2022年高中數(shù)學(xué) 函數(shù)模型及其應(yīng)用教案 蘇教版必修1教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生從所熟悉的生活、生產(chǎn)和其他學(xué)科的實際問題出發(fā)，進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯推理，得出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，通過構(gòu)造出一個對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型而使問題清晰化、具體化，找到有效的解題途徑構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使實際生活問題抽象為數(shù)學(xué)問題逐步把數(shù)學(xué)知識用到生產(chǎn)、生活的實際中，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力教學(xué)重點：一是實際問題數(shù)學(xué)化，二是對得到的函數(shù)模型進(jìn)行解答，得出數(shù)學(xué)問題的解.教學(xué)難點：實際問題數(shù)學(xué)化.教學(xué)過程：例1一家報刊推銷員從報社買進(jìn)報紙的價格是每份0.20元，賣出的價格是每份0.30元，賣不完的還可以以每份0.08元的價格退回報社在一個月（以30天計算）有20天每天可賣出400份，其余10天只能賣250份，但每天從報社買進(jìn)報紙的份數(shù)都相同，問應(yīng)該從報社買多少份才能使每月所獲得的利潤最大？并計算每月最多能賺多少錢？解析：本題所給條件較多，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，可以列表分析：設(shè)每天從報社買進(jìn)x份（250x400）數(shù)量（份）價格（元）金額（元）買進(jìn)300.206x賣出20x10×2500.306x750退回10（x250）0.080.8x200則每月獲利潤y（6x750）（0.8x200）6x0.8x550（250x400）y在x250，400上是一次函數(shù)x400元時，y取得最大值870元答：每天從報社買進(jìn)400份時，每月獲的利潤最大，最大利潤為870元點評：自變量x的取值范圍250，400是由問題的實際意義決定的，建立函數(shù)關(guān)系式時應(yīng)注意挖掘 例2某人從A地到B地乘坐出租車，有兩種方案，第一種方案：租用起步價10元，每km價為1.2元的汽車；第二種方案：租用起步價為8元，每km價為1.4元的汽車，按出租車管理條例，在起步價內(nèi)，不同型號行駛的里程是相等的則此人從A地到掃地選擇哪一種方案比較合適答案：當(dāng)A、B距離在起步價以內(nèi)時，選擇第二種方案；當(dāng)A、B距離在（a，a10）時，選擇第二種方案；當(dāng)A、B距離恰好為a10時，選擇兩種方案均可以；當(dāng)A、B距離大于a10時，選擇第一種方案（其中a為起步價內(nèi)汽車行駛的里程）點評：信息量大是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一大特點，當(dāng)所給條件錯綜復(fù)雜，一時難以理清關(guān)系時，可采用列表分析的方法，有些典型應(yīng)用題也可以畫出相應(yīng)的圖形，建立坐標(biāo)系等例3按復(fù)利計算利率的儲蓄，銀行整存一年，年息8，零存每月利息2，現(xiàn)把2萬元存入銀行3年半，求取出后本利的和解析：3年半本利和的計算問題，應(yīng)轉(zhuǎn)為3年按年息8計算，而半年按6個月（月息2）計算，又由于是復(fù)利問題，故取出2（18）3（12）6萬元 例4某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路，下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖形中較符合該生走法的是（）解析：由于d0表示學(xué)生的家與學(xué)校的距離，因而首先排除A、C選項，又因為圖中線段的斜率的絕對值表示前進(jìn)速度的大小，因而排除B，故只能選擇D例5容器中有濃度為m的溶液a升，現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，求這樣進(jìn)行了10次后溶液的濃度（1）10·m總結(jié)解應(yīng)用題的策略：一般思路可表示如下：因此，解決應(yīng)用題的一般程序是：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；還原：將用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論，還原為實際問題的意義例6某地方政府為保護(hù)地方電子工業(yè)發(fā)展，決定對某一進(jìn)口電子產(chǎn)品征收附加稅已知這種電子產(chǎn)品國內(nèi)市場零售價為每件250元，每年可銷售40萬件，若政府增加附加稅率為每百元收t元時，則每年銷售量將減少 t萬件（1）將稅金收入表示為征收附加稅率的函數(shù)；（2）若在該項經(jīng)營中每年征收附加稅金不低于600萬元，那么附加稅率應(yīng)控制在什么范圍？