2022年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析(II)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的1已知集合M=x|1+x0，N=x|0，則MN=（）Ax|1x1Bx|x1Cx|1x1Dx|x12復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是（）AiB1CiD13如果命題“（pq）”為假命題，則（）Ap、q均為真命題Bp、q均為假命題Cp、q至少有一個(gè)為真命題Dp、q至多有一個(gè)為真命題4一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）Acm3B3cm3Ccm3Dcm35若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=的最大值為（）ABCD26從拋物線y2=4x上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|=5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則MPF的面積為（）A5B10C20D7拋物線y=x2與直線x=0、x=1及該拋物線在x=t（0t1）處的切線所圍成的圖形面積的最小值為（）ABCD8已知函數(shù)f（x）=，則函數(shù)g（x）=f（1x）1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A1B2C3D4二、填空題：本大題共6大題，每小題5分，共30分.9某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測(cè)試結(jié)果分成五組：每一組13，14）；第二組14，15），第五組17，18如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖若成績(jī)大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好，則該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù)是10閱讀下列程序框圖，該程序輸出的結(jié)果是11定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x（0，+）時(shí)，f（x）=log2x，則不等式f（x）1的解集是12已知圓C：x2+y26x+8=0，若直線y=kx與圓C相切，且切點(diǎn)在第四象限，則k=13如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若=+，則+=14已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a，bR，且a+|b|1，則+b的取值范圍是三、解答題：本大題共6小題，共80分解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算過(guò)程15（13分）已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）（）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對(duì)稱中心；（）求函數(shù)f（x）在區(qū)間，上的取值范圍16（13分）在ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且（1）求角C的大??；（2）若且a+b=5求ABC的面積17（13分）如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABC=ADC=90°，BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O點(diǎn)（）求證：平面PBD平面PAC；（）當(dāng)點(diǎn)A在平面PBD內(nèi)的射影G恰好是PBD的重心時(shí)，求二面角BPDC的余弦值18（13分）在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a1=1，數(shù)列bn滿足bn=（）an，b1b2b3=（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）求a1b1+a2b2+anbn219（14分）已知橢圓+=1（ab0）離心率為（1）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A到此兩焦點(diǎn)的距離之和為4，求橢圓的方程；（2）求b為何值時(shí)，過(guò)圓x2+y2=t2上一點(diǎn)M（2，）處的切線交橢圓于Q1、Q2兩點(diǎn)，且OQ1OQ220（14分）已知函數(shù)f（x）=exax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線斜率為1（）求a的值及函數(shù)f（x）的極值（）證明：當(dāng)x0時(shí)，x2ex（）證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x（x0，+），恒有x2cex參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的1已知集合M=x|1+x0，N=x|0，則MN=（）Ax|1x1Bx|x1Cx|1x1Dx|x1【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【分析】分別求出集合M和N，由此能求出MN的值【解答】解：集合M=x|1+x0=x|x1，N=x|0=x|x1，MN=x|1x1故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用2復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是（）AiB1CiD1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案【解答】解： =，復(fù)數(shù)的虛部是1故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題3如果命題“（pq）”為假命題，則（）Ap、q均為真命題Bp、q均為假命題Cp、q至少有一個(gè)為真命題Dp、q至多有一個(gè)為真命題【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假【分析】利用“或”“且”“非”命題的真假判斷方法即可得出【解答】解：命題“（pq）”為假命題，命題“pq”為真命題，命題p、q均為真命題故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“或”“且”“非”命題的真假判斷方法，屬于基礎(chǔ)題4一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）Acm3B3cm3Ccm3Dcm3【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【分析】由三視圖可知，此幾何體為底面半徑為1 cm、高為3 cm的圓柱上部去掉一個(gè)半徑為1 cm的半球，據(jù)此可計(jì)算出體積【解答】解：由三視圖可知，此幾何體為底面半徑為1 cm、高為3 cm的圓柱上部去掉一個(gè)半徑為1 