2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第四節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用練習(xí)一、選擇題(6×5分30分)1(xx·天津高考)設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為()A8B4C1 D.解析：由題意知3a·3b3，即3ab3，所以ab1.因?yàn)閍>0，b>0，所以(ab)222 4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立答案：B2(xx·開(kāi)封模擬)已知x>0，y>0，lg2xlg8ylg2，則的最小值是()A2 B2C4 D2解析：因?yàn)閤>0，y>0，且lg2xlg8ylg2，所以x3y1，于是有(x3y)()2()4.答案：C3函數(shù)f(x)的最大值為()A. B.C. D1解析：顯然x0.x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x>0時(shí)，x12，f(x)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，取等號(hào)，f(x)max.答案：B4(xx·重慶高考)已知a>0，b>0，則2的最小值是()A2 B2C4 D5解析：2224.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即ab1，不等式取最小值4.答案：C5已知不等式(xy)()9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A8 B6C4 D2解析：(xy)()1a·aa12 a21，當(dāng)且僅當(dāng)a·等號(hào)成立，所以()2219，即()2280，得2或4(舍)，所以a4，即a的最小值為4.答案：C6(xx·長(zhǎng)春質(zhì)檢)某學(xué)生用一不準(zhǔn)確的天平(兩臂不等長(zhǎng))稱10 g藥品，他先將5 g的砝碼放在左盤，將藥品放在右盤使之平衡；然后又將5 g的砝碼放在右盤，將藥品放在左盤使之平衡，則此學(xué)生實(shí)際所得藥品()A小于10 g B大于10 gC大于等于10 g D小于等于10 g解析：設(shè)左、右臂長(zhǎng)分別為t1、t2，第一次稱的藥品為x1，第二次稱的藥品為x2，則有5t1x1t2，x2t15t2，所以x1x25()>5×210，即大于10 g.答案：B二、填空題(3×5分15分)7(xx·濟(jì)寧模擬)函數(shù)y(x>1)的圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)是_解析：y(x1)2，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，取等號(hào)答案：(0,2)8函數(shù)yax1(a>0，且a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)ymxn的圖象上，其中m，n>0，則的最小值為_(kāi)解析：由題知A(1,1)，mn1，m，n>0.24.答案：49(xx·忻州模擬)設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x2y3z0，則的最小值是_解析：由x2y3z0得y，代入得3，當(dāng)且僅當(dāng)x3z時(shí)取“”答案：3三、解答題(共37分)10(12分)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度v(千米/小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為y(v>0)(1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/小時(shí))；(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解析：(1)依題意，y，當(dāng)且僅當(dāng)v，即v40時(shí)，上式等號(hào)成立所以ymax11.1(千輛/小時(shí))所以當(dāng)v40千米/小時(shí)時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/小時(shí)(2)由條件得>10，整理得v289v1 600<0，即(v25)(v64)<0，解得25<v<64.所以如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/小時(shí)且小于64千米/小時(shí)11(理)(12分)(xx·福州質(zhì)檢)(1)已知a，b是正常數(shù)，ab，x，y(0，)，求證：，并指出等號(hào)成立的條件(2)求函數(shù)f(x)，x(0，)的最小值，指出取最小值時(shí)x的值(1)證明：a，b，x，y都是正數(shù)，()(xy)a2b2a2b22ab(ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)，即bxay時(shí)取“”，當(dāng)且僅當(dāng)bxay時(shí)等號(hào)成立(2)0<x<，0<12x<1.由(1)，知f(x)25，當(dāng)且僅當(dāng)3·2x2·(12x)，即x(0，)時(shí)取“”x時(shí)，f(x)的最小值為25.(文)(12分)(1)設(shè)x>1，求函數(shù)y的最小值(2)求yx(a2x)(0<x<，且a為常數(shù))的最大值解析：(1)x>1，y(x1)52 59.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)取等號(hào)函數(shù)的最小值為9.(2)0<x<，a2x>0，yx(a2x)·2x(a2x)·()2.當(dāng)且僅當(dāng)2xa2x，即x時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)的最大值為.12(13分)(xx·南通模擬)某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長(zhǎng)方形公園ABCD，公園由長(zhǎng)方形的休閑區(qū)A1B1C1D1和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000平方米，人行道的寬分別為4米和10米(如圖)(1)若設(shè)休閑區(qū)的長(zhǎng)和寬的比x，求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式；(2)要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)和寬該如何設(shè)計(jì)？解析：(1)設(shè)休閑區(qū)的寬B1C1為a米，則其長(zhǎng)A1B1為ax米，a2x4 000a，S(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)·16080(2)4 160(x>1)(2)S1 6004 1605 760(當(dāng)且僅當(dāng)2x2.5)，即當(dāng)x2.5時(shí)，公園所占面積最小此時(shí)a40，ax100，即休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)為100米，寬為40米