2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.6立體幾何中的向量方法（）試題 理 蘇教版一、填空題1已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分別與，垂直，則向量a為_解析由條件知(2，1,3)，(1，3,2)，設(shè)a(x，y，z)則有解可得a±(1,1,1)答案(1,1,1)或(1，1，1)2已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4,1)若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為_解析由已知得c(m4，m2n4，mn1)，故a·c3mn10，b·cm5n90.解得答案1,23已知a，b滿足ab，則等于_解析由，可知.答案4若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，在下列四組向量中能使l的是_(填序號(hào))a(1,0,0)，n(2,0,0)；a(1,3,5)，n(1,0,1)；a(0,2,1)，n(1,0，1)；a(1，1,3)，n(0,3,1)解析若l，則a·n0.而中a·n2，中a·n156，中a·n1，只有選項(xiàng)中a·n330.答案5設(shè)a(1,2,0)，b(1,0,1)，則“c”是“ca，cb且c為單位向量”的_條件解析當(dāng)c時(shí)，ca，cb且c為單位向量，反之則不成立答案充分不必要6若|a|，b(1,2，2)，c(2,3,6)，且ab，ac，則a_.解析設(shè)a(x，y，z)，ab，x2y2z0.ac，2x3y6z0.|a|，x2y2z217.聯(lián)立得x18z，y10z，代入得425z217，z±.a或.答案或7已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為_解析，·0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，則解得答案，48設(shè)點(diǎn)C(2a1，a1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)確定的平面上，則a_.解析(1，3,2)，(6，1,4)根據(jù)共面向量定理，設(shè)xy(x，yR)，則(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，解得x7，y4，a16.答案169我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中利用動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法，可以求出過(guò)點(diǎn)A(2,1)且法向量n(1,2)的直線(點(diǎn)法式)方程為(x2)2(y1)0，化簡(jiǎn)得x2y0，類比以上求法在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，1,3)且法向量為n(1，2,1)的平面(點(diǎn)法式)方程為_(請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)后的結(jié)果)解析設(shè)P(x，y，z)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則n，·n(3x，1y,3z)·(1，2,1)0，即x2yz80.答案x2yz8010. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是_解析正方體棱長(zhǎng)為a，A1MAN，()().又是平面B1BCC1的法向量，··0，.又MN平面B1BCC1，MN平面B1BCC1.答案平行二、解答題11. 如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點(diǎn)求證：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ACBDN，連接NE.則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別為、(0,0,1).又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是(，0)、.且與不共線NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知，D(，0,0)，F(xiàn)(，1)，B(0，0)，(0，1)，(，0,1)，·0，·0，AMDF，AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.12. 如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，設(shè)AD1，D1D(>0)，若棱C1C上存在點(diǎn)P滿足A1P平面PBD，求實(shí)數(shù)的取值范圍解如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)O，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0，)，設(shè)P(0,1，x)，其中x0，則(1,1，x)，(1,0，x)A1P平面PBD，·0，即(1,1，x)·(1,0，x)0，化簡(jiǎn)，得x2x10，x0，故判別式240，且>0，解得2.的取值范圍是2，)13. 在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面A1B1C1D1內(nèi)若D1P平面PCE，試求線段D1P的長(zhǎng)解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)設(shè)P(x，y,2)，則(x，y,0)，(x2，y1,2)，(2,1,0)D1P平面PCE，D1PEP，D1PEC，即，·0，·0，故解得(舍去)或即P，D1P .14如圖(1)，在RtABC中，C90°，BC3，AC6.D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如圖(2)(1)求證：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大??；(3)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由(1)證明ACBC，DEBC，DEAC.DEA1D，DECD，DE平面A1DC，又A1C平面A1DC，DEA1C.又A1CCD，A1C平面BCDE.(2)解如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz則A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)設(shè)平面A1BE的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0.又(3,0，2)，(1,2,0)，令y1，則x2，z，n(2,1，)設(shè)CM與平面A1BE所成的角為.(0,1，)，sin |cosn，|.CM與平面A1BE所成角的大小為.(3)解線段BC上不存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直理由如下：假設(shè)這樣的點(diǎn)P存在，設(shè)其坐標(biāo)為(p,0,0)，其中p0,3設(shè)平面A1DP的法向量為m(x，y，z)，則m·0，m·0.又(0,2，2)，(p，2,0)，令x2，則yp，z，m.平面A1DP平面A1BE，當(dāng)且僅當(dāng)m·n0，即4pp0.解得p2，與p0,3矛盾線段BC上不存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直.