2022年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（文科） 含解析(III)一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個備選選項中，只有一項是符合題目要求的）1點(diǎn)A在直線l上，l在平面外，用符號表示正確的是（）AAl，lBAl，lCAl，lDAl，l2直線經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），B（5，3），則直線的傾斜角（）A45°B135°C45°D135°3設(shè)l為直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A若l，l，則B若l，l，則C若l，l，則D若，l，則l4直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為3，而且它的傾斜角是直線xy=3傾斜角的2倍，則（）ABCD5已知直線l1：3x+2ay5=0，l2：（3a1）xay2=0，若l1l2，則a的值為（）AB6C0D0或6直線l1：y=x+a和l2：y=x+b將單位圓C：x2+y2=1分成長度相等的四段弧，則a2+b2=（）A1B2CD47已知側(cè)棱長為2a的正三棱錐（底面為等邊三角形）其底面周長為9a，則棱錐的高為（）AaB2aC aD a8已知：平面平面，=l，在l上取線段AB=4，AC、BD分別在平面和平面內(nèi)，且ACAB，DBAB，AC=3，BD=12，則CD的長度（）A13BC12D159直線y=kx+1與圓（x1）2+（y1）2=1相交于A，B，兩點(diǎn)，若|AB|，則k的取值范圍（）A0，1B1，0C（，11，+）D1，110已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A7B7C7D811設(shè)點(diǎn)A（2，3），B（3，2），若直線ax+y+2=0與線段AB沒有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A（，+）B（，）C，D（，+）12已知圓O：x2+y2=16和點(diǎn)M（1，2），過點(diǎn)M的圓的兩條弦AC，BD互相垂直，則四邊形ABCD面積的最大值（）A4BC23D25二、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，把答案分別填寫在答題卡相應(yīng)位置）13經(jīng)過點(diǎn)（2，3），且斜率為2的直線方程的一般式為14不論a為何實數(shù)，直線（a+3）x+（2a1）y+7=0恒過定點(diǎn)15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（1，0）為圓心且與直線mxy2m1=0（mR）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為16已知三棱錐SABC所在頂點(diǎn)都在球O的球面上，且SC平面ABC，若SC=AB=AC=1，BAC=120°，則球O的表面積為三、解答題（共6小題，滿分70分）17如圖，在四棱錐SABCD中，底面四邊形ABCD平行四邊形，AD平面SAB（1）若SA=3，AB=4，SB=5，求證：SA平面ABCD（2）若點(diǎn)E是SB的中點(diǎn)，求證：SD平面ACE18如圖，在ABC中，BC邊上的高所在的直線方程為x2y+1=0，A的平分線所在的直線方程為y=0，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)19如圖，在四棱錐PABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DCAB，BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E為PA的中點(diǎn)（1）若正視方向與AD平行，作出該幾何體的正視圖并求出正視圖面積；（2）證明：平面CDE平面PAB20如圖，已知圓C的方程為：x2+y2+x6y+m=0，直線l的方程為：x+2y3=0（1）求m的取值范圍；（2）若圓與直線l交于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實數(shù)m的值21如圖在四棱錐PABCD中，底面ABCD是等腰梯形，且PA平面ABCD，AB=AD=CD=1，BAD=120°，PA=平行四邊形T，Q，M，N的四個頂點(diǎn)分別在棱PC、PA、AB、BC的中點(diǎn)（1）求證：四邊形TQMN是矩形；（2）求四棱錐CTQMN的體積22平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線xy+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長為（1）求圓O的方程；（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長最小時，求直線l的方程；（3）設(shè)M，P是圓O上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點(diǎn)（m，0）和（n，0），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由參考答案與試題解析一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個備選選項中，只有一項是符合題目要求的）1點(diǎn)A在直線l上，l在平面外，用符號表示正確的是（）AAl，lBAl，lCAl，lDAl，l【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論；平面的概念、畫法及表示【分析】利用點(diǎn)線面的關(guān)系，用符號表示即可【解答】解：點(diǎn)A在直線上l，直線l在平面外，Al，l故選B2直線經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），B（5，3），則直