2022年高二上學期期中數(shù)學試卷（理科） 含解析(VI)一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分）1已知A（2，1），B（1，b），|AB|=5，則b=（）A3B5C3或5D3或12已知直線l經(jīng)過點A（1，2），B（3，2），則直線l的方程是（）Ax+y+1=0Bxy+1=0Cx+2y+1=0Dx+2y1=03設拋物線的頂點在原點，準線方程為x=2，則拋物線的方程是（）Ay2=8xBy2=4xCy2=8xDy2=4x4與兩圓x2+y2+2y4=0和x2+y24x16=0都相切的直線有（）A1條B2條C3條D4條5平移直線xy+1=0使其與圓（x2）2+（y1）2=1相切，則平移的最短距離為（）A1B2CD +16直線y2=mx+m經(jīng)過一定點，則該點的坐標是（）A（2，2）B（2，1）C（1，2）D（2，1）7若直線xy=2被圓（xa）2+y2=4所截得的弦長為，則實數(shù)a的值為（）A1或B1或3C2或6D0或48圓x2+（y1）2=1被直線x+y=0分成兩段圓弧，則較長弧長與較短弧長之比為（）A1：1B2：1C3：1D4：19過點（2，2）且與雙曲線y2=1有相同漸近線的雙曲線的方程是（）ABCD10拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是（）ABCD011已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是（）ABCD12設F1（c，0）、F2（c，0）是橢圓+=1（ab0）的兩個焦點，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點，若PF1F2=5PF2F1，則橢圓的離心率為（）ABCD二、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分）13與直線y=x+3平行，且過點（3，1）的直線方程為14已知點P（x，y）在圓x2+y2=1上運動，則的最大值為15已知F1、F2是橢圓+y2=1的兩個焦點，P是該橢圓上的一個動點，則|PF1|PF2|的最大值是16若雙曲線=1的左焦點在拋物線y2=2px的準線上，則p的值為三、計算題（本大題共6小題，共70分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17已知直線l1：axy+2a=0，l2：（2a3）x+ay+a=0（1）若l1l2，求實數(shù)a的值；（2）若l1l2，求實數(shù)a的值18是否存在過點（5，4）的直線l，使它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5？若存在，求出直線l的方程（化成直線方程的一般式）；若不存在，說明理由19已知x2+y24x2yk=0表示圖形為圓（1）若已知曲線關于直線x+y4=0的對稱圓與直線6x+8y59=0相切，求實數(shù)k的值；（2）若k=15，求過該曲線與直線x2y+5=0的交點，且面積最小的圓的方程20平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：（ab0）右焦點的直線x+y=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為（）求M的方程（）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值21已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1（2，0），點B（2，）在橢圓C上，直線y=kx（k0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N（）求橢圓C的方程；（）在x軸上是否存在點P，使得無論非零實數(shù)k怎樣變化，總有MPN為直角？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由22已知拋物線C：y2=2px（p0）的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點，且|MN|=8（1）求拋物線C的方程；（2）設直線l為拋物線C的切線，且lMN，P為l上一點，求的最小值參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分）1已知A（2，1），B（1，b），|AB|=5，則b=（）A3B5C3或5D3或1【考點】兩點間的距離公式【分析】由題意可得|AB|=5，化簡可得b22b15=0，解之即可【解答】解：由題意可得|AB|=5，平方化簡可得b22b15=0，即（b+3）（b5）=0，解得b=3，或b=5，故選C2已知直線l經(jīng)過點A（1，2），B（3，2），則直線l的方程是（）Ax+y+1=0Bxy+1=0Cx+2y+1=0Dx+2y1=0【考點】直線的兩點式方程【分析】直接寫出直線的兩點式方程，化為一般式得答案【解答】解：A（1，2），B（3，2），過A，B兩點的直線方程為 =，整理得：x+y+1=0故選：A3設拋物線的頂點在原點，準線方程為x=2，則拋物線的方程是（）Ay2=8xBy2=4xCy2=8xDy2=4x【考點】拋物線的簡單性質【分析】根據(jù)拋物線的頂點在原點，準線方程為x=2，可設拋物線的方程為y2=2px（p0），從而可求拋物線的方程【解答】解：拋物線的頂點在原點，準線方程為x=2可設拋物線的方程為y2=2px（p0）=22p=8拋物線的方程為y2=8x故選C4與兩圓x2+y2+2y4=0和x2+y24x16=0都相切的直線有（）A1條B2條C3條D4條【考點】圓的切線方程【分析】確定兩圓圓心距為等于半徑的差，所以兩圓內(nèi)切，即可得出結論【解答】解：圓x2+y2+2y4=0可化為x2+（y+1）2=5，圓心坐標為（0，1），半徑為x2+y24x16=0可化為（x2）2+y2=20，圓心坐標為（2，0），半徑為2兩圓圓心距為等于半徑的差，所以兩圓內(nèi)切，與兩圓x2+y2+2y4=0和x2+y24x16=0都相切的直線有1條，故選A5平移直線xy+1=0使其與圓（x2）2+（y1）2=1相切，則平移的最短距離為（）A1B2CD +1【考點】直線與圓的位置關系【分析】設直線方程xy+c=0，則圓心（2，1）到xy+c=0的距離為=1，求出c，再求平移的最短距離【解答】解：設直線方程xy+c=0，則圓心（2，1）到xy+c=0的距離為=1，c=1±，平移的最短距離為=1，故選：A6直線y2=mx+m經(jīng)過一定點，則該點的坐標是（）A（2，2）B（2，1）C（1，2）D（2，1）【考點】恒過定點的直線【分析】直線y2=mx+m的方程可化為m（x+1）y+2=0，根據(jù)x=1，y=2時方程恒成立，可直線過定點的坐標【解答】解：直線y2=mx+m的方程可化為m（x+1）y+2=0當x=1，y=2時方程恒成立故直線y2=mx+m恒過定點（1，2），故選：C7若直線xy=2被圓（xa）2+y2=4所截得的弦長為，則實數(shù)a的值為（）A1或B1或3C2或6D0或4【考點】直線與圓相交的性質【分析】由圓的方程，得到圓心與半徑，再求得圓心到直線的距離，由求解【解答】解：圓（xa）2+y2=4圓心為：（a，0），半徑為：2圓心到直線的距離為：解得a=4，或a=0故選D8圓x2+（y1）2=1被直線x+y=0分成兩段圓弧，則較長弧長與較短弧長之比為（）A1：1B2：1C3：1D4：1【考點】直線與圓的位置關系【分析】先求出圓心（0，1），半徑r=1，圓心（0，1）到直線x+y=0的距離d=，從而得到圓x2+（y1）2=1被直線x+y=0所截弦長|AB|=，由此能求出較長弧長與較短弧長之比【解答】解：圓x2+（y1）2=1的圓心（0，1），半徑r=1，圓心（0，1）到直線x+y=0的距離d=，設直線x+y=0與圓x2+（y1）2=1交于A、B兩點，圓x2+（y1）2=1被直線x+y=0所截弦長|AB|=2=，AOB=90°，圓x2+（y1）2=1被直線x+y=0分成兩段圓弧，則較長弧長與較短弧長之比為3：1故選：C9過點（2，2）且與雙曲線y2=1有相同漸近線的雙曲線的方程是（）ABCD【考點】雙曲線的簡單性質【分析】設所求的雙曲線方程是 =k，由點P（2，2）在雙曲線方程上，求出k值，即得所求的雙曲線方程【解答】解：由題意知，可設所求的雙曲線方程是=k，點P（2，2）在雙曲線方程上，所以，k=2，故所求的雙曲線方程是，故選B10拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是（）ABCD0【考點】拋物線的簡單性質【分析】令M（x0，y0），則由拋物線的定義得，解得答案【解答】解：拋物線的標準方程為，準線方程為，令M（x0，y0），則由拋物線的定義得，即故選：B11已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是（）ABCD【考點】直線與圓錐曲線的關系；直線的斜率；雙曲線的簡單性質【分析】雙曲線的漸近線方程是y=，過右焦點F（4，0）分別作兩條漸近線的平行線l1和l2，由圖形可知，符合條件的直線的斜率的范圍是【解答】解：雙曲線的漸近線方程是y=，右焦點F（4，0），過右焦點F（4，0）分別作兩條漸近線的平行線l1和l2，由圖形可知，符合條件的直線的斜率的范圍是故選C12設F1（c，0）、F2（c，0）是橢圓+=1（ab0）的兩個焦點，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點，若PF1F2=5PF2F1，則橢圓的離心率為（）ABCD【考點】橢圓的簡單性質【分析】根據(jù)題意可知F1PF2=90°，PF1F2=5PF2F1，進而求得PF1F2和PF2F1，在RtPF1F2分別表示出|PF1|和|PF2|，進而根據(jù)橢圓的定義表示出a，進而求得a和c的關系，即橢圓的離心率【解答】解：P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點，F(xiàn)1PF2=90°PF1F2=5PF2F1，