2022年高二數(shù)學 1、3-4生活中的優(yōu)化問題舉例同步練習 新人教A版選修1-1一、選擇題1將8分解為兩個非負數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為()A2和6B4和4C3和5 D以上都不對答案B解析設一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8x，則yx3(8x)3,0x8，y3x23(8x)2，令y0，即3x23(8x)20，解得x4.當0x<4時，y<0；當4<x8時，y>0，所以x4時，y最小2某箱子的容積與底面邊長的關系為V(x)x2(0<x<60)，則當箱子的容積最大時，箱子底面邊長為()A30 B40C50 D以上都不正確答案B3用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為()A6 B8C10 D12答案B解析設截去的小正方形的邊長為xcm，鐵盒的容積為Vcm3，由題意，得Vx(482x)2(0<x<24)，V12(24x)(8x)令V0，則在(0,24)內有x8，故當x8時，V有最大值4內接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()AR B2RC.R D.R答案C解析設圓錐高為h，底面半徑為r，則R2(Rh)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2，令V0得hR，當0<h<R時，V>0；當R<h<2R時，V<0.因此當hR時，圓錐體積最大，故應選C.5要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積為最大，則高為()A.cm B.cmC.cm D.cm答案D6圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，為了使所用材料最省，它的高與底半徑應為()Ah2R BhRChR Dh答案A7以長為10的線段AB為直徑畫半圓，則它的內接矩形面積的最大值為()A10 B15C25 D50答案C解析如圖，設NOB，則矩形面積S5sin·2·5cos50sin·cos25sin2，故Smax25.8設圓柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面半徑為()A. B.C. D2答案D解析設底面圓半徑為x，高為h，則Vr2h，h.S表2S底S側2r22r·h2r22r·2r2.S表4r，V，又當x(0，)時，S表<0；當x(，V)時，S表>0，當r時，表面積最小9福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時時，原油溫度(單位：)為f(x)x3x28(0x5)，那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A8 B.C1 D8答案C解析瞬時變化率即為f(x)x22x為二次函數(shù)，且f(x)(x1)21，又x0,5，故x1時，f(x)min1.10若一球的半徑為r，作內接于球的圓柱，則其圓柱側面積最大為()A2r2 Br2C4r2 D.r2答案A解析設內接圓柱的底面半徑為r1，高為t，則S2r1t2r124r1.S4.令(r2rr)0得r1r.此時S4·r·4·r·r2r2.二、填空題11把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長為_，寬為_時，矩形的面積最大答案15cm15cm解析設長為xcm，則寬為(30x)cm，此時Sx·(30x)30xx2，S302x0，所以x15.所以長為15cm，寬為15cm時，矩形的面積最大12將長為l的鐵絲剪成2段，各圍成長與寬之比為21及32的矩形，則面積之和的最小值為_答案l2解析設前者寬為x，面積之和為y，則y2x·x(l6x)·(l6x)x2lxl2，yxl，令y0得，xl，yminl2.13做一個容積為256的方底無蓋水箱，它的高為_時最省料答案4解析設底面邊長為x，則高為h，其表面積為Sx24××xx2，S2x，令S0，則x8，則當高h4時S取得最小值14做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27，且用料最小，則圓柱的底面半徑為_答案3解析設圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則VR2L27，L，要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小，S表R22RLR22，S(R)2R0，令S0得R3，當R3時，S表最小三、解答題15某公司規(guī)定：對于小于或等于150件的訂購合同，每件售價為200元，對于多于150件的訂購合同，每超過一件，則每件的售價比原來減少1元，試問訂購多少件的合同將會使公司的收益最大？解析設x表示銷售的件數(shù)，R表示公司的收益，則R等于每件的售價x×銷售件數(shù)，當x>150時，則R200(x150)x350xx2為公司收益，先求R(x)3502x，令R(x)0，得x175時，R有最大值最大收益為R350×175(175)230625，而當一份合同訂購的件數(shù)超過175時，則公司的收益開始減小16如圖，水渠橫斷面為等腰梯形，水的橫斷面面積為S，水面的高為h，問側面與地面成多大角度時，才能使橫斷面被水浸濕的長度最??？解析設浸濕的長度為l，ABCDx，則lBC2xxcos2x(2cos)·x(2cos)·，lh·h·.令l0，即h·0，解得cos.60°.l只有一個極值，它是最小值將60°代入l(2cos)·，解得lminh.當側面與地面成60°角時，才能使橫斷面被水浸濕的長度最小17某廠生產某種產品的固定成本(固定投入)為2500元，已知每生產x件這樣的產品需要再增加可變成本C(x)200xx3(元)，若生產出的產品都能以每件500元售出，要使利潤最大，該廠應生產多少件這種產品？最大利潤是多少？解析設該廠生產x件這種產品利潤為L(x)則L(x)500x2500C(x)500x2500300xx32500(xN)令L(x)300x20，得x60(件)又當0x<60時，L(x)>0x>60時，L(x)<0所以x60是L(x)的極大值點，也是最大值點所以當x60時，L(x)9500元18用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為21，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？解析設長方體的寬為xm，則長為2xm，高為h4.53x(m)，故長方體的體積為V(x)2x2(4.53x)9x26x3.因為V(x)18x18x218x(1x)，令V(x)0，所以x0(舍)或x1.當0<x<1時，V(x)>0，當1<x<時，V(x)<0.故當x1時，V(x)取最大值，并且最大體積為V(1)3(m3)此時長方體的寬為1m，長為2m，高為1.5m.