的距離即可． （此時(shí)學(xué)生只是意識(shí)到需要三個(gè)數(shù)，還不能從坐標(biāo)的角度去思考，因此，教師在這兒要重點(diǎn)引導(dǎo)） 教師明晰：在地面上建立直角坐標(biāo)系xOy，則地面上任一點(diǎn)的位置只須利用x

5、，y就可確定．為了確定不在地面內(nèi)的電燈的位置，須要用第三個(gè)數(shù)表示物體離地面的高度，即需第三個(gè)坐標(biāo)z．因此，只要知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個(gè)墻面的距離即可．例如，若這個(gè)電燈在平面xOy上的射影的兩個(gè)坐標(biāo)分別為4和5，到地面的距離為3，則可以用有序數(shù)組（4，5，3）確定這個(gè)電燈的位置（如圖26-3）． 這樣，仿照初中平面直角坐標(biāo)系，就建立了空間直角坐標(biāo)系O—xyz，從而確定了空間點(diǎn)的位置． 二、建立模型 1. 在前面研究的基礎(chǔ)上，先由學(xué)生對(duì)空間直角坐標(biāo)系予以抽象概括，然后由教師給出準(zhǔn)確的定義． 從空間某一個(gè)定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系O—

6、xyz，點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫作坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為xO平面，yO平面，zOx平面． 教師進(jìn)一步明確： （1）在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向則稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手坐標(biāo)系，課本中建立的坐標(biāo)系都是右手坐標(biāo)系． （2）將空間直角坐標(biāo)系O—xyz畫(huà)在紙上時(shí)，x軸與y軸、x軸與z軸成135°，而y軸垂直于z軸，y軸和z軸的單位長(zhǎng)度相等，但x軸上的單位長(zhǎng)度等于y軸和z軸上的單位長(zhǎng)度的，這樣，三條軸上的單位長(zhǎng)度直觀上大致相等． 2. 空間直角坐標(biāo)系O—xyz中點(diǎn)的坐標(biāo)． 思考：在空間直角坐標(biāo)

7、系中，空間任意一點(diǎn)Ａ與有序數(shù)組（x，y，z）有什么樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 在學(xué)生充分討論思考之后，教師明確： （1）過(guò)點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸，y軸，z軸，它們與x軸、y軸、z軸分別交于點(diǎn)P，Q，R，點(diǎn)P，Q，R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z，這樣，對(duì)空間任意點(diǎn)A，就定義了一個(gè)有序數(shù)組（x，y，z）． （2）反之，對(duì)任意一個(gè)有序數(shù)組（x，y，z），按照剛才作圖的相反順序，在坐標(biāo)軸上分別作出點(diǎn)P，Q，R，使它們?cè)趚軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別是x，y，z，再分別過(guò)這些點(diǎn)作垂直于各自所在的坐標(biāo)軸的平面，這三個(gè)平面的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)A． 這樣，在空間直角坐標(biāo)系中，空間任意一點(diǎn)A與有序數(shù)組（

8、x，y，z）之間就建立了一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：A（x，y，z）． 教師進(jìn)一步指出：空間直角坐標(biāo)系O—xyz中任意點(diǎn)A的坐標(biāo)的概念 對(duì)于空間任意點(diǎn)A，作點(diǎn)A在三條坐標(biāo)軸上的射影，即經(jīng)過(guò)點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸、z軸分別交于點(diǎn)P，Q，R，點(diǎn)P，Q，R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z，我們把有序數(shù)組（x，y，z）叫作點(diǎn)A的坐標(biāo)，記為A（x，y，z）．（如圖26-4） 三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例　題］ 1. 在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中，作出點(diǎn)P（5，4，6）． 注意：在分析中緊扣坐標(biāo)定義，強(qiáng)調(diào)三個(gè)步驟，第一步從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向移動(dòng)5個(gè)單位，第二步沿與ｙ軸平行的

9、方向向右移動(dòng)4個(gè)單位，第三步沿與z軸平行的方向向上移動(dòng)6個(gè)單位（如圖26-5）． 2. （1）在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz上點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？ （2）在空間直角坐標(biāo)系中，x軸、y軸、z軸上點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？ 解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)分別形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）． （2）x軸、y軸、z軸上點(diǎn)的坐標(biāo)分別形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）． 3. 已知長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′的邊長(zhǎng)AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AA′分別為x軸、

10、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求這個(gè)長(zhǎng)方體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 注意：此題可以由學(xué)生口答，教師點(diǎn)評(píng)． 解：A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0），A′（0，0，5），C（12，8，0），B′（12，0，5），D′（0，8，5），C′（12，8，5）． 討論：若以C點(diǎn)為原點(diǎn)，以射線CB，CD，CC′方向分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，那么各頂點(diǎn)的坐標(biāo)又是怎樣的呢？ 得出結(jié)論：建立不同的坐標(biāo)系，所得的同一點(diǎn)的坐標(biāo)也不同． ［練　習(xí)］ 1. 在空間直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出下列各點(diǎn)：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2

11、）． 2. 已知：長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′的邊長(zhǎng)AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，BC，BB′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求這個(gè)長(zhǎng)方體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 3. 寫(xiě)出坐標(biāo)平面yOz上∠yOz平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件． 四、拓展延伸 1. 分別寫(xiě)出點(diǎn)（1，1，1）關(guān)于各坐標(biāo)軸和各個(gè)坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)． 2. 設(shè)ｚ為任意實(shí)數(shù)，相應(yīng)的所有點(diǎn)P（1，2，z）的集合是什么圖形？ 3. 試將平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間距離公式類(lèi)比到空間直角坐標(biāo)系中去． 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例主要采用啟發(fā)式教學(xué)方法，通過(guò)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲

12、望，使學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)．首先，為了使學(xué)生比較順利地實(shí)現(xiàn)從線到平面、再?gòu)钠矫娴娇臻g的變化，即從一維到二維、再?gòu)亩S到三維向量的變化，采用了類(lèi)比的數(shù)學(xué)教學(xué)手段，順利地引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)了這一變化，同時(shí)引起了學(xué)生的興趣． 在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，內(nèi)容由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，不僅使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中了解了知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，也使學(xué)生嘗到了成功的喜悅．這對(duì)增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，起到了很好的作用．在研究過(guò)程中，充分運(yùn)用了類(lèi)比、交換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的思想品質(zhì)．在求空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，學(xué)生不僅會(huì)很自然地運(yùn)用類(lèi)比的思想方法，也鍛煉了他們的空間思維能力． 就整體而言，空間直角坐標(biāo)系是空間向量的根基，這種課屬于典型的起始課教學(xué)．這篇案例在體現(xiàn)坐標(biāo)思想、概念教學(xué)等方面做了成功的探究．