高二數(shù)學(xué) 必修五 NO 使用時(shí)間： 班級(jí)： 組別： 2022年高中數(shù)學(xué) 不等式的均值定理學(xué)案 新人教B版必修5高二學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握均值定理的內(nèi)容，特別是等號(hào)成立的條件；2理解均值定理的內(nèi)容及幾何意義，會(huì)用均值定理去解實(shí)際簡(jiǎn)單的最值問題。自主學(xué)習(xí)1不等式的對(duì)稱性用字母可以表示為 2不等式的傳遞性用字母可以表示為_3不等式的加減法則是指不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或整式）不等號(hào)方向不變，用字母可以表示為 ；由此性質(zhì)和傳遞性可以得到兩個(gè)同向不等式可以相加，用字母可以表示為 4不等式的乘法法則是指不等式兩邊都乘以同一個(gè)不為零的正數(shù)，不等號(hào)方向不變用字母可以表示為 ；同時(shí)乘以同一個(gè)不為零的負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，用字母可以表示為 ；由此性質(zhì)和傳遞性可以得到兩個(gè)同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示為 。5乘方、開方法則要注意性質(zhì)僅針對(duì)于正數(shù)而言，若底數(shù)（或被開方數(shù)）為負(fù)數(shù)時(shí)，需先變形。如：a<b<0,則a2 b2，a3 b3， 6倒數(shù)法則是對(duì)同號(hào)的兩個(gè)數(shù)而言的，即只要兩個(gè)數(shù)同號(hào)，那么大數(shù)的倒數(shù)就一定小，用字母可以表示為 ；若兩個(gè)數(shù)異號(hào)，由于正數(shù)大于所有負(fù)數(shù)，所以倒數(shù)的大小自然易判斷，如3<5,那么倒數(shù)大小關(guān)系為 。合作探究均值定理 如果那么。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。證明：算術(shù)平均數(shù)：幾何平均數(shù)：均值定理可以表述為：【思考與討論】均值不等式與不等式的關(guān)系如何？請(qǐng)對(duì)此進(jìn)行討論。下面我們給出均值不等式的一個(gè)幾何直觀解釋，以加深同學(xué)們對(duì)均值不等式的理解。我們可以令正實(shí)數(shù)為兩條線段的長(zhǎng)，用幾何作圖的方法，作出長(zhǎng)度為和的兩條線段，然后比較這兩條線段的長(zhǎng)。具體作圖如下：作線段，使以AB為直徑作半圓O;過D點(diǎn)作CDAB于D，交半圓于點(diǎn)C；連接AC,BC,OC,則。例1已知求證：，并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件。例2（1）一個(gè)矩形的面積為100。問這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？（2）已知矩形的周長(zhǎng)為36。問這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，它的面積最大？最大面積是多少？由例2的求解過程，可以總結(jié)出以下規(guī)律：例3求函數(shù)的最大值，以及此時(shí)的值。鞏固檢測(cè)1、若a、b為正數(shù)且a+b=4，則ab的最大值是_2、已知x>1.5，則函數(shù)y2x+的最小值是_高二數(shù)學(xué) 必修五 NO 使用時(shí)間： 班級(jí)： 組別： 課題：均值不等式二學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握均值定理的內(nèi)容，特別是等號(hào)成立的條件；2進(jìn)一步理解均值定理的內(nèi)容及幾何意義，靈活運(yùn)用均值定理去解決實(shí)際簡(jiǎn)單的最值問題。自主學(xué)習(xí)正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)為 ；幾何平均數(shù)為 均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 如何給出幾何解釋？在均值不等式中a、b既可以表示數(shù)，又可以表示代數(shù)式，但都必須保證 ；另外等號(hào)成立的條件是 試根據(jù)均值不等式寫出下列變形形式，并注明所需條件）（1）a2+b2 ( ) （2） （ ）（3） （ ） （4）x (x>0)（5）x (x<0) （6）ab （ ）在用均值不等式求最大值和最小值時(shí)，必須注意a+b或ab是否為 值，并且還需要注意等號(hào)是否成立6函數(shù)f(x)=x(2x)的最大值是 ；此時(shí)x的值為_； 函數(shù)f(x)=2x(2x)的最大值是 ；此時(shí)x的值為_；函數(shù)f(x)=x(22x)的最大值是 ；此時(shí)x的值為_；函數(shù)f(x)=x(2x)的最小值是 ；此時(shí)x的值為_。合作探究例已知a、b、c（0，），且a+b+c=1，求證 +9例（1）已知x<，求函數(shù)y=4x2+的最大值 （2）已知x>0，y>0，且1，求xy的最小值。 （3）已知a、b為常數(shù)，求函數(shù)y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。鞏固檢測(cè)一 選擇題：下列命題正確的是（）a2+1>2a x+2 2 sinx+最小值以下各命題(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1則（a+）(b+)的最小值是4，其中正確的個(gè)數(shù)是（）0123設(shè)a>0,b>0則不成立的不等式為（）2 a2+b22abab 2+ 設(shè)a、bR，若a+b=2，則的最小值等于（）12 34 已知ab>0，下列不等式錯(cuò)誤的是（）a2+b22ab 1；2；算術(shù)平均數(shù)；幾何平均數(shù)；圓中的相交弦定理的推論（略）。3a，bR；a=b42ab（a,bR）( a，bR)2（a、b同號(hào)）或2（a、b異號(hào)）22（）2（a,bR）；5定。61，1；2，1；，；1，1。 【典例解析】例1解析：原式（ +）（a+b+c）3（）（）（）32229當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào)。例解析：（1）x< 4x-5<0 y=4x2+=(4x-5)+3231當(dāng)且僅當(dāng)4x-5時(shí)即4x-51，x1時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)x1時(shí)，取最大值是1（2）解法一、原式（xy）（）+1061016當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又1x=4,y=12時(shí)，取得最小值16。解法二、由1得（x-1）(y-9)=9為定值，又依題意可知x>1，y>9當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9=3時(shí)即x=4，y=12時(shí)，取最小值16。（3）解法一、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題（略）解法二、（y=(x-a)2+(x-b)2y=(x-a)2+(b-x)222，當(dāng)且僅當(dāng)x-a=b-x即x=時(shí)，等號(hào)成立。當(dāng)x=時(shí)取得最小值。一元二次不等式及其解法例1解不等式：（1） （2）。例2解不等式。例3解不等式。例4解不等式。例5求函數(shù)的定義域。