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1、2022年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題 文(V)
注意事項:
1.本卷共24題,滿分150分,考試時間為120分鐘。
2.考生領(lǐng)取到試卷后,應(yīng)查看試卷是否完整,是否有缺頁漏頁,重影模糊等有礙答題的現(xiàn)象,如有請先監(jiān)考老師通報??忌固崆敖痪?。
一.選擇題(每題5分,共60分。在每題后面所給的四個選項中,只有一個是正確的。)
1.已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},則B的子集個數(shù)為( ?。?
A.3 B.4 C.7 D.8
2.若點(sin,cos)在角α的終邊上,則sinα的
2、值為( ?。?
A. B. C. D.
3.雙曲線的一個頂點為(2,0),一條漸近線方程為y=x,則該雙曲線的方程是( ?。?
A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
4.已知點P在直線x+3y﹣2=0上,點Q在直線x+3y+6=0上,線段PQ的中點為M(x0,y0),且y0<x0+2,則的取值范圍是( ?。?
A.[﹣,0 B.(﹣,0) C.(﹣,+∞) D.(﹣∞,﹣)∪(0,+∞)
5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出s的值為( ?。?
A. B.
3、C. D.
6.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件,設(shè)事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.則事件“抽到的不是一等品”的概率為( ?。?
A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3
7.已知等差數(shù)列{an}中,a2=7,a4=15,則前10項的和S10=( ?。?
A.100 B.210 C.380 D.400
8.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)
4、于x的不等式[f(x)]2+af(x)﹣b2<0恰有1個整數(shù)解,則實數(shù)a的最大值是( ?。?
A.2 B.3 C.5 D.8
9.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=2,c=2,1+=.則∠C=( ?。?
A.30° B.135° C.45°或135° D.45°
10.f(x)=則f[f()]=( ?。?
A.﹣2 B.﹣3 C.9 D.
11.設(shè)x、y均是實數(shù),i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)
5、(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i的實部大于0,虛部不小于0,則復(fù)數(shù)z=x+yi在復(fù)平面上的點集用陰影表示為圖中的( ?。?
A. B. C. D.
12.對于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組(i1,i2,…,in)(n是不小于2的正整數(shù)),如果在p<q時有ip<iq,則稱“ip與iq”是該數(shù)組的一個“順序”,一個數(shù)組中所有“順序”的個數(shù)稱為此數(shù)組的“順序數(shù)”.例如,數(shù)組(2,4,3,1)中有順序“2,4”、“2,3”,其“順序數(shù)”等于2.若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組(a1,a2,a3,a4,a5)的“順序數(shù)”是4,則(a5,a4,a3,a2,a1)的“順序數(shù)”是( ?。?
A.7 B
6、.6 C.5 D.4
第II卷 非選擇題(共90分)
二.填空題(每題5分,共20分)
13.已知函數(shù)f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a為實數(shù),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f′(1)=3,則a的值為 ?。?
14.已知點P,Q是△ABC所在平面上的兩個定點,且滿足,2,若||=,則正實數(shù)λ= .
15.如圖,在底面為正方形的四棱錐P﹣ABCD中,PA=PB=PC=PD=AB=2,點E為棱PA的中點,則異面直線BE與PD所成角的余弦值為 .
16.記不等式組所表示的平面區(qū)域為D.若直線y=a(x+1
7、)與D有公共點,則a的取值范圍是 ?。?
三.解答題(共8題,共70分)
【一】必做題(第17-21題為必做題,考生必須作答。其中第17題12分,第18題12分,第19題12分,第20題12分,第21題12分。共60分)
17.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知=
(1)求角C的大小,
(2)若c=2,求使△ABC面積最大時a,b的值.
18.如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面PDC,E為棱PD的中點.
(1)求證:PB∥平面EAC;
(2)求證:平面PAD⊥平面ABCD.
19.
8、已知F1、F2分別是橢圓+=1的左、右焦點,曲線C是坐標(biāo)原點為頂點,以F2為焦點的拋物線,過點F1的直線l交曲線C于x軸上方兩個不同點P、Q,點P關(guān)于x軸的對稱點為M,設(shè)=
(Ⅰ)若λ∈[2,4],求直線L的斜率k的取值范圍;
(Ⅱ)求證:直線MQ過定點.
20.已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax2﹣2x
(1)當(dāng)a=0時,求證:f(x)>0恒成立;
(2)記y=f′(x)為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),y=f″(x)為函數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)函數(shù),對于連續(xù)函數(shù)y=f(x),我們定義:若f″(x0)=0且在x0兩側(cè)f″(x)異號,則點(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點
9、,是否存在正實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)=ex﹣ax2﹣2x在其拐點處切線的傾斜角a為,若存在求出a的值;若不存在,說明理由.
21.春節(jié)期間,某微信群主發(fā)60個隨機紅包(即每個人搶到的紅包中的錢數(shù)是隨機的,且每人只能搶一個),紅包被一搶而空,后據(jù)統(tǒng)計,60個紅包中錢數(shù)(單位:元)分配如下頻率分布直方圖所示(其分組區(qū)間為[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5)).
(1)試估計該群中某成員搶到錢數(shù)不小于3元的概率;
(2)若該群中成員甲、乙兩人都搶到4.5元紅包,現(xiàn)系統(tǒng)將從搶到4元及以上紅包的人中隨機抽取2人給群中每個人拜年,求甲、乙兩人至少有一人被選中的概率
10、.
【二】選做題(考生需從22、23、24題中任選一題作答,選多題的考生按第22題計分,共10分)
22.(4-1·幾何證明選講)
如圖,A,B,C為⊙O上的三個點,AD是∠BAC的平分線,交⊙O于點D,過B作⊙O的切線交Ad的延長線于點E.