PF1F2=15°，PF2F1=75°|PF1|=|F1F2|sinPF2F1=2csin75°，|PF2|=|F1F2|sinPF1F2=2csin15°，2a=|PF1|+|PF2|=2csin75°+2csin15°=4csin45°cos30°=ca=ce=故選B二、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分）13與直線y=x+3平行，且過點（3，1）的直線方程為3x2y11=0【考點】直線的一般式方程與直線的平行關系【分析】設要求的直線方程為：y=x+m，把點（3，1）代入直線方程即可得出【解答】解：設要求的直線方程為：y=x+m，把點（3，1）代入直線方程可得：1=+m，解得m=要求的直線方程為：y=x，即3x2y11=0故答案為：3x2y11=014已知點P（x，y）在圓x2+y2=1上運動，則的最大值為【考點】直線與圓的位置關系【分析】設=k，則kxy+2k=0，根據(jù)圓心（0，0）到直線kxy+2k=0的距離小于等于1，利用距離公式求出k的最大值【解答】解：設=k，則kxy+2k=0點P（x，y）在圓x2+y2=1上運動，圓心（0，0）到直線kxy+2k=0的距離小于等于1，1，k，的最大值為，故答案為15已知F1、F2是橢圓+y2=1的兩個焦點，P是該橢圓上的一個動點，則|PF1|PF2|的最大值是4【考點】橢圓的應用【分析】|PF1|PF2|=（aex）（a+ex）=a2e2x2，由此可求出|PF1|PF2|的最大值【解答】解：由焦半徑公式|PF1|=aex，|PF2|=a+ex|PF1|PF2|=（aex）（a+ex）=a2e2x2則|PF1|PF2|的最大值是a2=4答案：416若雙曲線=1的左焦點在拋物線y2=2px的準線上，則p的值為4【考點】圓錐曲線的共同特征【分析】先根據(jù)雙曲線的方程表示出左焦點坐標，再由拋物線的方程表示出準線方程，最后根據(jù)雙曲線的左焦點在拋物線y2=2px的準線上可得到關系式，求出p的值【解答】解：雙曲線的左焦點坐標為：，拋物線y2=2px的準線方程為，所以，解得：p=4，故答案為4三、計算題（本大題共6小題，共70分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17已知直線l1：axy+2a=0，l2：（2a3）x+ay+a=0（1）若l1l2，求實數(shù)a的值；（2）若l1l2，求實數(shù)a的值【考點】直線的一般式方程與直線的平行關系；直線的一般式方程與直線的垂直關系【分析】（1）先求出兩直線的法向量，由l1l2所以得a2+2a3=0，從而解得a的值最后經(jīng)檢驗滿足 l1l2 （2）由得a（2a3）a=0，即可求得a的值【解答】解：（1）直線l1的法向量為，直線l2的法向量為因l1l2所以即a2+2a3=0得a=3或1經(jīng)檢驗均符合題意，故a=3或1（2）故a（2a3）a=0，a=0或218是否存在過點（5，4）的直線l，使它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5？若存在，求出直線l的方程（化成直線方程的一般式）；若不存在，說明理由【考點】直線的一般式方程【分析】假設存在過點（5，4）的直線l，使它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5，設直線l的方程為： +=1，代入點（5，4）可得4a+5b+ab=0由于S=|ab|=5，化為|ab|=10聯(lián)立解得即可判斷存在性【解答】解：假設存在過點（5，4）的直線l，使它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5，設直線l的方程為： +=1，則+=1即4a+5b+ab=0S=|ab|=5，化為|ab|=10聯(lián)立，解得或故存在直線l的方程，且為：8x5y+20=0或2x5y10=019已知x2+y24x2yk=0表示圖形為圓（1）若已知曲線關于直線x+y4=0的對稱圓與直線6x+8y59=0相切，求實數(shù)k的值；（2）若k=15，求過該曲線與直線x2y+5=0的交點，且面積最小的圓的方程【考點】直線與圓的位置關系【分析】（1）根據(jù)兩個圓心關于直線對稱關系，求出對稱圓心的坐標，再由對稱圓與6x+8y59=0相切，即圓心到直線的距離等于半徑求出圓的半徑r，即可求出k；（2）先設圓心A坐標并把k代入已知方程配方后求A的坐標，由A在x2y+5=0上時此圓的面積最小，兩個圓心的連線與直線垂直，利用斜率之積等于1和A在直線上列出方程組求圓心的坐標，再利用弦心距、半徑和弦的一半關系求出半徑【解答】解：（1）已知圓的方程為（x2）2+（y1）2=5+k（k5），可知圓心為（2，1），設它關于y=x+4的對稱點為（x1，y1），則，解得，點（3，2）到直線6x+8y59=0的距離為，即，（2）當k=15時，圓的方程為（x2）2+（y1）2=20設所求圓的圓心坐標為（x0，y0）已知圓的圓心（2，1）到直線x2y+5=0的距離為，則，所求圓的方程為（x1）2+（y3）2=1520平