2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 文（含解析）【試卷綜評】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察，覆蓋面廣，注重數(shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測評學(xué)生，有利于學(xué)生自我評價，有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學(xué)生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應(yīng)用，同時對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。一、選擇題。每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意。（本題共12小題，共60分。）【題文】1、設(shè)集合（ ） A B C DR【知識點】交集及其運算.A1 【答案解析】C 解析：因為所以化簡可得集合，故，故選C.【思路點撥】把原集合化簡后求出交集即可.【題文】2、復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）A B4 C1D一1【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算L4 【答案解析】B 解析：復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，解得：a=4故選B【思路點撥】化簡復(fù)數(shù)為a+bi（a，bR），然后由復(fù)數(shù)的實部等于零且虛部不等于0求出實數(shù)的值.【題文】3設(shè)向量，若，則（ ）A B C D【知識點】兩個向量共線的充要條件.F2 【答案解析】D 解析：因為，所以，解得，故選D.【思路點撥】直接利用兩個向量共線的充要條件即可.【題文】4、四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論： y與x負(fù)相關(guān)且； y與x負(fù)相關(guān)且； y與x正相關(guān)且； y與x正相關(guān)且.其中一定不正確的結(jié)論的序號是 ( )A B C D 【知識點】正負(fù)相關(guān)的概念.I4 【答案解析】D 解析：根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念可知是正確的，是不正確的，故選D.【思路點撥】根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念可知結(jié)果.【題文】5、若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ） A B C D 【知識點】橢圓與拋物線的性質(zhì).H5 H7 【答案解析】B 解析：因為橢圓中滿足，則，故橢圓的右焦點坐標(biāo)為，所以，故選B.【思路點撥】先求出橢圓的右焦點坐標(biāo)，再求p的之即可.【題文】6、設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)有零點的區(qū)間是（）. B C. D. 【知識點】函數(shù)的零點.B9 【答案解析】D 解析：因為，則，所以使函數(shù)有零點的區(qū)間是，故選D.【思路點撥】判斷區(qū)間端點值的符號，乘積為異號即滿足條件.【題文】7、閱讀如下程序框圖，如果輸出，那么空白的判斷框中應(yīng)填人的條件是 ( ) A. S<8? B. S<12? C. S<14? D. S<16?【知識點】程序框圖.L4 【答案解析】B 解析：框圖首先給變量S和i賦值S=0，i=1，執(zhí)行i=1+1=2，判斷2是奇數(shù)不成立，執(zhí)行S=0+2=2，不滿足輸出條件，故判斷框內(nèi)條件成立，執(zhí)行i=2+1=3，判斷3是奇數(shù)成立，執(zhí)行S=2+2×3=8，不滿足輸出條件，故判斷框內(nèi)條件成立，執(zhí)行i=3+1=4，判斷4是奇數(shù)不成立，執(zhí)行S=8+4=12，滿足輸出條件，故此時在判斷時判斷框中的條件應(yīng)該不成立，而此時的S的值是12，結(jié)合上一次S的值為8，故判斷框中的條件應(yīng)S12故選：B【思路點撥】由框圖給出的賦值，先執(zhí)行一次運算i=i+1，然后判斷得到的i的奇偶性，是奇數(shù)執(zhí)行S=2*i+2，是偶數(shù)執(zhí)行S=2*i+1，然后判斷S的值是否滿足判斷框中的條件，滿足繼續(xù)從i=i+1執(zhí)行，不滿足跳出循環(huán)，輸出i的值【題文】8、 已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A函數(shù)的最小正周期為 B函數(shù)的最大值為1C將函數(shù)的圖象向右平移單位后得的圖象D將函數(shù)的圖象向左平移單位后得的圖象【知識點】三角函數(shù)的周期、最值；圖像的平移.C3 【答案解析】C 解析：因為，所以其最小正周期為，最大值為，故A,B錯誤；又因為，所以將函數(shù)的圖象向右平移單位后得的圖象，排除D,故選C.【思路點撥】先化簡，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)排除A、B，然后結(jié)合平移排除D即可.【題文】9、某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 m(如圖)，則旗桿的高度為()A10 m B30 m C10 m D10 m【知識點】解三角形的實際應(yīng)用C8 【答案解析】B 解析：如圖所示，依題意可知AEC=45°，ACE=180°-60°-15°=105°EAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理可知，米,在RtABC中，米，所以旗桿的高度為30米.