2022年高中數(shù)學 第1章 解三角形章末過關檢測卷 蘇教版必修5 (本部分在學生用書中單獨成冊) 第1章　解三角形 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(xx·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin∠BAC＝(C) A. B. C. D. 解析：由余弦定理得AC2＝32＋2－2×3×cos ?AC＝. 再由正弦定理＝?sin∠BAC＝. 2．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cos C＝，則最大角的余弦是(C) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：由c2＝72＋82－2×7×8×，得c＝3， ∴B是最大角，cos B＝＝－. 3．(xx·新課標全國卷Ⅱ)鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝(B) A．5 B. C．2 D．1 解析：利用三角形面積公式可求角B，再利用余弦定理求得B的對邊AC. ∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝， ∴sin B＝.∴B＝或. 當B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此時△ABC為鈍角三角形，符合題意； 當B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此時AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝. 4．已知三角形的兩邊之差是2，這兩邊夾角的余弦值為，且這個三角形的面積為14，那么這兩邊的長分別為(D) A．3，5 B．4，6 C．6，8 D．5，7 解析：設三角形的兩邊為a，b，夾角為α，由cos α＝可知，sin α＝，由三角形面積公式，得ab×＝14，得ab＝35，觀察選項知選D. 5．(xx·遼寧卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，又asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則∠B＝(A) A. B. C. D. 解析：由正弦定理得， sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝ sin B，即 sin Acos C＋cos Asin C＝?sin(A＋C)＝， 亦即sin B＝，又a＞b，∴B＝. 6．在△ABC中，三邊長AB＝7，BC＝5，AC＝6，則·的值為(D) A．19 B．－14 C．－18 D．－19 解析：·＝||·||·cos〈，〉＝||·||·cos(π－B)＝－||·||·cos B＝－||·||·＝－＝－19. 7．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，則最短邊的邊長等于(A) A. B. C. D. 解析：由大邊對大角知A＝75°，故邊a最長，邊b最短，由正弦定理＝，得b＝. 8．邊長為5，7，8的三角形的最大角與最小角之和為(B) A．90° B．120° C．135° D．150° 解析：求最大、最小角之和即求中間角大小，由余弦定理知，cos B＝＝，∴B＝60°，即最大角、最小角之和為A＋C＝180°－B＝120°. 9．在△ABC中，A＝60°，且最大邊長和最小邊長是方程x2－7x＋11＝0的兩個根，則第三邊的長為(C) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵A＝60°，∴第三邊即為a，又b＋c＝7，bc＝11， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16. ∴a＝4. 10．在某海域，一貨輪航行到M處，測得燈塔P在貨輪的北偏東15°并與燈塔P相距20 n mile，隨后貨輪按北偏西30°方向航行30分鐘，又測得燈塔P在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為(B) A．20(＋) n mile/h B．20(－) n mile/h C．20(＋) n mile/h D．20(－) n mile/h 解析：如圖 由題意可知，∠M＝15°＋30°＝45°，∠N＝60°＋45°＝105°，故知∠P＝30°，由正弦定理，得 ＝， ∴MN＝＝＝10(－)．故知速度為20(－) n mile/h. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 11．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a＝2，b＝3，cos C＝，則其外接圓半徑為________． 解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝9， ∴c＝3，sin C＝＝. ∴R＝＝. 答案： 12．在△ABC中，A、B、C是三個內(nèi)角，C＝30°，那么sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C的值是________． 解析：sin2 A＋sin2 B－2sin Asin Bcos C＝×(a2＋b2－2abcos C)＝×c2＝sin2 C＝＝. 答案： 13．(xx·山東卷)在△ABC中，已知·＝tan A，當A＝時，△ABC的面積為________． 解析：由向量知識求出||||的值，代入三角形面積公式求解． 已知A＝，由題意得||||cos＝tan，||||＝，所以△ABC的面積 S＝||||sin＝××＝. 答案： 14．(xx·安徽卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＋c＝2a，且3sin A＝5sin B，則角C＝________． 解析：由3sin A＝5sin B?3a＝5b， 又b＋c＝2a?b＝a，c＝a，∴cos C＝＝－.∴C＝. 答案： 三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答題應寫出文字說明、證明過程或推演步驟) 15．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos ＝，·＝3. (1)求△ABC的面積； (2)若c＝1，求a的值． 解析：(1)cos A＝2cos2－1＝2× －1＝， ∴sin A＝，·＝bc×＝3.∴bc＝5. 故面積S＝bcsin A＝×5×＝2. (2)由bc＝5和c＝1得b＝5， ∴a＝ ＝ ＝2. 16．(本小題滿分12分)(xx·山東卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋. (1)求b的值； (2)求△ABC的面積． 解析：(1)在△ABC中，由題意知，sin A＝＝，又因為B＝A＋， 所以sin B＝sin＝cos A＝. 由正弦定理，得b＝＝＝3. (2)由B＝A＋，得 cos B＝cos＝－sin A＝－. 由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)． 所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A·cos B＋cos Asin B＝×＋×＝. 因此△ABC的面積為 S＝absin C＝×3×3×＝. 17．(本小題滿分14分)在△ABC中，m＝，n＝，且m與n的夾角為. (1)求C； (2)已知c＝3，三角形面積S＝，求a＋b. 解析：(1)∵m＝， n＝， ∴m·n＝cos2－sin2 ＝cos C. 又m·n＝|m|·|n|cos＝cos＝， ∴cos C＝，C＝. (2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C，c＝3， ∴9＝a2＋b2－ab.由S＝absin C＝ab＝， 得ab＝，從而(a＋b)2＝9＋3ab＝25， ∴a＋b＝5. 18．(本小題滿分14分)如圖，貨輪在海上以35 n mile/h的速度沿方位角(從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角)為152°的方向航行．為了確定船位，在B點處觀測到燈塔A的方位角為122°.半小時后，貨輪到達C點處，觀測到燈塔A的方位角為32°.求此時貨輪與燈塔之間的距離． 解析：在△ABC中，∠B＝152°－122°＝30°，∠C＝180°－152°＋32°＝60°，∠A＝180°－30°－60°＝90°，BC＝， ∴AC＝sin 30°＝. ∴船與燈塔間的距離為 n mile. 19．(本小題滿分14分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos(A－C)＋cos B＝1，a＝2c，求C. 解析：由A＋B＋C＝π，得cos B＝－cos(A＋C)， 于是cos(A－C)＋cos B＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sin Asin C＝1?sin Asin C＝.① 由a＝2c得sin A＝2sin C．② 由①②得sin C＝，又a＝2c＞c，∴C＝. 20．(本小題滿分14分)在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin A＝. (1)求tan2＋sin2 的值； (2)若a＝2，S△ABC＝，求b的值． 解析：(1)在銳角三角形ABC中，由sin A＝，得cos A＝， ∴tan2＋sin2 ＝＋sin2 ＝＋(1－cos A) ＝＋(1－cos A) ＝＋×＝. (2)因為S△ABC＝， 又S△ABC＝bcsin A＝bc·＝，則bc＝3. 將a＝2，cos A＝，c＝代入a2＝b2＋c2－2bccos A， 得b4－6b2＋9＝0，解得b＝.