cm的半球，所以其體積為V=r2hr3=3=（cm3）故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及三視圖的數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量5若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=的最大值為（）ABCD2【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用斜率的幾何意義，進(jìn)行求解即可【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，z=的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D（3，1）的斜率，由圖象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），則z=的最大值z(mì)=，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)兩點(diǎn)之間的斜率公式以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵6從拋物線y2=4x上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|=5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則MPF的面積為（）A5B10C20D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】先設(shè)處P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得拋物線的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求得P點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用三角形面積公式求得答案【解答】解：設(shè)P（x0，y0）依題意可知拋物線準(zhǔn)線x=1，x0=51=4|y0|=4，MPF的面積為×5×4=10故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的應(yīng)用解題的關(guān)鍵是靈活利用了拋物線的定義7拋物線y=x2與直線x=0、x=1及該拋物線在x=t（0t1）處的切線所圍成的圖形面積的最小值為（）ABCD【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，然后根據(jù)積分的幾何意義求積分，利用積分函數(shù)即可S的最小值【解答】解：y=f（x）=x2，f'（x）=2x，即切線l在P處的斜率k=f'（t）=2t，切線方程為yt2=2t（xt）=2tx2t2，即yt2=2t（xt）=2tx2t2，y=2txt2，作出對(duì)應(yīng)的圖象，則曲線圍成的面積S=，0t1，當(dāng)t=時(shí)，面積取的最小值為故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查積分的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，然后根據(jù)積分公式即可得到面積的最小值，考查學(xué)生的計(jì)算能力8已知函數(shù)f（x）=，則函數(shù)g（x）=f（1x）1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A1B2C3D4【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷【分析】利用已知條件求出f（1x）的表達(dá)式，利用函數(shù)的圖象，求解兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可【解答】解：函數(shù)f（x）=，f（1x）=，函數(shù)g（x）=f（1x）1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是y=f（1x）與y=1交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖：可知兩個(gè)函數(shù)的圖象由三個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)g（x）=f（1x）1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷與應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力二、填空題：本大題共6大題，每小題5分，共30分.9某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測(cè)試結(jié)果分成五組：每一組13，14）；第二組14，15），第五組17，18如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖若成績(jī)大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好，則該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù)是27【考點(diǎn)】用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布；頻率分布直方圖【分析】根據(jù)頻率分步直方圖做出這組數(shù)據(jù)的成績(jī)?cè)?4，16）內(nèi)的人數(shù)為50×0.16+50×0.38，這是頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系【解答】解：由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)?4，16）內(nèi)的人數(shù)為50×0.16+50×0.38=27（人）該班成績(jī)良好的人數(shù)為27人故答案為：27【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握利用頻率分布直方圖進(jìn)行分析并且運(yùn)用公式進(jìn)行正確運(yùn)算10閱讀下列程序框圖，該程序輸出的結(jié)果是729【考點(diǎn)】程序框圖【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算并輸出S=9×9×9的值【解答】解：分析框圖可得該程序的作用是計(jì)算并輸出S=9×9×9的值S=9×9×9=729故答案為：729【點(diǎn)評(píng)】要判斷程序的運(yùn)行結(jié)果，我們要先根據(jù)已知判斷程序的功能，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題11定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x（0，+）時(shí)，f（x）=log2x，則不等式f（x）1的解集是（，2）（0，）【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；奇函數(shù)【分析】設(shè)x0，則x0，代入解析式后，利用奇函數(shù)的關(guān)系式求出x0時(shí)的解析式，再對(duì)x分兩種情況對(duì)不等式進(jìn)行求解，注意代入對(duì)應(yīng)的解析式，最后要把解集