故選B【思路點撥】先畫出示意圖，根據(jù)題意可求得PCB和PEC，轉(zhuǎn)化為CPB，然后利用正弦定理求得BP，最后在RtBOP中求出OP即可【題文】10、直線與圓相切，則圓的半徑最大時，的值是（ ）A B C D可為任意非零實數(shù)【知識點】直線與圓相切的條件；基本不等式.H4 E6 【答案解析】C 解析：因為直線與圓相切，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，故選C.【思路點撥】先根據(jù)直線與圓相切得到，再利用基本不等式求出當(dāng)半徑最大時的值即可.【題文】11、已知是球的球面上三點，三棱錐O-ABC的高為，且，則球的表面積為( )A B C D【知識點】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體G8 【答案解析】C 解析：由題意是球的球面上三點，三棱錐O-ABC的高為，且，即，可知底面三角形是直角三角形，斜邊中點與球心的連線，就是棱錐的高，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：故選B【思路點撥】由題意判斷球心與三棱錐的底面的位置關(guān)系，求出球的半徑，即可求出球的表面積【題文】12、定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時，則（ ）A B C D【知識點】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的周期性.B4 【答案解析】A 解析：因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又因為，所以，所以函數(shù)的周期為2,當(dāng)時，令，則，即的解析式為：，因為，故，故選A.【思路點撥】先根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)為奇函數(shù)和周期為2的奇函數(shù)，再求出的解析式后代入數(shù)值即可.二、填空題。（每小題5分，共20分）【題文】13、已知命題，使成立，則 【知識點】特稱命題；命題的否定A2 【答案解析】，成立 解析：命題，使成立，其p是，成立，答案為：，成立【思路點撥】本題中的命題是一個特稱命題，其否定是全稱命題，依據(jù)特稱命題的否定書寫形式寫出命題的否定即可【題文】14、已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ?！局R點】由三視圖求面積、體積G2 【答案解析】 解析：由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的高為3，底面三角形的一條邊長為3，該邊上的高為1，幾何體的體積故答案為：.【思路點撥】由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的高為3，底面三角形的一條邊長為3，該邊上的高為1，把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計算可得答案【題文】15、已知等差數(shù)列中，那么 。【知識點】兩角和與差的余弦函數(shù)；等差數(shù)列的通項公式C5 D2 【答案解析】 解析：數(shù)列為等差數(shù)列，；又，故答案為.【思路點撥】利用等差中項易求，再求，從而可得答案【題文】16、已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ?！局R點】絕對值不等式；不等式恒成立問題.E2 【答案解析】 解析：因為，所以，當(dāng)時，恒成立，即在時恒成立，故；當(dāng)時，恒成立，即在時恒成立，即，矛盾舍去.綜上所述：，故答案為：.【思路點撥】結(jié)合已知條件先去絕對值然后轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題即可.三、解答題（解答應(yīng)寫出必要的演算過程或文字說明。本大題共6小題，共70分。）【題文】17、（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（）求圓C的極坐標(biāo)方程；（）直線的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交點為O、P，與直線的交點為Q，求線段PQ的長【知識點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；直線與圓的位置關(guān)系H4 N3 【答案解析】（）（） 2解析：（）圓C的普通方程為，化為極坐標(biāo)方程為（）法一：由；由 從而法二：直線，射線由；：由從而由兩點間距離公式得【思路點撥】（）由圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)可得：代入化簡即可得到此圓的極坐標(biāo)方程（）由直線l的極坐標(biāo)方程是，射線OM：分別與圓的方程聯(lián)立解得交點，再利用兩點間的距離公式即可得出【題文】18、（本小題滿分12分）年齡在60歲（含60歲）以上的人稱為老齡人，某小區(qū)的老齡人有350人， 他們的健康狀況如下表：健康指數(shù)210-160歲至79歲的人數(shù)120133341380歲及以上的人數(shù)918149其中健康指數(shù)的含義是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能夠自理”，-1代表“生活不能自理”。（）隨機訪問該小區(qū)一位80歲以下的老齡人，該老人生活能夠自理的概率是多少？（）按健康指數(shù)大于0和不大于0進行分層抽樣，從該小區(qū)的老齡人中抽取5位，并隨機地訪問其中的3位.