2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五第一講 概率 隨機變量及其分布列教案 理類型一 古典概型古典概型(1)特點：等可能性、有限性；(2)概率求法：P例1(xx年高考江蘇卷改編)設(shè)為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，0；當兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，1.求概率P(0)解析若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過任意1個頂點恰有3條棱，所以共有8C對相交棱，因此P(0).跟蹤訓(xùn)練從1，2，3，4，5中隨機選取一個數(shù)為a，從1，2，3中隨機選取一個數(shù)為b，則a<b的概率為()A.B. C. D.解析：取出的兩個數(shù)用數(shù)對表示，則數(shù)對(a，b)的不同選法共有15種，即：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，其中a<b的情形有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3種，故所求事件的概率P.答案：D類型二 幾何概型1特點：等可能性、無限性2概率求法P(A).例2(xx年高考福建卷)如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為()A.B. C. D.解析利用積分求出陰影部分的面積，應(yīng)用幾何概型的概率計算公式求解S陰影(x)dxxx2，又S正方形OABC1，由幾何概型知，P恰好取自陰影部分的概率為.答案C跟蹤訓(xùn)練(xx年衡陽月考)已知函數(shù)f(x)3x2axb，若a，b都是區(qū)間0，4中任取的一個數(shù)，那么f(1)>0的概率是_解析：由f(1)>0得3ab>0，即ab>3.在0a4，0b4的約束條件下，作出ab>3滿足的可行域，如圖所示，則根據(jù)幾何概型概率公式可得，f(1)>0的概率P.答案：類型三 相互獨立事件的概率與條件概率例3(xx年高考課標全國卷)某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1 000，502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為_解析利用獨立事件和對立事件的概率公式求解設(shè)元件1，2，3的使用壽命超過1 000小時的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)P(B)P(C)，該部件的使用壽命超過1 000小時的事件為(ABAB)C，該部件的使用壽命超過1 000小時的概率P(×××)×.答案跟蹤訓(xùn)練1(xx年長沙師大附中月考)一個盒子里有6支好晶體管，4支壞晶體管，任取兩次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為()A. B. C. D.解析：記“第i(i1，2)支晶體管是好的”為事件Ai(其中i1，2)，依題意知，要求的概率為P(A2|A1)由于P(A1)，P(A1A2)，所以P(A2|A1).答案：C 2(xx年福州模擬)在三次獨立重復(fù)試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為()A. B. C. D.解析：設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為x，由題意有1C(1x)3，得x，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C××(1)2.答案：C 類型四 離散型隨機變量及其分布列1期望：Ex1p1x2p2xnpn.2方差：D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn.3標準差：.4E(ab)aEb， D(ab)a2D， DE2(E)2.5正態(tài)分布(1)N(，2)的分布密度曲線關(guān)于直線x對稱，該曲線與x軸之間的圖形的面積為1；(2)若XN(，2)，則P( <X)0.682 6，P(2 <X2)0.954 4，P(3 <X3)0.997 4，即3原則例4(xx年高考天津卷)現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記|XY|，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望E.解析依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i0，1，2，3，4)則P(Ai)C()i()4i.(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)C()2()2.(2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則BA3A4.由于A3與A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C()3×C()4.所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.(3)的所有可能取值為0，2，4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列是024隨機變量的數(shù)學(xué)期望E0×2×4×.跟蹤訓(xùn)練1(xx年廣州模擬)設(shè)隨機變量XN(1，52)，且P(X0)P(X>a2)，則實數(shù)a的值為()A4 B6C8 D10解析：由正態(tài)分布的性質(zhì)可知P(X0)P(X2)，所以a22，故a4，選A.答案：A2(xx年高考安徽卷)某單位招聘面試，每次從試題庫中隨機調(diào)用一道試題，若調(diào)用的是A類型試題，則使用后該試題回庫，并增補一道A類型試題和一道B類型試題入庫，此次調(diào)題工作結(jié)束；若調(diào)用的是B類型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結(jié)束試題庫中現(xiàn)共有nm道試題，其中有n道A類型試題和m道B類型試題，以X表示兩次調(diào)題工作完成后，試題庫中A類型試題的數(shù)量(1)求Xn2的概率；(2)設(shè)mn，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)解析：以Ai表示第i次調(diào)題調(diào)用到A類型試題，i1，2.(1)P(Xn2)P(A1A2)·(2)X的可能取值為n，n1，n2.P(Xn)P(A1 A2)·，P(Xn1)P(A1A2)P(A1A2)··，P(Xn2)P(A1A2)·，從而X的分布列是EXn×(n1)×(n2)×n1.析典題（預(yù)測高考）高考真題【真題】(xx年高考山東卷)現(xiàn)有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立假設(shè)該射手完成以上三次射擊(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.【解析】(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D.由題意知P(B)，P(C)P(D)，由于ABCD， 根據(jù)事件的獨立性和互斥性得P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D)×(1)×(1)(1)××(1)(1)×(1)×.(2)根據(jù)題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5.根據(jù)事件的獨立性和互斥性得P(X0)P()1P(B)1P(C)1P(D)(1)×(1)×(1).P(X1)P(B)P(B)P()P()×(1)×(1)P(X3)P(BCBD)P(BC)P(BD)××(1)×(1)×，P(X4)P(CD)(1)××，P(X5)P(BCD)××.故X的分布列為012345所以EX0×1×2×3×4×5×.【名師點睛】本題主要考查互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求法，以及分布列和期望的計算對于本題(1)中該射手恰好命中一次要理解到位，應(yīng)分為三個互斥事件，去求概率，尤其是對“恰好”的理解要注意考情展望本節(jié)內(nèi)容在高考中多以解答題形式考查，將概率與分布列、均值求法相融合，難度中檔名師押題【押題】為加強大學(xué)生實踐、創(chuàng)新能力和團隊精神的培養(yǎng)，促進高等教育教學(xué)改革，教育部門主辦了全國大學(xué)生智能汽車競賽該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個階段，參加決賽的隊伍按照抽簽方式?jīng)Q定出場順序通過預(yù)賽，選拔出甲、乙等五支隊伍參加決賽(1)求決賽中甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位的概率；(2)若決賽中甲隊和乙隊之間間隔的隊伍數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望【解析】(1)設(shè)“甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位”為事件A，則P(A).所以甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位的概率為.(2)由題意知隨機變量X的可能取值為0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以隨機變量X的分布列為：0123從而有EX0×1×2×3×1，所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為1.