(Ⅰ)證明:BD平分∠EBC;
(Ⅱ)證明:AE?DC=AB?BE.
23.(4-4·坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)).
(1)寫出
11、直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′,設(shè)曲線C′上任一點為M(x,y),求的最小值.
25.(4-5·不等式選講)已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|.
(1)求不等式f(x)>0的解集;
(2)若存在x0∈R,使得f(x0)+2a2<4a,求實數(shù)a的取值范圍.
xx年衡陽八中高三年級第一次模擬文科數(shù)學(xué)參考答案
選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
D
D
D
C
B
D
D
C
A
B
12、
非選擇題
13.3
14. 0.5
15.
16.[,4]
17.(1)∵A+C=π﹣B,即cos(A+C)=﹣cosB,
∴由正弦定理化簡已知等式得:=,
整理得:2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB,即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,
∵sinA≠0,
∴cosC=﹣,
∵C為三角形內(nèi)角,
∴C=;
(Ⅱ)∵c=2,cosC=﹣,
∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC,即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab,
∴ab≤,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時成立),
∵
13、S=absinC=ab≤,
∴當(dāng)a=b時,△ABC面積最大為,此時a=b=,
則當(dāng)a=b=時,△ABC的面積最大為.
18.證明:(1)連接BD,交AC于F,
由E為棱PD的中點,F(xiàn)為BD的中點,
則EF∥PB,
又EF?平面EAC,PB?平面EAC,
則PB∥平面EAC;
(2)由PA⊥平面PCD,
則PA⊥CD,
底面ABCD為矩形,
則CD⊥AD,
又PA∩AD=A,
則有CD⊥平面PAD,
由CD?平面ABCD,
則有平面PAD⊥平面ABCD.
19.(I)令P(x1,y1),Q(x2,y2),由題意,可設(shè)拋物線方程為 y2=2px
由橢圓的方程可
14、得F1 (﹣1,0),F(xiàn)2 (1,0 )故p=2,曲線C的方程為 y2=4x,
由題意,可設(shè)PQ的方程 x=my﹣1 (m>0).把PQ的方程代入曲線C的方程 化簡可得 y2﹣4my+4=0,
∴y1+y2=4m,y1y2=4. 又 =,∴x1+1=λ(x2+1),y1=λy2,
又 =λ++2=4m2.λ∈[2,4],∴2+≤λ+≤4+,≤m2≤,
∴≤≤∴直線L的斜率k的取值范圍為[,].
(II)由于P,M關(guān)于X軸對稱,故M(x1,﹣y1),
∵﹣=+==0,
∴M、Q、F2三點共線,故直線MQ過定點 F2 (1,0 ).
20.(1)∵a=0,f(x)=ex﹣
15、2x,
∴f′(x)=ex﹣2,
令f′(x)=0,解得x=ln2,
當(dāng)f′(x)>0,解得x>ln2,函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)f′(x)<0,解得0<x<ln2,函數(shù)單調(diào)遞減,
當(dāng)x=ln2時,函數(shù)有最小值,
f(x)>f(ln2)=eln2﹣2ln2=lne2﹣ln4=ln>0,
∴f(x)>0恒成立;
(2)∵f(x)=ex﹣ax2﹣2x,
∴f′(x)=ex﹣ax﹣2,
∴f″(x)=ex﹣a,
令f″(x0)=ex0﹣a,解得x0=lna,a>0,
∵拐點處切線的傾斜角a為,
∴k=tan=﹣,
∴l(xiāng)na=﹣,
解得a=>0,
∴存在正實數(shù)a═,使得函數(shù)f(
16、x)=ex﹣ax2﹣2x在其拐點處切線的傾斜角a為.
21.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,得;
該群中搶到紅包的錢數(shù)不小于3元的頻率是
1﹣0.05﹣0.20﹣0.40=0.35,
∴估計該群中某成員搶到錢數(shù)不小于3元的概率是0.35;
(2)該群中搶到錢數(shù)不小于4元的頻率為0.10,對應(yīng)的人數(shù)是60×0.10=6,
記為1、2、3、4、甲、乙;
現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人,基本事件數(shù)是12,13,14,1甲,1乙,
23,24,2甲,2乙,34,3甲,3乙,4甲,4乙,甲乙共15種;
其中甲乙兩人至少有一人被選中的基本事件為
1甲,1乙,2甲,2乙,3甲,3乙,4甲,4乙,甲乙
17、共9種;
∴對應(yīng)的概率為P==.
22.(1)因為BE是⊙O的切線,所以∠EBD=∠BAD…(2分)
又因為∠CBD=∠CAD,∠BAD=∠CAD…(4分)
所以∠EBD=∠CBD,即BD平分∠EBC.…(5分)
(2)由(1)可知∠EBD=∠BAD,且∠BED=∠BED,有△BDE∽△ABE,所以,…(7分)
又因為∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC,所以∠BCD=∠DBC,BD=CD…(8分)
所以,…(9分)
所以AE?DC=AB?BE…(10分)
23.(1)直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)).
由上式化簡成t=2(x﹣1)代入下式得
根據(jù)ρ2=x2+y2,進行化簡得C:x2+y2=1(2分)
(2)∵代入C得∴(5分)
設(shè)橢圓的參數(shù)方程為參數(shù))(7分)
則(9分)
則的最小值為﹣4.(10分)
24.(1)函數(shù)f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|=,令f(x)=0,求得x=﹣,或 x=3,
故不等式f(x)>0的解集為{x|x<﹣,或x>3}.(4分)
(2)若存在x0∈R,使得f(x0)+2a2<4a,即f(x0)<4a﹣2a2 有解,
由(1)可得f(x)的最小值為f()=﹣3?﹣1=﹣,故﹣<4a﹣2a2 ,(8分)
求得﹣<a<.(10分)