求被訪問的3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率.?！局R點】古典概型及其概率計算公式K2 【答案解析】（）（） 解析：（）該小區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的頻率為，所以該小區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率約為（）該小區(qū)健康指數(shù)大于0的老齡人共有280人，健康指數(shù)不大于0的老齡人共有70人，由分層抽樣可知，被抽取的5位老齡人中有4位健康指數(shù)大于0，有1位健康指數(shù)不大于0設(shè)被抽取的4位健康指數(shù)大于0的老齡人為1，2，3，4，健康指數(shù)不大于0的老齡人為B從這五人中抽取3人，結(jié)果有10種：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），其中恰有一位老齡人健康指數(shù)不大于0的有6種：（1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），被訪問的3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率為【思路點撥】（）根據(jù)80歲以下老齡人的人數(shù)，即可估計該地區(qū)80歲以下老齡人生活能夠自理的概率（）由分層抽樣方法可得被抽取的5位老齡人中有4位健康指數(shù)大于0，有1位健康指數(shù)不大于0，設(shè)被抽取的4位健康指數(shù)大于0的老齡人為1，2，3，4，健康指數(shù)不大于0的老齡人為B；列舉從這五人中抽取3人的結(jié)果，由古典概型公式計算可得答案【題文】19、（本小題滿分12分）已知數(shù)列與，若且對任意正整數(shù)滿足 數(shù)列的前項和。（）求數(shù)列的通項公式；（）求數(shù)列的前項和【知識點】數(shù)列的求和D4 【答案解析】（）（） 解析：（）由題意知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列 又因為 所以 當(dāng)時，； 當(dāng)時， 對不成立。所以，數(shù)列的通項公式: （）時，時，所以仍然適合上式綜上，【思路點撥】（）依題意知，是以3為首項，公差為2的等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項公式；當(dāng)時，對不成立，于是可求數(shù)列bn的通項公式；（）由（）知當(dāng)時，當(dāng)時，利用裂項法可求得從而可求【題文】20、（本小題滿分12分）如圖，正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面）中，是的中點， 。（） 求證：平面；（）求點到平面的距離。【知識點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定G4 G5 【答案解析】（）見解析（） 解析：證明：連接A1B，設(shè)A1BAB1 = E，連接DE. AA1=AB 四邊形A1ABB1是正方形， E是A1B的中點， 又D是BC的中點， DEA1C. DE平面AB1D，A1C平面AB1D， A1C平面AB1D. （）由體積法【思路點撥】（）取C1B1的中點E，連接A1E，ED，易證平面A1EC平面AB1D，利用面面平行的性質(zhì)即可證得A1C平面AB1D（）由體積轉(zhuǎn)化可得結(jié)果.【題文】21、（本小題滿分12分）已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。（）求雙曲線的方程；（）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點），求實數(shù)的范圍?！局R點】直線與圓錐曲線的綜合問題；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程H6 H8 【答案解析】（）（） 解析：（1）設(shè)雙曲線的方程為 則，再由得故的方程為 （2）將代入，得 由直線與雙曲線C2交于不同的兩點得： 且 設(shè)，則 又，得 即，解得： 由、得：,故的取值范圍為 【思路點撥】（）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)根據(jù)橢圓方程求得雙曲線的左右頂點和焦點，進而求得雙曲線方程中的a和b，則雙曲線方程可得（）將直線代入雙曲線方程消去y，進而根據(jù)判別式求得k的范圍，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式，進而根據(jù)求得關(guān)于k的不等式，求得k的范圍，最后綜合求得答案【題文】22、 （本小題滿分12分）已知函數(shù)。（）求函數(shù)的極值；（）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍?！局R點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值B12 【答案解析】（）和；（） 解析：（） 的定義域為，列表可求得和；（）當(dāng)時，由化簡得令，則化為 當(dāng)，即時，等價于，當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即取等號，此時； 當(dāng)，即時，不等式恒成立，此時； 當(dāng)，即時，等價于，當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即取等號，此時；綜上所述（其他方法也可以，比如轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）【思路點撥】（）求導(dǎo)后再列表即可；（）當(dāng)時，由化簡得，然后利用分類討論的思想方法結(jié)合基本不等式即可.