2022年高考數(shù)學(xué) 常見(jiàn)題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第05講 函數(shù)解析式的求法【知識(shí)要點(diǎn)】一、求函數(shù)的解析式的主要方法有以下五種：1、待定系數(shù)法：如果已知函數(shù)解析式的類(lèi)型（函數(shù)是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等）時(shí)，可以用待定系數(shù)法.2、代入法：如果已知原函數(shù)的解析式，求復(fù)合函數(shù)的解析式時(shí)，可以用代入法.3、換元法：如果已知復(fù)合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式時(shí)，可以用換元法.換元時(shí)，注意新“元”的范圍.4、解方程組法：如果已知抽象函數(shù)滿足的關(guān)系式中有互為相反的自變量或互為倒數(shù)的自變量時(shí)，可以用解方程組的方法.5、實(shí)際問(wèn)題法：在實(shí)際問(wèn)題中，根據(jù)函數(shù)的意義求出函數(shù)的解析式.【方法講評(píng)】方法一待定系數(shù)法使用情景已知函數(shù)的類(lèi)型.解題步驟根據(jù)已知先設(shè)出函數(shù)的解析式，再列方程（組）求待定系數(shù).【例1】已知是一次函數(shù)，且滿足，求. 【點(diǎn)評(píng)】（1）本題由于已知函數(shù)的類(lèi)型是一次函數(shù)，所以可以利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.（2）由于對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)值都成立，所以最后的實(shí)際上是一個(gè)恒等式，所以可以比較等式兩邊的系數(shù)分別相等列方程組. 【例2】已知函數(shù)（的圖形的一個(gè)最高點(diǎn)為（2，），由這個(gè)最高點(diǎn)到相鄰的最低點(diǎn)時(shí)曲線經(jīng)過(guò)（6，0），求這個(gè)函數(shù)的解析式. 【解析】由題得【點(diǎn)評(píng)】(1)對(duì)于三角函數(shù)，待定系數(shù)法同樣適用，關(guān)鍵是通過(guò)已知條件找到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）.(2)對(duì)于三角函數(shù)來(lái)說(shuō)，一般利用最小正周期得到的方程，利用最值得到的方程，利用最值點(diǎn)得到的方程.【反饋檢測(cè)1】已知為二次函數(shù)，且 ，且,圖象在軸上截得的線段長(zhǎng)為2,求的解析式. 方法二代入法使用情景（1）已知原函數(shù)的解析式，求復(fù)合函數(shù)的解析式；（2）已知某區(qū)間的函數(shù)的解析式，求對(duì)稱區(qū)間的解析式.解題步驟（1）直接代入原函數(shù)的解析式即可；（2）一般先在所求的函數(shù)的圖像上任意取一點(diǎn)，然后求出它的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入對(duì)稱點(diǎn)滿足的方程. 【例3】已知函數(shù)，求函數(shù)的表達(dá)式.【解析】由題得【點(diǎn)評(píng)】本題就是已知原函數(shù)的解析式，求復(fù)合函數(shù)的解析式，所以只需直接用“”代換原函數(shù)中的“”即可.這就是代入法求函數(shù)的解析式. 【例4】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求當(dāng)時(shí)，的函數(shù)解析式. 【點(diǎn)評(píng)】本題就是已知某區(qū)間的函數(shù)的解析式，求對(duì)稱區(qū)間的解析式. 一般先在所求的函數(shù)的圖像上任意取一點(diǎn)，然后求出它的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入對(duì)稱點(diǎn)滿足的方程.這是高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)到的一種題型，要好好地理解和掌握. 【反饋檢測(cè)2】設(shè)函數(shù)的圖象為，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圖象為， 求對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式. 方法三換元法使用情景已知復(fù)合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式.解題步驟先換元，求出函數(shù)的自變量的表達(dá)式，再代入復(fù)合函數(shù)得到函數(shù)的解析式.【例5】已知，求.【解析】令（），則，所以.【點(diǎn)評(píng)】（1）本題就是已知復(fù)合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式.一般先換元，再求出函數(shù)的自變量的表達(dá)式，再代入復(fù)合函數(shù)得到函數(shù)的解析式.（2）換元時(shí)，一定要注意新元的取值范圍，它就是所求函數(shù)的定義域.【反饋檢測(cè)3】 已知求的解析式. 方法四解方程組法使用情景已知抽象函數(shù)滿足的關(guān)系式中有互為相反的自變量或互為倒數(shù)的自變量.解題步驟利用已知構(gòu)造另一個(gè)方程，得到一個(gè)方程組，解方程組即可.【例6】已知滿足，求【解析】 ，把中的換成，得 ，得，【點(diǎn)評(píng)】在已知的方程中有自變量和，它們互為倒數(shù)，所以可以把方程中的地方統(tǒng)一換成，從而又得到一個(gè)關(guān)于的方程，解關(guān)于的方程組即可.【反饋檢測(cè)5】定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，求的表達(dá)式. 方法五實(shí)際問(wèn)題法使用情景實(shí)際問(wèn)題解題步驟一般情況下根據(jù)函數(shù)的意義求出函數(shù)的解析式，要注意函數(shù)的定義域. 【例7】某人開(kāi)汽車(chē)以的速度從地到遠(yuǎn)處的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽車(chē)離開(kāi)地的路程表示為時(shí)間（從地出發(fā)是開(kāi)始）的函數(shù)，再把車(chē)速表示為時(shí)間的函數(shù) 【點(diǎn)評(píng)】實(shí)際問(wèn)題中求函數(shù)的解析式難度比較大，一般要認(rèn)真讀題，再根據(jù)函數(shù)的意義、自變量的意義及其它們之間的關(guān)系建立它們之間的函數(shù)關(guān)系.在寫(xiě)函數(shù)的解析式時(shí)，要注意函數(shù)的定義域.【反饋檢測(cè)6】 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為萬(wàn)元，但每生產(chǎn)件需要增加投入萬(wàn)元，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需要量為件，銷(xiāo)售收入為函數(shù) 萬(wàn)元，其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百件）.（1）把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；（2）年產(chǎn)量為多少時(shí)，當(dāng)年公司所得利潤(rùn)最大.高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第05講：函數(shù)解析式的求法參考答案【反饋檢測(cè)1答案】【反饋檢測(cè)1詳細(xì)解析】 【反饋檢測(cè)2答案】【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】設(shè)是函數(shù)圖象上任一點(diǎn) ，則關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為在 上，即：即： 故.【反饋檢測(cè)3答案】 【反饋檢測(cè)5答案】【反饋檢測(cè)5詳細(xì)解析】【反饋檢測(cè)6答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為件時(shí)，公司所得利潤(rùn)最大. （2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)年產(chǎn)量為件時(shí)，公司所得利潤(rùn)最大，該產(chǎn)品最多賣(mài)出件，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義可得，當(dāng)年產(chǎn)量為件時(shí)，公司所得利潤(rùn)最大.