2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5.4 解斜三角形教案知識梳理1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即=.利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+c22bccosA；b2=c2+a22cacosB；c2=a2+b22abcosC.在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由可得cosA=；cosB=；cosC=.利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.特別提示兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應(yīng)用的實例.另外，解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”.點擊雙基1.（xx年上海）在ABC中，若2cosBsinA=sinC，則ABC的形狀一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，a=b.答案：C2.下列條件中，ABC是銳角三角形的是A.sinA+cosA=B.·0C.tanA+tanB+tanC0D.b=3，c=3，B=30°解析：由sinA+cosA=得2sinAcosA=0，A為鈍角.由·0，得·0，cos，0.B為鈍角.由tanA+tanB+tanC0，得tan（A+B）·（1tanAtanB）+tanC0.tanAtanBtanC0，A、B、C都為銳角.由=，得sinC=，C=或.答案：C3.（xx年全國，理11）ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，B=30°，ABC的面積為，那么b等于A.B.1+C.D.2+解析：a、b、c成等差數(shù)列，2b=a+c.平方得a2+c2=4b22ac.又ABC的面積為，且B=30°，故由SABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.a2+c2=4b212.由余弦定理，得cosB=，解得b2=4+2.又b為邊長，b=1+.答案：B4.已知（a+b+c）（b+ca）=3bc，則A=_.解析：由已知得（b+c）2a2=3bc，b2+c2a2=bc.=.A=.答案：5.在銳角ABC中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值范圍是_.解析：若c是最大邊，則cosC0.0，c.又cba=1，1c.答案：（1，）典例剖析【例1】 ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B.剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2Asin2B=sinBsinC=sinBsin（A+B）（cos2Bcos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（AB）=sinBsin（A+B），因為A、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）0.所以sin（AB）=sinB.所以只能有AB=B，即A=2B.評述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解.思考討論（1）該題若用余弦定理如何解決?解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA=，cos2B=2cos2B1=2（）21=1=.所以cosA=cos2B.因為A、B是ABC的內(nèi)角，所以A=2B.（2）該題根據(jù)命題特征，能否構(gòu)造一個符合條件的三角形，利用幾何知識解決?解：由題設(shè)a2=b（b+c），得=，作出ABC，延長CA到D，使AD=AB=c，連結(jié)BD.式表示的即是=，所以BCDABC.所以1=D.又AB=AD，可知2=D，所以1=2.因為BAC=2+D=22=21，所以A=2B.評述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點考查正弦、余弦定理，考查的側(cè)重點還在于三角轉(zhuǎn)換.這是的初衷.【例2】 （xx年全國，17）已知銳角ABC中，sin（A+B）=，sin（AB）=.（1）求證：tanA=2tanB；（2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.（1）證明：sin（A+B）=，sin（AB）=，=2.tanA=2tanB.（2）解：A+B，sin（A+B）=.tan（A+B）=，即=.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B4tanB1=0，解得tanB=（負(fù)值舍去）.得tanB=，tanA=2tanB=2+.設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB邊上的高為2+.評述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計算能力.【例3】 （xx年春季北京）在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值.剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求A，需找A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.解法一：a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC中，由余弦定理得cosA=，A=60°.在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60°，=sin60°=.解法二：在ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB.b2=ac，A=60°，bcsinA=b2sinB.=sinA=.評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.（xx年浙江，8）在ABC中，“A30°”是“sinA”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：在ABC中，A30°0sinA1sinA；sinA30°A150°A30°.答案：B2.如圖，ABC是簡易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為A.75°B.60°C.50°D.45°解析：作CE平面ABD于E，則CDE是太陽光線與地面所成的角，即CDE=40°，延長DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則CFD是遮陽棚與地面所成的角，設(shè)為.要使SABD最大，只需DF最大.在CFD中，=.DF=.CF為定值，當(dāng)=50°時，DF最大.答案：C3.在ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S=（a2+b2c2），則C的度數(shù)是_.解析：由S=（a2+b2c2）得absinC=·2abcosC.tanC=1.C=.答案：45°4.在ABC中，若C=60°，則=_.解析：=.（*）C=60°，a2+b2c2=2abcosC=ab.a2+b2=ab+c2.代入（*）式得=1.答案：15.在ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°C.a=14，b=16，A=45°D.a=12，c=15，A=120°解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=.因而B有兩值.答案：C培養(yǎng)能力6.在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍.解：b2=ac，cosB=（+）.0B，y=sinB+cosB=sin（B+）.B+，sin（B+）1.故1y.7.已知ABC中，2（sin2Asin2C）=（ab）sinB，外接圓半徑為.（1）求C；（2）求ABC面積的最大值.解：（1）由2（sin2Asin2C）=（ab）·sinB得2（）=（ab）.又R=，a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosC=.又0°C180°，C=60°.（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°A）=2sinA（sin120°cosAcos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2Asin2Acos2A+=sin（2A30°）+.當(dāng)2A=120°，即A=60°時，Smax=.8.在ABC中，BC=a，頂點A在平行于BC且與BC相距為a的直線上滑動，求的取值范圍.解：令A(yù)B=kx，AC=x（k0，x0），則總有sinB=，sinC=（圖略），且由正弦定理得sinB=sinA，所以a2=kx2·sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA=（k+sinA），所以k+=sinA+2cosA=.所以k2k+10，所以k.所以的取值范圍為，.探究創(chuàng)新9.某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點到市中心O點后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短?并求其最短距離.（不要求作近似計算）解：在AOB中，設(shè)OA=a，OB=b.因為AO為正西方向，OB為東北方向，所以AOB=135°.則|AB|2=a2+b22abcos135°=a2+b2+ab2ab+ab=（2+）ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”成立.又O到AB的距離為10，設(shè)OAB=，則OBA=45°.所以a=，b=，ab=·=，當(dāng)且僅當(dāng)=22°30時，“=”成立.所以|AB|2=400（+1）2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b，=22°30時，“=”成立.所以當(dāng)a=b=10時，|AB|最短，其最短距離為20（+1），即當(dāng)AB分別在OA、OB上離O點10 km處，能使|AB|最短，最短距離為20（1）.思悟小結(jié)1.在ABC中，A+B+C=，sin=cos，cos=sin，tan=cot.2.A、B、C成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60°.3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.4.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：化邊為角；化角為邊.并常用正弦（余弦）定理實施邊角轉(zhuǎn)化.5.用正（余）弦定理解三角形問題可適當(dāng)應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長.6.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時，需明確向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補(bǔ).教師下載中心教學(xué)點睛1.一方面要讓學(xué)生體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要讓學(xué)生體會解三角形是重要的測量手段，通過數(shù)值計算進(jìn)一步提高使用計算器的技能技巧和解決實際問題的能力.2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練.拓展題例【例1】 已知A、B、C是ABC的三個內(nèi)角，y=cotA+.（1）若任意交換兩個角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.（2）求y的最小值.解：（1）y=cotA+=cot A+=cot A+=cotA+cotB+cotC，任意交換兩個角的位置，y的值不變化.（2）cos（BC）1，ycotA+=+2tan=（cot+3tan）=.故當(dāng)A=B=C=時，ymin=.評述：本題的第（1）問是一道結(jié)論開放型題，y的表達(dá)式的表面不對稱性顯示了問題的有趣之處.第（2）問實際上是一道常見題：在ABC中，求證：cotA+cotB+cotC.【例2】 在ABC中，sinA=，判斷這個三角形的形狀.分析：判斷一個三角形的形狀，可由三個內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以b（a2b2）+c（a2c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以ABC是直角三角形.評述：恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵.若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosA=0.