解析：（1）設(shè)每年銷售是x萬件，則每年銷售收入為250x萬元，征收附加稅金為y250x·t依題意，x40t所求的函數(shù)關(guān)系式為y250（40t）t（2）依題意，250（40t）·t600，即t225t1500，10t15即稅率應(yīng)控制在1015之間為宜注意點：1在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗所得結(jié)果，必要時運(yùn)用估算和近似計算，以使結(jié)果符合實際問題的要求2在實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，要充分使用數(shù)學(xué)語言，如引入字母，列表，畫圖，建立坐標(biāo)系等，以使實際問題數(shù)學(xué)符號化3對于建立的各種數(shù)學(xué)模型，要能夠模型識別，充分利用數(shù)學(xué)方法加以解決，并能積累一定數(shù)量的典型的函數(shù)模型，這是順利解決實際問題的重要資本本節(jié)內(nèi)容主要是運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識去解決實際問題，要求學(xué)生掌握函數(shù)應(yīng)用的基本方法和步驟函數(shù)的應(yīng)用問題是高考中的熱點內(nèi)容，必須下功夫練好基本功本節(jié)涉及的函數(shù)模型有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及較簡單的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)其中，最重要的是二次函數(shù)模型例7將進(jìn)貨單價為8元的商品按10元一個銷售，每天可賣出100個若每個銷售漲價一元，則日銷售量減少10個為獲得最大利潤，則此商品當(dāng)日銷售價應(yīng)定為每個多少元？解析：設(shè)每個漲價x元，則實際銷售價為（10x）元，銷售的個數(shù)為（10010x），則利潤為y（10x）（10010x）8（10010x）10（x4）2360（0x10）因此x4，即售價定為每個14元時，利潤最大例8為保護(hù)環(huán)境，實現(xiàn)城市綠化，某房地產(chǎn)公司要在拆遷地矩形ABCD（如下圖所示）上規(guī)劃出一塊矩形地面建造住宅區(qū)小公園POCR（公園的兩邊分別落在BC和CD上），但不能超過文物保護(hù)三角形AEF的紅線EF問如何設(shè)計才能使公園占地面積最大？并求出最大面積已知ABCD200m，BCAD160m，AE60m，AF40m解析：設(shè)POx，則S（x190）2×1902，0x200，即x190時，最大面積為24067m2 總結(jié)：解決函數(shù)應(yīng)用題的流程圖是：解決函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟是：第一步：認(rèn)真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題實際背景，然后進(jìn)行科學(xué)的抽象、概括，將實際問題轉(zhuǎn)化成實際問題，即實際問題數(shù)學(xué)化第二步：運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法解答函數(shù)問題，得出函數(shù)問題的解第三步：將所得函數(shù)問題的解代入實際問題進(jìn)行驗證，看是否符合實際，并對實際問題作答課后練習(xí)1某城市出租汽車統(tǒng)一價格，凡上車起步價為6元，行程不超過2km者均按此價收費(fèi)，行程超過2km，按1.8元/km收費(fèi)，另外，遇到塞車或等候時，汽車雖沒有行駛，仍按6分鐘折算1km計算，陳先生坐了一趟這種出租車，車費(fèi)17元，車上儀表顯示等候時間為11分30秒，那么陳先生此趟行程介于（）A57km B911km C79km D35km答案：A2某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5以下，則至少需要過濾的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)lg20.3010，lg30.4771）A5 B10 C14 D15答案：C3有一批材料可以建成200m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形（如下圖所示），則圍成的矩形最大面積為_m2（圍墻厚度不計）解析：設(shè)矩形寬為xm，則矩形長為（2004x）m，則矩形面積為Sx（2004x）4（x25）22500（0x50），x25時，S有最大值2500m24一家人（父親、母親、孩子）去某地旅游，有兩個旅行社同時發(fā)出邀請，且有各自的優(yōu)惠政策甲旅行社承諾，如果父親買一張全票，則其家庭成員均可享受半價，乙旅行社承諾，家庭旅行算團(tuán)體票，按原價的計算，這兩家旅行社的原價是一樣的，若家庭中孩子數(shù)不同，試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實施后的孩子個數(shù)為變量的收費(fèi)表達(dá)式，比較選擇哪家更優(yōu)惠？解答：設(shè)兩家旅行社的原價為a（a0），家庭孩子個數(shù)為x（xN*），甲、乙兩家旅行收費(fèi)分別為f（x）和g（x），則f（x）a（x1）·xa（xN*），g（x）（x2）·x（xN*）， g（x）f（x），得 xx，x1因此，當(dāng)家庭只有1個孩子時，兩家隨便選擇，當(dāng)孩子數(shù)多于1個時，應(yīng)選擇甲旅行社5某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標(biāo)價的80出售，同時當(dāng)顧客在該商場內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按以下方案獲得相應(yīng)金額的獎券：消費(fèi)金額的范圍200，400）400，500）500，700）700，900）獲得獎券的金額3060100130根據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠，例如：購買標(biāo)價400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為400×0.230110元，設(shè)購買商品的優(yōu)惠率試問：（1）若購買一件標(biāo)價為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？（2）對于標(biāo)價在500，800內(nèi)的商品，顧客購買標(biāo)價為多少元的商品，可獲得不小于的優(yōu)惠率？