并在一起【解答】解：設(shè)x0，則x0，當(dāng)x（0，+）時(shí)，f（x）=log2x，f（x）=log2（x），f（x）是奇函數(shù)，f（x）=f（x）=log2（x），當(dāng)x（0，+）時(shí)，f（x）1，即log2x1=，解得0x，當(dāng)x（，0）時(shí)，f（x）1，即log2（x）1，則log2（x）1=log22，解得x2，綜上，不等式的解集是（，2）（0，）故答案為：（，2）（0，）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求定區(qū)間上的函數(shù)解析式，一般的做法是“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在那個(gè)區(qū)間上求解析式，x就設(shè)在該區(qū)間內(nèi)，再利用負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用奇函數(shù)的定義f（x），再求出不等式的解集12已知圓C：x2+y26x+8=0，若直線y=kx與圓C相切，且切點(diǎn)在第四象限，則k=【考點(diǎn)】圓的切線方程【分析】求出圓心C的坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)直線與圓相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式列式=1，解得k=，再根據(jù)切點(diǎn)在第四象限加以檢驗(yàn)，可得答案【解答】解：圓C：x2+y26x+8=0的圓心為（3，0），半徑r=1當(dāng)直線y=kx與圓C相切時(shí)，點(diǎn)C（3，0）到直線的距離等于1，即=1，解之得k=切點(diǎn)在第四象限，當(dāng)直線的斜率k=時(shí)，切點(diǎn)在第一象限，不符合題意直線的斜率k=時(shí)，切點(diǎn)在第四象限因此，k=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題給出直線與圓相切，在切點(diǎn)在第四象限的情況下求直線的斜率k，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題13如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若=+，則+=【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義【分析】設(shè)=， =，則=+， =+由于=+=（+）+（+）=+，利用平面向量基本定理，建立方程，求出，即可得出結(jié)論【解答】解：設(shè)=， =，則=+， =+由于=+=（+）+（+）=+，+=1，且+=1，解得 =，+=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用，考查向量的加法運(yùn)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題，14已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a，bR，且a+|b|1，則+b的取值范圍是1，【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【分析】由題意作平面區(qū)域，結(jié)合圖象可知，關(guān)鍵求當(dāng)a+b=1時(shí)和當(dāng)ab=1時(shí)的最值，從而解得【解答】解：由題意作平面區(qū)域如下，結(jié)合圖象可知，當(dāng)a+b=1時(shí)， +b才有可能取到最大值，即+1a+1=，當(dāng)ab=1時(shí)， +b才有可能取到最小值，即+a121=1，（當(dāng)且僅當(dāng)=a，即a=時(shí)，等號(hào)成立），結(jié)合圖象可知，+b的取值范圍是1，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性規(guī)劃的變形應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用三、解答題：本大題共6小題，共80分解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算過(guò)程15（13分）（xx秋南開(kāi)區(qū)期末）已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）（）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對(duì)稱中心；（）求函數(shù)f（x）在區(qū)間，上的取值范圍【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性【分析】（）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x+），利用三角函數(shù)周期公式可求T，令2x+=k，kZ，解得函數(shù)的對(duì)稱中心（）由范圍x，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解函數(shù)的取值范圍【解答】（本題滿分為13分）解：（）f（x）=2cosxsin（x+）=2cosx（sinxcos+cosxsin）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），5分T=，6分令2x+=k，kZ，解得：x=，kZ，即函數(shù)的對(duì)稱中心為：（，0），kZ7分（）x，f（x）在區(qū)間，單調(diào)遞增，在區(qū)間，單調(diào)遞減，f（）=sin=0，f（）=sin=1，f（）=sin=，函數(shù)f（x）在區(qū)間，上的取值范圍為1，13分【點(diǎn)評(píng)】本題值域考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題16（13分）（xx都昌縣校級(jí)模擬）在ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且（1）求角C的大??；（2）若且a+b=5求ABC的面積【考點(diǎn)】余弦定理；兩角和與差的正切函數(shù)【分析】（1）利用兩角和與差的正切函數(shù)，求出tanC的值，即可求出C；（2）先利用c2=a2+b22abcosC，求出ab，然后根據(jù)ABC的面積公式absinC，求出面積【解答】解：（1）（2分）在ABC中，0C（2）c2=a2+b22abcosC7=a2+b2ab=（a+b）23ab=253ab（8分）ab=6（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的正切函數(shù)和三角形的面積公式，注意巧用兩角和與差的正切函數(shù)，求出tanC的值17（13分）（xx濮陽(yáng)一模）如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABC=ADC=90°，BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O點(diǎn)（）求證：平面PBD平面PAC；（）當(dāng)點(diǎn)A在平面PBD內(nèi)的射影G恰好是PBD的重心時(shí)，求二面角BPDC的余弦值【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定【分析】第（1）問(wèn)，要證平面PBD平面