三　反證法與放縮法 　1.理解反證法在證明不等式中的作用，掌握用反證法證明不等式的方法． 2．掌握放縮法證明不等式的原理，并會用其證明不等式． ,　　　　　　　　[學(xué)生用書P32]) 1．反證法 證明不等式時，首先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立．我們把它稱之為反證法． 2．放縮法 證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法． 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)反證法可歸結(jié)為下面的步驟：反設(shè)、歸謬、存真．(　　) (2)利用放縮法時，要依據(jù)需要適當(dāng)放縮，不能過度．(　　) (3)假設(shè)欲證的命題是“若A，則B”，我們可以通過否定A來達到肯定B的目的．(　　) (4)放縮法的實質(zhì)是等價轉(zhuǎn)化，有一定的準則和程序．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．用反證法證明命題“如果a>b，那么>”時，假設(shè)的內(nèi)容是(　　) A．＝　　 B．< C．＝，且< D．＝或< 答案：D 3．實數(shù)a，b，c不全為0的等價條件為(　　) A．a(chǎn)，b，c均不為0 B．a(chǎn)，b，c中至多有一個為0 C．a(chǎn)，b，c中至少有一個為0 D．a(chǎn)，b，c中至少有一個不為0 答案：D 4．設(shè)n∈N*，則有真分數(shù)不等式<<<…<<______；假分數(shù)不等式2>>>…>>______． 答案：　 　利用反證法證明不等式[學(xué)生用書P33] 　已知0<x<2，0<y<2，0<z<2，求證x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1. 【證明】　假設(shè)x(2－y)>1，y(2－z)>1，z(2－x)>1均成立，則三式相乘得xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1.① 因為0<x<2， 所以0<x(2－x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1， 同理，0<y(2－y)≤1，0<z(2－z)≤1， 所以三式相乘得0<xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1，② ②與①矛盾，故假設(shè)不成立． 所以x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1. 用反證法證明不等式的策略 (1)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證；否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法．　 (2)用反證法證明不等式，其實質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出與已知條件或公理相矛盾的結(jié)論，從而肯定原命題成立． 　1.已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列． 求證：，，不成等差數(shù)列． 證明：假設(shè)，，成等差數(shù)列，則＋＝2，即a＋c＋2＝4b， 又三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，所以b2＝ac，即b＝. 所以a＋c＋2＝4，即a＋c－2＝0， 所以(－)2＝0，所以＝，即a＝c. 從而a＝b＝c，這與已知中a，b，c不成等差數(shù)列矛盾， 所以原假設(shè)錯誤，故，，不成等差數(shù)列． 2．若a，b，c均為實數(shù)，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋，求證：a，b，c中至少有一個大于零． 證明：假設(shè)a，b，c都不大于0， 即a≤0，b≤0，c≤0， 所以a＋b＋c≤0，而a＋b＋c ＝＋＋ ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， 所以a＋b＋c>0，這與a＋b＋c≤0矛盾， 故a，b，c中至少有一個大于0. 　利用放縮法證明不等式[學(xué)生用書P33] 　已知a，b，c∈R，求證：＋≥a＋b＋c. 【證明】　因為＝ ， ＝ ， 所以≥ ＝≥a＋. ≥ ＝≥c＋. 所以＋≥a＋b＋c. 放縮法證明不等式的技巧 放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，如將A放大成C，即A<C，后證C<B. 常用的放縮技巧有 (1)舍掉(加進)一些項． (2)在分式中放大(縮小)分子(分母)． (3)應(yīng)用基本不等式進行放縮． 　 　1.設(shè)x>0，y>0，A＝，B＝＋，則A，B的大小關(guān)系為(　　) A．A＝B B．A<B C．A≤B D．A>B 解析：選B.因為x>0，y>0，所以B＝＋>＋＝＝A. 2．已知n∈N＋，求證：＋＋…＋<. 證明：由基本不等式，得<＝， 所以＋＋…＋<＋＋…＋＝＝＝<， 故原不等式成立． 1．常見的涉及反證法的文字語言及其相對應(yīng)的否定假設(shè) 常見詞語 至少有一個 至多有一個 唯一一個 不是 不可能 全 都是否定 假設(shè) 一個也沒有 有兩個或兩個以上 沒有或有兩個或兩個以上 是 有或存在 不全 不都是 2.放縮法證明不等式的理論依據(jù) (1)不等式的傳遞性． (2)等量加不等量為不等量． (3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較． 3．放縮法證明不等式常用的技巧 (1)增項或減項． (2)在分式中增大或減小分子或分母． (3)應(yīng)用重要不等式放縮，如a2＋b2≥2ab，≤，ab≤，≥(a，b，c>0)． (4)利用函數(shù)的單調(diào)性等． 1．求證：<＋＋…＋<1(n>1，n∈N＋)． 證明：因為n>1，n∈N＋， 所以＋＋…＋<＋＋…＋＝1， ＋＋…＋>＋＋…＋＝， 所以原不等式成立． 2．已知x>0，y>0，且x＋y>2，求證與中至少有一個小于2. 證明：假設(shè)與均不小于2，即≥2， ≥2， 所以1＋x≥2y，1＋y≥2x. 將兩式相加得x＋y≤2， 與已知的x＋y>2矛盾，故假設(shè)不成立， 即與中至少有一個小于2. 6