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：（ab0）右焦點的直線x+y=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為（）求M的方程（）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值【考點】直線與圓錐曲線的關系；直線的一般式方程與直線的垂直關系【分析】（）把右焦點（c，0）代入直線可解得c設A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點P（x0，y0），利用“點差法”即可得到a，b的關系式，再與a2=b2+c2聯(lián)立即可得到a，b，c（）由CDAB，可設直線CD的方程為y=x+t，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，即可得到弦長|CD|把直線x+y=0與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，即可得到弦長|AB|，利用S四邊形ACBD=即可得到關于t的表達式，利用二次函數(shù)的單調性即可得到其最大值【解答】解：（）把右焦點（c，0）代入直線x+y=0得c+0=0，解得c=設A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點P（x0，y0），則，相減得，又=，即a2=2b2聯(lián)立得，解得，M的方程為（）CDAB，可設直線CD的方程為y=x+t，聯(lián)立，消去y得到3x2+4tx+2t26=0，直線CD與橢圓有兩個不同的交點，=16t212（2t26）=728t20，解3t3（*）設C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=聯(lián)立得到3x24x=0，解得x=0或，交點為A（0，），B，|AB|=S四邊形ACBD=，當且僅當t=0時，四邊形ACBD面積的最大值為，滿足（*）四邊形ACBD面積的最大值為21已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1（2，0），點B（2，）在橢圓C上，直線y=kx（k0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N（）求橢圓C的方程；（）在x軸上是否存在點P，使得無論非零實數(shù)k怎樣變化，總有MPN為直角？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由【考點】橢圓的簡單性質【分析】（）由題意可設橢圓標準方程為+=1（ab0），結合已知及隱含條件列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a2，b2的值，則橢圓方程可求；（）設F（x0，y0），E（x0，y0），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過定點（±2，0），即可判斷存在點P【解答】解：（）由題意可設橢圓方程為+=1（ab0），則c=2，a2b2=c2， +=1，解得：a2=8，b2=4可得橢圓C的方程為+=1；（）如圖，設F（x0，y0），E（x0，y0），則+=1，A（2，0），AF所在直線方程y=（x+2），取x=0，得y=，N（0，），AE所在直線方程為y=（x+2），取x=0，得y=則以MN為直徑的圓的圓心坐標為（0，），半徑r=，圓的方程為x2+（y）2=，即x2+（y+）2=取y=0，得x=±2可得以MN為直徑的圓經(jīng)過定點（±2，0）可得在x軸上存在點P（±2，0），使得無論非零實數(shù)k怎樣變化，總有MPN為直角22已知拋物線C：y2=2px（p0）的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點，且|MN|=8（1）求拋物線C的方程；（2）設直線l為拋物線C的切線，且lMN，P為l上一點，求的最小值【考點】拋物線的簡單性質【分析】（1）過點F且斜率為1的直線代入拋物線，利用|MN|=8，可得x1+x2+p=8，即可求拋物線C的方程；（2）設l方程為y=x+b，代入y2=4x，利用直線l為拋物線C的切線，求出b，再利用向量的數(shù)量積公式求，利用配方法可求最小值【解答】解：（1）由題可知，則該直線方程為：，代入y2=2px（p0）得：，設M（x1，y1），N（x2，y2），則有x1+x2=3p|MN|=8，x1+x2+p=8，即3p+p=8，解得p=2拋物線的方程為：y2=4x（2）設l方程為y=x+b，代入y2=4x，得x2+（2b4）x+b2=0，l為拋物線C的切線，=0，解得b=1，l：y=x+1由（1）可知：x1+x2=6，x1x2=1設P（m，m+1），則=x1+x2=6，x1x2=1，y1y2=4，=2m24m3=2（m2）2714當且僅當m=2時，即點P的坐標為（2，3）時，的最小值為14xx12月10日