線的傾斜角（）A45°B135°C45°D135°【考點(diǎn)】直線的傾斜角【分析】由兩點(diǎn)求斜率求出過A、B兩點(diǎn)的直線的斜率，由傾斜角的正切值等于斜率，結(jié)合傾斜角的范圍求解直線的傾斜角【解答】解：設(shè)過A、B的直線的斜率為k，則再設(shè)該直線的傾斜角為（0°180°），由tan=1，得=135°故選B3設(shè)l為直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A若l，l，則B若l，l，則C若l，l，則D若，l，則l【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系【分析】根據(jù)線面平行的幾何特征及面面平行的判定方法，可判斷A；根據(jù)面面平行的判定方法及線面垂直的幾何特征，可判斷B；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，線面垂直及面面垂直的判定定理，可判斷C；根據(jù)面面垂直及線面平行的幾何特征，可判斷D【解答】解：若l，l，則平面，可能相交，此時交線與l平行，故A錯誤；若l，l，根據(jù)垂直于同一直線的兩個平面平行，可得B正確；若l，l，則存在直線m，使lm，則m，故此時，故C錯誤；若，l，則l與可能相交，可能平行，也可能線在面內(nèi)，故D錯誤；故選B4直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為3，而且它的傾斜角是直線xy=3傾斜角的2倍，則（）ABCD【考點(diǎn)】直線的傾斜角；直線的截距式方程【分析】對于直線mx+ny+3=0，令x=0求出y的值，即為直線在y軸上的截距，根據(jù)截距為3求出n的值，再由已知直線的斜率求出傾斜角，確定出所求直線的傾斜角，求出所求直線的斜率，即可求出m的值【解答】解：對于直線mx+ny+3=0，令x=0，得到y(tǒng)=，即=3，解得：n=1，xy3=0的斜率為60°，直線mx+ny+3=0的傾斜角為120°，即斜率為，=m=，即m=故選D5已知直線l1：3x+2ay5=0，l2：（3a1）xay2=0，若l1l2，則a的值為（）AB6C0D0或【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系【分析】根據(jù)兩直線平行的條件可知，3（a）2a（3a1）=0從而可求出a的值【解答】解：l1l2，3（a）2a（3a1）=0即6a2+a=0解得，a=0或a=故選：D6直線l1：y=x+a和l2：y=x+b將單位圓C：x2+y2=1分成長度相等的四段弧，則a2+b2=（）A1B2CD4【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【分析】由題意可得，圓心（0，0）到兩條直線的距離相等，且每段弧長都是圓周的，即=cos45°，由此求得a2+b2的值【解答】解：由題意可得，圓心（0，0）到兩條直線的距離相等，且每段弧長都是圓周的，即=cos45°=，a2+b2=2，故選：B7已知側(cè)棱長為2a的正三棱錐（底面為等邊三角形）其底面周長為9a，則棱錐的高為（）AaB2aC aD a【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征【分析】根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，先求出底面中心到頂點(diǎn)的距離，再利用測棱長求高【解答】解：如圖示：正三棱錐底面周長為9a，底面邊長為3a，正棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影為底面的中心O，OA=AD=×3a×=a，在RtPOA中，高PO=a，故選：A8已知：平面平面，=l，在l上取線段AB=4，AC、BD分別在平面和平面內(nèi)，且ACAB，DBAB，AC=3，BD=12，則CD的長度（）A13BC12D15【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計算【分析】如圖所示，連接BC由DBAB，平面平面，=l=AB，可得BD平面，BDBC，又ACAB，利用勾股定理即可得出【解答】解：如圖所示，連接BCDBAB，平面平面，=l=AB，BD平面，BC平面，BDBC，又ACAB，CD2=BD2+BC2=BD2+AC2+BC2=122+32+42=132，CD=13，故選：A9直線y=kx+1與圓（x1）2+（y1）2=1相交于A，B，兩點(diǎn)，若|AB|，則k的取值范圍（）A0，1B1，0C（，11，+）D1，1【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【分析】由弦長公式得，當(dāng)圓心到直線的距離等于d時，通過|AB|，解此不等式求出k的取值范圍【解答】解：由于圓（x1）2+（y1）2=1則圓心（1，1），半徑為1，設(shè)圓心（1，1）到直線y=kx+1的距離為d，由弦長公式得，|AB|=2，故d2，即，化簡得 （k1）（k+1）0，1k1，故選：D10已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A7B7C7D8【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【分析】根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是棱長為2的正方體，去掉兩個三棱錐剩余的部分，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)即可求出它的體積【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是棱長為2的正方體，去掉兩個三棱錐剩余的部分，如圖所示；所以該幾何體的體積為V=V正方體=23××12×2××1×2×2=7故選：A11設(shè)點(diǎn)A（2，3），B（3，2），若直線ax+y+2=0與線段AB沒有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A（，+）B（，）C，D（，+）【