2022年高中數(shù)學(xué) 第1章 1歸納與類比課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2一、選擇題1下面幾種推理是合情推理的是()由圓的周長為Cd類比出球的表面積為Sd2；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；某次考試，張軍的成績是100分，由此推出全班同學(xué)的成績都是100分；三角形的內(nèi)角和是180°，四邊形的內(nèi)角和是360°，五邊形的內(nèi)角和是540°，歸納出n邊形的內(nèi)角和是(n2)·180°.A BC D答案C解析由合情推理的概念知符合題意2根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123 456×97等于()1×9211，12×93111，123×941 111，1 234×9511 111，12 345×96111 111，A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113答案B解析利用歸納推理，由已知可推測等號右側(cè)應(yīng)有7個(gè)1.3三角形的面積為S(abc)r，a，b，c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為()AVabcBVShCV(S1S2S3S4)r(S1、S2、S3、S4為四個(gè)面的面積，r為內(nèi)切球的半徑)DV(abbcac)h(h為四面體的高)答案C解析設(shè)ABC的內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC，將ABC分割為三個(gè)小三角形，這三個(gè)小三角形的高都是r，底邊長分別為a、b、c；類比：設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的球心為O，連接OA、OB、OC、OD，將四面體分割為四個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)，以原來面為底面的四面體，高都是r，所以有V(S1S2S3S4)r.4已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S，可推知扇形面積公式S扇等于()ABCD不可類比答案C解析由扇形的弧長與半徑分別類比三角形的底邊與高，可得扇形的面積公式5平面幾何中，有邊長為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值a，類比上述命題，棱長為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為()Aa Ba Ca Da答案B解析將正三角形一邊上的高a類比到正四面體一個(gè)面上的高a，由正三角形“分割成以三條邊為底的三個(gè)三角形面積的和等于正三角形的面積”，方法類比為“將四面體分割成以各面為底的三棱錐體積之和等于四面體的體積”證明二、填空題6(xx·陜西文，16)觀察下列等式111據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_答案1解析觀察等式知：第n個(gè)等式的左邊有2n個(gè)數(shù)相加減，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，且分子為1，分母是1到2n的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是.故答案為1.7觀察下列等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418cos21；cos8128cos8256cos6160cos432cos21；cos10mcos101 280cos81 120cos6ncos4pcos21.可以推測，mnp_.答案962解析觀察每一個(gè)等式中最高次冪的系數(shù)：2,8,32,128，m，構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，公比為4，故m128×4512.觀察每一個(gè)等式中cos2的系數(shù)：2，8,18，32，p，規(guī)律是1×2，2×4,3×6，4×8，故p5×1050.每一個(gè)式子中的系數(shù)和為1，故m1 2801 120np11，代入m和p，可求得n400，故mnp51240050962.8設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析本題主要考查了歸納推理及分析解決問題的能力依題意：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x).當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x).三、解答題9已知Sn，寫出S1，S2，S3，S4的值，并由此歸納出Sn的表達(dá)式分析在Sn中分別令n1,2,3,4，可以求得S1，S2，S3，S4的值，再進(jìn)行歸納推測解析S11；S2(1)()1；S3(1)()()1；S4(1)()()()1；由此猜想：Sn(nN)點(diǎn)評本題利用歸納猜想的思想求得了Sn的表達(dá)式，有兩點(diǎn)應(yīng)注意：正確理解與把握數(shù)列求和中Sn的含義；在對特殊值進(jìn)行規(guī)律觀察時(shí)，有時(shí)需要將所得結(jié)果作變形處理，以顯示隱藏的規(guī)律性10在ABC中，余弦定理可敘述為a2b2c22bccosA，其中a、b、c依次為角A、B、C的對邊，類比上述定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想解析如圖，S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，、依次表示平面PAB與平面PBC、平面PBC與平面PCA、平面PCA與平面ABP之間所成二面角的大小故猜想余弦定理類比推理到三維空間的表現(xiàn)形式為：S2SSS2S1S2cos2S2S3cos2S2S1cos.點(diǎn)評我們常將空間幾何體與平面圖形之間的性質(zhì)進(jìn)行類比：如四面體三角形，長方體矩形，圓球注意：線面，平面角空間角，面積體積之間具有類比關(guān)系一、選擇題1(xx·三峽名校聯(lián)考)觀察式子：1<，1<，1<，則可歸納出第n1個(gè)式子為()A1<B1<C1<D1<答案C解析觀察可得第n1個(gè)式子中不等式的左邊為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，右邊為分式.2如圖，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列an(nN)的前12項(xiàng)(即橫坐標(biāo)為奇數(shù)項(xiàng)，縱坐標(biāo)為偶數(shù)項(xiàng))，按如此規(guī)律下去，則a2 009a2 010a2 011等于()A1 003 B1 005C1 006 D2 011答案B解析觀察點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律可知，偶數(shù)項(xiàng)的值等于其序號的一半則a4n3n，a4n1n，a2nn.又2 0094×5033,2 0114×5031，a2 009503，a2 011503，a2 0101 005，a2 009a2 010a2 0111 005.3數(shù)列，2，的一個(gè)通項(xiàng)公式是()Aan BanCan Dan答案B解析因?yàn)閍1，a2，a3，a4，所以an.4(xx·湖北理，8)算數(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式VL2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么，近似公式VL2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為()A BC D答案B解析設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，則L2r，由L2hsh，代入sr2化簡得3；類比推理，若VL2h時(shí)，.本題的關(guān)鍵是理解“若VL2h，近似取為3”的意義，類比求解，這是高考考查新定義型試題的一種常見模式，求解此類試題時(shí)，關(guān)鍵是要理解試題所列舉的例子二、填空題5在平面幾何里有射影定理：設(shè)ABC的兩邊ABAC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2BD·BC拓展到空間，在四面體ABCD中，DA平面ABC，點(diǎn)O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，ABC、BOC、BDC三者面積之間關(guān)系為_答案SSOBC·SDBC解析將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到ABC在底面的射影OBC及底面BCD的面積可得SSOBC·SDBC6(xx·陜西理，14)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是_答案FVE2解析5692，66102，68122，F(xiàn)VE2.三、解答題7把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間中，并判斷類比的結(jié)論是否成立；(1)如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交；(2)如果兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行解析平面幾何與空間幾何的類比中，點(diǎn)的類比對象是線，線的類比對象是面，面的類比對象是體(1)的類比結(jié)論為：如果一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交由空間幾何的知識易得此結(jié)論成立(2)的類比結(jié)論為：如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行由空間幾何的知識易得此結(jié)論不成立，如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，這兩個(gè)平面還可能相交8(xx·洛陽市高二期中)觀察等式：sin50°sin20°2sin35°cos15°sin66°sin32°2sin49°cos17°猜想符合以上兩式規(guī)律的一般結(jié)論，并進(jìn)行證明解析猜想：sinsin2sincos.下面證明：左邊sin()sin()(sincoscossin)(sincoscossin)2sincos右邊所以原等式成立.