2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六第四講 思想方法與規(guī)范解答教案 理思想方法1轉(zhuǎn)化與化歸思想利用轉(zhuǎn)化與化歸思想求空間幾何體的體積主要包括割補(bǔ)法和等體積法，主要適用于以下類型：(1)不規(guī)則幾何體的體積的求解；(2)較復(fù)雜幾何體的體積的求解例1(xx年高考遼寧卷)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.B3 C. D6解析將三視圖還原為實(shí)物圖求體積由三視圖可知，此幾何體(如圖所示)是底面半徑為1，高為4的圓柱被從母線的中點(diǎn)處截去了圓柱的，所以V××12×43.答案B跟蹤訓(xùn)練(xx年高考遼寧卷)如圖，直三棱柱ABC­ABC，BAC90°，ABAC，AA1，點(diǎn)M，N分別為AB和BC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面AACC；(2)求三棱錐A­MNC的體積(錐體體積公式VSh，其中S為底面面積，h為高)解析：(1)證明：證法一連接AB，AC，如圖，由已知BAC90°，ABAC，三棱柱ABC­ABC為直三棱柱，所以M為AB的中點(diǎn)又因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，所以MN平面AACC.證法二取AB的中點(diǎn)P，連接MP，NP，AB，如圖，因?yàn)镸，N分別為AB與BC的中點(diǎn)，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，所以平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，所以MN平面AACC.(2)解法一連接BN，如圖所示，由題意知ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VA­MNCVNAMCVN­ABCVA­NBC.解法二VA­MNCVA­NBCVM­NBCVA­NBC.2函數(shù)與方程思想(1)在空間幾何體的表面積和體積計(jì)算中，常根據(jù)條件分析列出方程，利用方程確定未知量(2)在用空間向量的運(yùn)算解決空間線線、線面、面面的平行、垂直問(wèn)題或求空間角時(shí)運(yùn)用的主要思想就是通過(guò)列方程(組)求出未知量，得到直線的方向向量和平面的法向量，然后進(jìn)行計(jì)算(3)涉及空間幾何體中的最值問(wèn)題常用到函數(shù)思想例2(xx年深圳模擬)如圖，直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，CD2AB4，AD，E為CD的中點(diǎn)，將BCE沿BE折起，使得CODE，其中垂足O在線段DE上(1)求證：CO平面ABED；(2)問(wèn)CEO(記為)多大時(shí)，三棱錐CAOE的體積最大，最大值為多少解析(1)在直角梯形ABCD中，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，則ABDE，又ABDE，ADAB，可知BECD.在四棱錐C­ABEO中，BEDE，BECE，CEDEE，CE，DE平面CDE，則BE平面CDE.因?yàn)镃O平面CDE，所以BECO.又CODE，且BE，DE是平面ABED內(nèi)的兩條相交直線故CO平面ABED.(2)由(1)知CO平面ABED，所以三棱錐C­AOE的體積VSAOE×OC××OE×AD×OC.在直角梯形ABCD中，CD2AB4，AD，CE2，得OECEcos 2cos ，OCCEsin 2sin ，V sin 2，當(dāng)且僅當(dāng)sin 21，(0，)，即時(shí)取等號(hào)(此時(shí)OE<DE，O落在線段DE上)故當(dāng)時(shí)，三棱錐C­AOE的體積最大，最大值為.跟蹤訓(xùn)練已知正三棱柱ABCABC的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示，設(shè)ABC，ABC的中心分別是O，O，現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO旋轉(zhuǎn)，射線OA旋轉(zhuǎn)所成的角為x弧度(x可以取到任意一個(gè)實(shí)數(shù))，對(duì)應(yīng)的俯視圖的面積為S(x)，則函數(shù)S(x)的最大值為_；最小正周期為_(說(shuō)明：“三棱柱繞直線OO旋轉(zhuǎn)”包括逆時(shí)針方向和順時(shí)針方向，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為正角，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為負(fù)角)解析：由題意可知，當(dāng)三棱柱的一個(gè)側(cè)面在水平面內(nèi)時(shí)，該三棱柱的俯視圖的面積最大，此時(shí)俯視圖為一個(gè)矩形，其寬為×tan 30°×22，長(zhǎng)為4，故S(x)的最大值為8.當(dāng)三棱柱繞OO旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C點(diǎn)，C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到A點(diǎn)時(shí)，所得三角形與原三角形重合，故S(x)的最小正周期為.答案：8考情展望高考對(duì)本專題的考查，各種題型都有，在選擇、填空中多考查空間幾何體的三視圖與面積、體積問(wèn)題，在解答題中考查空間平行與垂直的證明與空間角的求法，也?？疾樘剿鞔嬖谛詥?wèn)題、折疊問(wèn)題等，難度中檔名師押題【押題】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，ACBDO.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使ACa，得到三棱錐ABCD，如圖所示(1)當(dāng)a2時(shí)，求證：AO平面BCD；(2)當(dāng)二面角ABDC的大小為120°時(shí)，求二面角ABCD的正切值【解析】(1)根據(jù)題意 ，在AOC中，ACa2，AOCO，所以AC2AO2CO2，所以AOCO.因?yàn)锳C、BD是正方形ABCD的對(duì)角線，所以AOBD.因?yàn)锽DCOO，CO平面BCD，BD平面BCD，所以AO平面BCD.(2)由(1)知，COOD，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O­xyz，則O(0，0，0)，D(0，0)，C(，0，0)，B(0，0)設(shè)A(x0，0，z0)(x0<0)，則(x0，0，z0)，(0，0)又設(shè)平面ABD的法向量為n(x1，y1，z1)，則，即.所以y10，令x1z0，則z1x0.所以n(z0，0，x0)因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為m(0，0，1)，且二面角A­BD­C的大小為120°，所以|cos m，n|cos 120°|，得z3x.設(shè)平面ABC的法向量為l(x2，y2，z2)，因?yàn)?，)，(，0)，則，即令x21，則y21，z2.所以l(1，1，)設(shè)二面角A­BC­D的平面角為，所以cos |cosl，m|.所以tan .