考點(diǎn)】兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)【分析】直線ax+y+2=0過定點(diǎn)（0，2），直線ax+y+2=0與線段AB沒有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)（0，2）的直線與線段AB無公共點(diǎn)，作出圖象，由圖求解即可【解答】解：直線ax+y+2=0恒過點(diǎn)M（0，2），且斜率為a，kMA=，kMB=，由圖可知：a且a，a（，），故選B12已知圓O：x2+y2=16和點(diǎn)M（1，2），過點(diǎn)M的圓的兩條弦AC，BD互相垂直，則四邊形ABCD面積的最大值（）A4BC23D25【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【分析】連接OA、OD作OEAC OFBD垂足分別為E、F，推導(dǎo)出四邊形OEPF為矩形，由OA=OC=4，OM=3，求出AC2+BD2=92，由任意對角線互相垂直四邊形的面積等于對角線乘積的，求出當(dāng)AC=BD時，四邊形ABCD的面積取最大值【解答】解：如圖，連接OA、OD作OEAC OFBD垂足分別為E、FACBD四邊形OEPF為矩形已知OA=OC=4，OM=3，設(shè)OE為x，則OF=EP=，AC=2AE=2=2，BD=2DF=2=2，AC2+BD2=92，由此可知AC與BD兩線段的平方和為定值，又任意對角線互相垂直四邊形的面積等于對角線乘積的，當(dāng)AC=BD=時四邊形ABCD的面積最大值=23故選：B二、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，把答案分別填寫在答題卡相應(yīng)位置）13經(jīng)過點(diǎn)（2，3），且斜率為2的直線方程的一般式為2xy+7=0【考點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程；直線的一般式方程【分析】由直線的點(diǎn)斜式方程能夠求出經(jīng)過點(diǎn)（2，3），且斜率為2的直線方程【解答】解：由直線的點(diǎn)斜式方程得：經(jīng)過點(diǎn)（2，3），且斜率為2的直線方程為y3=2（x+2），整理得2xy+7=0，故答案為：2xy+7=014不論a為何實數(shù)，直線（a+3）x+（2a1）y+7=0恒過定點(diǎn)（2，1）【考點(diǎn)】恒過定點(diǎn)的直線【分析】由直線系的知識化方程為（x+2y）a+3xy+7=0，解方程組可得答案【解答】解：直線（a+3）x+（2a1）y+7=0可化為（x+2y）a+3xy+7=0，由交點(diǎn)直線系可知上述直線過直線x+2y=0和3xy+7=0的交點(diǎn)，解方程組可得不論a為何實數(shù)，直線（a+3）x+（2a1）y+7=0恒過定點(diǎn)（2，1）故答案為：（2，1）15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（1，0）為圓心且與直線mxy2m1=0（mR）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x1）2+y2=2【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的切線方程【分析】求出圓心到直線的距離d的最大值，即可求出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解答】解：圓心到直線的距離d=，m=1時，圓的半徑最大為，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x1）2+y2=2故答案為：（x1）2+y2=216已知三棱錐SABC所在頂點(diǎn)都在球O的球面上，且SC平面ABC，若SC=AB=AC=1，BAC=120°，則球O的表面積為5【考點(diǎn)】球的體積和表面積【分析】求出BC，可得ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積【解答】解：AB=1，AC=1，BAC=120°，BC=，三角形ABC的外接圓直徑2r=2，r=1，SC面ABC，SC=1，三角形OSC為等腰三角形，該三棱錐的外接球的半徑R=，該三棱錐的外接球的表面積為S=4R2=4×（）2=5故答案為：5三、解答題（共6小題，滿分70分）17如圖，在四棱錐SABCD中，底面四邊形ABCD平行四邊形，AD平面SAB（1）若SA=3，AB=4，SB=5，求證：SA平面ABCD（2）若點(diǎn)E是SB的中點(diǎn)，求證：SD平面ACE【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)可證SAAD，利用已知及勾股定理可證SAAB，即可證明SA平面ABCD，（2）連接BD，設(shè)ACBD=O，連接OE，可得BO=OD，BE=ES，可證SDOE，即可證明SD平面ACE【解答】證明：（1）AD平面SAB，SA平面SAB，SAAD，SA=3，AB=4，SB=5，SA2+AB2=SB2，即SAAB，又ABAD=A，SA平面ABCD（2）連接BD，設(shè)ACBD=O，連接OE，BO=OD，BE=ES，SDOE，又SD平面ACE，OE平面ACE，SD平面ACE18如圖，在ABC中，BC邊上的高所在的直線方程為x2y+1=0，A的平分線所在的直線方程為y=0，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)【考點(diǎn)】兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)解A點(diǎn)，再解出AC的方程，進(jìn)而求出BC方程，解出C點(diǎn)坐標(biāo)逐步解答【解答】解：點(diǎn)A為y=0與x2y+1=0兩直線的交點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）kAB=1又A的平分線所在直線的方程是y=0，kAC=1直線AC的方程是y=x1而BC與x2y+1=0垂直，kBC=2直線BC的方程