2022年高中數(shù)學(xué) 階段性測(cè)試題2 新人教B版選修1-1一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1平面上有兩個(gè)定點(diǎn)A、B及動(dòng)點(diǎn)P，命題甲：“|PA|PB|是定值”，命題乙“點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線”，則甲是乙的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)|PA|PB|AB|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一條射線，故甲/ 乙，而乙甲，故選B.2如果雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(6，)，且它的兩條漸近線方程是y±x，那么雙曲線方程是()A.1 B.1C.y21 D.1答案C解析設(shè)雙曲線方程為將點(diǎn)(6，)代入求出即可答案C.3雙曲線與橢圓y21共焦點(diǎn)，且一條漸近線方程是xy0，則此雙曲線方程是()Ay21 B.x21Cx21 D.y21答案C解析橢圓y21的焦點(diǎn)為(±2,0)，雙曲線的焦點(diǎn)為(±2,0)，排除A、B.又選項(xiàng)D的漸近線為y±x，故選C.4若方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則下列關(guān)系成立的是()A.> B.<C.> D.<答案A解析方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，b<0，>.5設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線為y±x，則該雙曲線的離心率為()A5 B.C. D.答案C解析，e21，e2，e.6在下列各對(duì)雙曲線中，既有相同的離心率又有相同的漸近線的是()A.y21和1B.y21和x21Cy21和x21D.y21和1答案A解析A中離心率都為，漸近線都為y±x.7若不論k為何值，直線yk(x2)b與曲線x2y21總有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是()A(，) B，C(2,2) D2,2答案B解析由直線過點(diǎn)(2，b)，因?yàn)閤2時(shí)，y2x213，所以y±，所以b，故選B.8已知以F1(2,0)、F2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A3 B2C2 D4答案C解析設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，由，得(a23b2)y28b2y16b2a2b20，可得a27，2a2.9A(x1，y1)，B，C(x2，y2)為橢圓1上三點(diǎn)，若F(0,4)與三點(diǎn)A、B、C的距離為等差數(shù)列，則y1y2的值為()A. B.C. D.答案B解析，即|AF|5y1，即|CF|5y2，|BF|.由題意知2|BF|AF|CF|，所以5y15y2，所以y1y2.10a0，b0，則方程axyb0和bx2ay2ab表示的曲線可能是()答案C解析由圖象可知選C.11已知雙曲線1和橢圓1(a>0，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么a，b，m為邊長(zhǎng)的三角形一定是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰三角形答案B解析雙曲線1的離心率e1，橢圓1的離心率為e2，由e1·e21得·1，a2b2m2，a，b，m為邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形12已知F(c,0)是橢圓1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，F(xiàn)與橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為m，最小值為n，則橢圓上與點(diǎn)F的距離為的點(diǎn)是()A(c，±) B(c，±)C(0，±b) D不存在答案C解析在橢圓中，a，而a2b2c2，所以短軸端點(diǎn)(0，±b)與F的距離為a.二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分將正確的答案填在題中橫線上)13已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與它的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為_答案解析由題意a2a24c2，所以e.14(xx·遼寧)已知F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_答案9解析設(shè)右焦點(diǎn)為F，由題意知F(4,0)由雙曲線定義，|PF|PF|4，|PF|PA|4|PF|PA|，要使|PF|PA|最小，只需|PF|PA|最小即可，|PF|PA|最小需P，F(xiàn)，A三點(diǎn)共線，最小值即4|FA|4459.15與橢圓1有公共焦點(diǎn)，且兩條漸近線互相垂直的雙曲線方程為_答案1解析雙曲線的兩漸近線互相垂直，雙曲線為等軸雙曲線，又c25，a2b2.16點(diǎn)P是雙曲線y21上的一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是_答案x24y21解析設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x02x，y02y，代入雙曲線方程得1，即x24y21.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)已知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率e，且雙曲線過點(diǎn)P(2，3)，求雙曲線E的方程解析當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為：1(a>0，b>0)，e，c2a2，b2a2，又點(diǎn)P(2,3)在雙曲線上，解得a232(舍去)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為：1(a>0，b>0)，同理解得a210，b25，雙曲線E的方程為：1.18(本題滿分12分)已知橢圓4x2y21及直線yxm.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程解析(1)聯(lián)立，得5x22mxm210.因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)所以4m220(m21)0，解得m.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知，5x22mxm210，由韋達(dá)定理，得x1x2，x1x2(m21)所以|AB|，所以當(dāng)m0時(shí)，|AB|最大，此時(shí)直線方程為yx.19(本題滿分12分)在面積為1的PMN中，tanPMN，tanMNP2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M，N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線方程解析以MN所在直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x0，y0)，M(c,0)，N(c,0)(y0>0，c>0)，如圖所示，則有解得設(shè)雙曲線的方程為1，將P(，)代入，可得a2，所以所求雙曲線的方程為1.20(本題滿分12分)橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)F與短軸兩端點(diǎn)B1、B2的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與較近的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A的距離為，求橢圓方程解析設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，由橢圓的定義知RtB2OF中，有|B2F|a|B1F|，又B2FB1為等腰直角三角形，則|OB2|OF|b，ac，由已知|FA|ac，則有解之得c，故b，a.所求橢圓方程為1.21(本題滿分12分)已知，試討論當(dāng)?shù)闹底兓瘯r(shí)，方程x2siny2cos1表示曲線的形狀解析當(dāng)0時(shí)，sin0，cos1，方程x2siny2cos1化為y21，即y±1，方程表示兩條直線，當(dāng)0<<時(shí)，0<sin<cos，方程x2siny2cos1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，sincos，方程x2siny2cos1化為x2y2，方程表示以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓；當(dāng)<<時(shí)，sin>cos>0，方程x2siny2cos1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，sin1，cos0，方程x2siny2cos1化為x±1，方程表示兩條直線22(本題滿分14分)已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過其右焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若OPOQ，求此橢圓的離心率e.解析設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線方程為yxc，由得，(a2b2)x22a2cxa2c2a2b20，x1x2，x1x2，又y1x1c，y2x2c，y1y2x1x2c(x1x2)c2，OPOQ，x1x2y1y20，0，又b2a2c2，化簡(jiǎn)得c44a2c22a40，e44e220，e22，e.