2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.3基本不等式及其應(yīng)用試題 理 蘇教版 一、填空題 1．已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為_(kāi)_______． 解析　∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2 ，∴xy≤3.當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)． 答案　3 2．若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值為_(kāi)_______． 解析　由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)“＝”成立，所以x＋y的最大值為. 答案　 3．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，則下列不等式：①log2a＞0；?、?a－b＜；③2＋＜；④log2a＋log2b＜－2，其中正確的是________． 解析　由0＜a＜b，且a＋b＝1，得0＜a＜＜b＜1，所以log2a＜0.易得a－b＞－1，所以2a－b＞，由＋＞2，得2＋＞4，由1＝a＋b＞2(a≠b)，得ab＜，所以log2a＋log2b＝log2ab＜－2，僅④正確． 答案?、? 4．在等式“1＝＋”兩個(gè)括號(hào)內(nèi)各填入一個(gè)正整數(shù)，使它們的和最小，則填入的兩個(gè)數(shù)是________． 解析　設(shè)括號(hào)內(nèi)填入的兩個(gè)正整數(shù)為x，y，則有＋＝1，于是x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，當(dāng)且僅當(dāng)y2＝9x2，即x＝4，y＝12時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)x＋y取最小值16.故應(yīng)填4和12. 答案　4和12 5．已知函數(shù)f(x)＝2x，f(a)·f(b)＝8，若a＞0且b＞0，則＋的最小值為_(kāi)_______． 解析　因?yàn)閒(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b＝8，所以a＋b＝3，所以＋＝(a＋b)＝≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)b2＝4a2，即a＝1，b＝2時(shí)等號(hào)成立，所以＋的最小值為3. 答案　3 6．已知正數(shù)x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為_(kāi)_______． 解析 依題意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))，即的最大值是2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值是2. 答案 2 7．已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為，x，y，則＋的最小值為_(kāi)_______． 解析 依題意得·＝||·||cos 30°＝2，則||·||＝4，故S△ABC＝||·||sin 30°＝1，即＋x＋y＝1，x＋y＝，所以＋＝2(x＋y)·＝2≥2＝18，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即y＝2x＝時(shí)，等號(hào)成立，因此＋的最小值為18. 答案 18 8．已知a，b∈R，且ab＝50，則|a＋2b|的最小值是________． 解析 依題意得，a，b同號(hào)，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20(當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|2b|時(shí)取等號(hào))，因此|a＋2b|的最小值是20. 答案 20 9．某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)________年時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值是________萬(wàn)元． 解析 每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為＝18－，而x＞0，故≤18－2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)年平均利潤(rùn)最大，最大值為8萬(wàn)元． 答案 5　8 10．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是________． 解析 2a＋2b≥2＝2 ＝2·＝4 ∴2a＋2b≥4. 答案 4 二、解答題 11．某森林出現(xiàn)火災(zāi)，火勢(shì)正以每分鐘100 m2的速度順風(fēng)蔓延，消防站接到警報(bào)立即派消防隊(duì)員前去，在火災(zāi)發(fā)生后5分鐘到達(dá)救火現(xiàn)場(chǎng)，已知消防隊(duì)員在現(xiàn)場(chǎng)平均每人每分鐘滅火50 m2，所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費(fèi)用為每人每分鐘125元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費(fèi)用平均每人100元，而燒毀一平方米森林損失費(fèi)為60元． (1)設(shè)派x名消防隊(duì)員前去救火，用t分鐘將火撲滅，試建立t與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)問(wèn)應(yīng)該派多少名消防隊(duì)員前去救火，才能使總損失最少？ (總損失＝滅火材料、勞務(wù)津貼等費(fèi)用＋車輛、器械和裝備費(fèi)用＋森林損失費(fèi)) 解　(1)t＝＝. (2)設(shè)總損失為y，則y＝滅火勞務(wù)津貼＋車輛、器械和裝備費(fèi)＋森林損失費(fèi)． y＝125tx＋100x＋60×(500＋100t) ＝125·x·＋100x＋30 000＋ ＝1 250·＋100(x－2＋2)＋30 000＋ ＝31 450＋100(x－2)＋ ≥31 450＋2＝36 450. 當(dāng)且僅當(dāng)100(x－2)＝，即x＝27時(shí)，y有最小值36 450. 12．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解 由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，得 (1)∵x＞0，y＞0， ∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1. ∴3xy－2－1≥0. 即3()2－2－1≥0. ∴(3＋1)(－1)≥0. ∴≥1.∴xy≥1. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號(hào)成立． ∴xy的最小值為1. (2)∵x＞0，y＞0， ∴x＋y＋1＝3xy≤3·2. ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0. ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0. ∴x＋y≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào)， ∴x＋y的最小值為2. 13．某開(kāi)發(fā)商用9 000萬(wàn)元在市區(qū)購(gòu)買一塊土地建一幢寫(xiě)字樓，規(guī)劃要求寫(xiě)字樓每層建筑面積為2 000平方米．已知該寫(xiě)字樓第一層的建筑費(fèi)用為每平方米4 000元，從第二層開(kāi)始，每一層的建筑費(fèi)用比其下面一層每平方米增加100元． (1)若該寫(xiě)字樓共x層，總開(kāi)發(fā)費(fèi)用為y萬(wàn)元，求函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式；(總開(kāi)發(fā)費(fèi)用＝總建筑費(fèi)用＋購(gòu)地費(fèi)用) (2)要使整幢寫(xiě)字樓每平方米的平均開(kāi)發(fā)費(fèi)用最低，該寫(xiě)字樓應(yīng)建為多少層？ 解 (1)由已知，寫(xiě)字樓最下面一層的總建筑費(fèi)用為： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(萬(wàn)元)， 從第二層開(kāi)始，每層的建筑總費(fèi)用比其下面一層多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(萬(wàn)元)， 寫(xiě)字樓從下到上各層的總建筑費(fèi)用構(gòu)成以800為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列， 所以函數(shù)表達(dá)式為： y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000 ＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)； (2)由(1)知寫(xiě)字樓每平方米平均開(kāi)發(fā)費(fèi)用為： g(x)＝×10 000 ＝ ＝50≥50×(2＋79) ＝6 950(元)． 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝30時(shí)等號(hào)成立． 答：該寫(xiě)字樓建為30層時(shí)，每平方米平均開(kāi)發(fā)費(fèi)用最低． 14．提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時(shí)) 解　(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20<x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為 v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得 f(x)＝ 當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)， 故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1 200； 當(dāng)20<x≤200時(shí)，f(x)＝x(200－x)≤ 2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立． 所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333， 即當(dāng)車流密度為100 輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/小時(shí).