PAC，只需證平面PBD經(jīng)過(guò)平面PAC的一條垂線，觀察可看出應(yīng)選直線BD作為平面PAC的垂線，由PA垂直于底面可得PA垂直于BD，再根據(jù)底面ABCD中已知條件借助三角形全等可證AC垂直AC，則第一問(wèn)可證；第（2）問(wèn)，先確定P點(diǎn)位置，利用幾何法不容易分析，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，將之轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)計(jì)算問(wèn)題，通過(guò)解方程求出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用向量法求二面角的大小【解答】解：（）依題意RtABCRtADC，BAC=DAC，ABOADO，ACBD而PA平面ABCD，PABD，又PAAC=A，所以BD面PAC，又BD面PBD，所以平面PAC平面PBD（）過(guò)A作AD的垂線為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則B，D（0，1，0），C，設(shè)P（0，0，），所以G，由AGPB得，=0，解得，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，面PBD的一個(gè)法向量為，設(shè)面PCD的一個(gè)法向量為=，cos=，所以二面角BPDC的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)二面角的平面角不好找或者不好求時(shí)，可以采用向量法，一般是先求出兩個(gè)半平面的法向量，然后將二面角的大小轉(zhuǎn)化為它們法向量之間的夾角，要注意結(jié)合圖形判斷二面角是鈍角或是銳角，從而確定最終的結(jié)果18（13分）（xx秋南開(kāi)區(qū)期末）在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a1=1，數(shù)列bn滿足bn=（）an，b1b2b3=（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）求a1b1+a2b2+anbn2【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)【分析】（I）通過(guò)b1=、b2=、b3=，利用b1b2b3=計(jì)算即得結(jié)論；（）通過(guò)an=n可知anbn=n，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論【解答】（I）解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意，b1=，b2=，b3=，b1b2b3=，=，1+（1+d）+（1+2d）=6，解得：d=1，an=1+（n1）=n；（）證明：an=n，bn=，anbn=n，記Tn=a1b1+a2b2+anbn=1+2+3+n，則Tn=1+2+（n1）+n， 兩式相減得： Tn=+n=n=1n，Tn=2（1n）=2，22，a1b1+a2b2+anbn2【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題19（14分）（xx秋南開(kāi)區(qū)期末）已知橢圓+=1（ab0）離心率為（1）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A到此兩焦點(diǎn)的距離之和為4，求橢圓的方程；（2）求b為何值時(shí)，過(guò)圓x2+y2=t2上一點(diǎn)M（2，）處的切線交橢圓于Q1、Q2兩點(diǎn)，且OQ1OQ2【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）由已知得，由此能求出橢圓的方程（2）過(guò)圓x2+y2=t2上一點(diǎn)M（2，）處切線方程為，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），則，化為5x224x+362b2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出b的值【解答】解：（1）橢圓+=1（ab0）離心率為，橢圓上的一點(diǎn)A到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，解得a=2，b=，橢圓的方程為（2）過(guò)圓x2+y2=t2上一點(diǎn)M（2，）處切線方程為，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），則，化為5x224x+362b2=0，由0，得b，y1y2=2x1x26（x1+x2）+18=，由OQ1OQ2，知x1x2+y1y2=0，解得b2=9，即b=±3，b，b=3【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用20（14分）（xx漳州校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）=exax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線斜率為1（）求a的值及函數(shù)f（x）的極值（）證明：當(dāng)x0時(shí)，x2ex（）證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x（x0，+），恒有x2cex【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【分析】（）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a，再利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化可求得函數(shù)的極值；（）構(gòu)造函數(shù)g（x）=exx2，求出導(dǎo)數(shù)，利用（）問(wèn)結(jié)論可得到函數(shù)的符號(hào)，從而判斷g（x）的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；（）令x0=，利用（）的結(jié)論，即得結(jié)論成立【解答】解：（）由f（x）=exax得f（x）=exa又f（0）=1a=1，a=2，f（x）=ex2x，f（x）=ex2由f（x）=0得x=ln2，當(dāng)xln2時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)xln2時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x=ln2時(shí)，f（x）有極小值為f（ln2）=eln22ln2=2ln4f（x）無(wú)極大值（）令g（x）=exx2，則g（x）=ex2x，由（1）得，g（x）=f（x）f（ln2）=eln22ln2=2ln40，即g（x）0，當(dāng)x0時(shí)，g（x）g（0）0，即x2ex；（ III）對(duì)任意給定的正數(shù)c，取x0=0，由（ II）知，當(dāng)x0時(shí)，exx2，當(dāng)xx0時(shí)， ，因此，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x（x0，+）時(shí)，恒有x2cex【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、綜合性較強(qiáng)，難度較大