是y2=2（x1）由y=x1，y=2x+4，解得C（5，6）點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（1，0）和（5，6）19如圖，在四棱錐PABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DCAB，BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E為PA的中點(diǎn)（1）若正視方向與AD平行，作出該幾何體的正視圖并求出正視圖面積；（2）證明：平面CDE平面PAB【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；簡單空間圖形的三視圖【分析】（1）沿AD方向看到的面為平面PAB在平面PCD上的投影，從而可得主視圖；（2）先證明AB平面PAD得出ABDE，再證明DEPA可得DE平面PAB，故而平面CDE平面PAB【解答】解（1）正視圖如下：主視圖面積S=4cm2（2）PD底面ABCD，AB平面ABCD，PDAB，ABAD，PD平面PAD，AD平面PAD，PDAD=D，AB平面PAD，又DE平面PAD，DEAB，E是PA的中點(diǎn)，AD=PD，DEPA，又AB平面PAB，PA平面PAB，PAAB=A，DE平面PAB，又DE平面CDE，平面CDE平面PAB20如圖，已知圓C的方程為：x2+y2+x6y+m=0，直線l的方程為：x+2y3=0（1）求m的取值范圍；（2）若圓與直線l交于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實數(shù)m的值【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，若為圓，須有，解出即可；（2）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），由題意得OP、OQ所在直線互相垂直，即kOPkOQ=1，亦即x1x2+y1y2=0，根據(jù)P、Q在直線l上可變?yōu)殛P(guān)于y1、y2的表達(dá)式，聯(lián)立直線方程、圓的方程，消掉x后得關(guān)于y的二次方程，將韋達(dá)定理代入上述表達(dá)式可得m的方程，解出即可；【解答】解：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，依題意得：，即m，故m的取值范圍為（，）；（2）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），由題意得：OP、OQ所在直線互相垂直，則kOPkOQ=1，即，所以x1x2+y1y2=0，又因為x1=32y1，x2=32y2，所以（32y1）（32y2）+y1y2=0，即5y1y26（y1+y2）+9=0，將直線l的方程：x=32y代入圓的方程得：5y220y+12+m=0，所以y1+y2=4，代入式得：，解得m=3，故實數(shù)m的值為321如圖在四棱錐PABCD中，底面ABCD是等腰梯形，且PA平面ABCD，AB=AD=CD=1，BAD=120°，PA=平行四邊形T，Q，M，N的四個頂點(diǎn)分別在棱PC、PA、AB、BC的中點(diǎn)（1）求證：四邊形TQMN是矩形；（2）求四棱錐CTQMN的體積【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】（1）先利用中位線定理證明四邊形為平行四邊形，再證明AC平面PAB，得出MNMQ，故而得出結(jié)論；（2）先求出三棱錐TCMN的體積，則VCTQMN=2VCTMN=2VTCMN【解答】證明：（1）連接AC，Q，T，M，N分別是PA，PC，AB，BC的中點(diǎn)，QTAC，MNAC，QTMN，四邊形TQMN是平行四邊形，PA平面ABCD，AC平面ABCD，PAAC，四邊形ABCD是等腰梯形，AB=AD=CD=1，BAD=120°，AC=，BC=2，AB2+AC2=BC2，ABAC，又PA平面PAB，AB平面PAB，PAAB=A，AC平面PAB，MQ平面PAB，ACMQ，又MNAC，MNMQ，四邊形TQMN是矩形（2）PA=，T為PC的中點(diǎn)，T到平面ABCD的距離h=，CN=1，MN=AC=，ABC=60°，MNC=150°，VCTQMN=2VCTMN=2VTCMN=SCMNh=××1××sin150°×=22平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線xy+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長為（1）求圓O的方程；（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長最小時，求直線l的方程；（3）設(shè)M，P是圓O上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點(diǎn)（m，0）和（n，0），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用；直線與圓相交的性質(zhì)【分析】（1）求出O點(diǎn)到直線xy+1=0的距離，進(jìn)而可求圓O的半徑，即可得到圓O的方程；（2）設(shè)直線l的方程，利用直線l與圓O相切，及基本不等式，可求DE長最小時，直線l的方程；（3）設(shè)M（x1，y1），P（x2，y2），則N（x1，y1），求出直線MP、NP分別與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可求mn的值【解答】解：（1）因為O點(diǎn)到直線xy+1=0的距離為，所以圓O的半徑為，故圓O的方程為x2+y2=2 （2）設(shè)直線l的方程為，即bx+ayab=0，由直線l與圓O相切，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號，此時直線l的方程為x+y2=0（3）設(shè)M（x1，y1），P（x2，y2），則N（x1，y1），直線MP與x軸交點(diǎn)，直線NP與x軸交點(diǎn)，=2，故mn為定值2 xx12月15日