答案：（1）優(yōu)惠率為33；（2）標(biāo)價在625，750內(nèi)的商品，購買時可獲得不小于的優(yōu)惠率6經(jīng)市場調(diào)查，某商品在近100天內(nèi)，其銷售量和價格均為時間t的函數(shù)，且銷售量近似地滿足關(guān)系g（t）t，（tN，0t100），在前40天里價格為f（t）t22（tN，0t40），在后60天里價格為f（t）t52（tN，40t100），求這種商品的日銷售額的最大值解析：由題意知，當(dāng)0t40，h（t）（t10.5）2；當(dāng)40t100，h（t）（t106.5）2；t10或11時，這種商品的日銷售額的最大值為808.5函數(shù)模型及其應(yīng)用例1一家報刊推銷員從報社買進(jìn)報紙的價格是每份0.20元，賣出的價格是每份0.30元，賣不完的還可以以每份0.08元的價格退回報社在一個月（以30天計算）有20天每天可賣出400份，其余10天只能賣250份，但每天從報社買進(jìn)報紙的份數(shù)都相同，問應(yīng)該從報社買多少份才能使每月所獲得的利潤最大？并計算每月最多能賺多少錢？ 例2某人從A地到B地乘坐出租車，有兩種方案，第一種方案：租用起步價10元，每km價為1.2元的汽車；第二種方案：租用起步價為8元，每km價為1.4元的汽車，按出租車管理條例，在起步價內(nèi)，不同型號行駛的里程是相等的則此人從A地到掃地選擇哪一種方案比較合適例3按復(fù)利計算利率的儲蓄，銀行整存一年，年息8，零存每月利息2，現(xiàn)把2萬元存入銀行3年半，求取出后本利的和 例4某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路，下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖形中較符合該生走法的是（）例5容器中有濃度為m的溶液a升，現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，求這樣進(jìn)行了10次后溶液的濃度例6某地方政府為保護(hù)地方電子工業(yè)發(fā)展，決定對某一進(jìn)口電子產(chǎn)品征收附加稅已知這種電子產(chǎn)品國內(nèi)市場零售價為每件250元，每年可銷售40萬件，若政府增加附加稅率為每百元收t元時，則每年銷售量將減少 t萬件（1）將稅金收入表示為征收附加稅率的函數(shù)；（2）若在該項經(jīng)營中每年征收附加稅金不低于600萬元，那么附加稅率應(yīng)控制在什么范圍？例7將進(jìn)貨單價為8元的商品按10元一個銷售，每天可賣出100個若每個銷售漲價一元，則日銷售量減少10個為獲得最大利潤，則此商品當(dāng)日銷售價應(yīng)定為每個多少元？例8為保護(hù)環(huán)境，實現(xiàn)城市綠化，某房地產(chǎn)公司要在拆遷地矩形ABCD（如下圖所示）上規(guī)劃出一塊矩形地面建造住宅區(qū)小公園POCR（公園的兩邊分別落在BC和CD上），但不能超過文物保護(hù)三角形AEF的紅線EF問如何設(shè)計才能使公園占地面積最大？并求出最大面積已知ABCD200m，BCAD160m，AE60m，AF40m 課后練習(xí)1某城市出租汽車統(tǒng)一價格，凡上車起步價為6元，行程不超過2km者均按此價收費(fèi)，行程超過2km，按1.8元/km收費(fèi)，另外，遇到塞車或等候時，汽車雖沒有行駛，仍按6分鐘折算1km計算，陳先生坐了一趟這種出租車，車費(fèi)17元，車上儀表顯示等候時間為11分30秒，那么陳先生此趟行程介于（）A57km B911km C79km D35km 2某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5以下，則至少需要過濾的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)lg20.3010，lg30.4771）A5 B10 C14 D15 3有一批材料可以建成200m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形（如下圖所示），則圍成的矩形最大面積為_m2（圍墻厚度不計）4一家人（父親、母親、孩子）去某地旅游，有兩個旅行社同時發(fā)出邀請，且有各自的優(yōu)惠政策甲旅行社承諾，如果父親買一張全票，則其家庭成員均可享受半價，乙旅行社承諾，家庭旅行算團(tuán)體票，按原價的計算，這兩家旅行社的原價是一樣的，若家庭中孩子數(shù)不同，試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實施后的孩子個數(shù)為變量的收費(fèi)表達(dá)式，比較選擇哪家更優(yōu)惠？5某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標(biāo)價的80出售，同時當(dāng)顧客在該商場內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按以下方案獲得相應(yīng)金額的獎券：消費(fèi)金額的范圍200，400）400，500）500，700）700，900）獲得獎券的金額3060100130根據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠，例如：購買標(biāo)價400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為400×0.230110元，設(shè)購買商品的優(yōu)惠率試問：（1）若購買一件標(biāo)價為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？（2）對于標(biāo)價在500，800內(nèi)的商品，顧客購買標(biāo)價為多少元的商品，可獲得不小于的優(yōu)惠率？6經(jīng)市場調(diào)查，某商品在近100天內(nèi)，其銷售量和價格均為時間t的函數(shù)，且銷售量近似地滿足關(guān)系g（t）t，（tN，0t100），在前40天里價格為f（t）t22（tN，0t40），在后60天里價格為f（t）t52（tN，40t100），求這種商品的日銷售額的最大值