2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習 2.8函數(shù)與方程試題 理 蘇教版一、填空題1若a>2，則函數(shù)f(x)x3ax21在(0,2)內(nèi)零點的個數(shù)為_解析 依題意得f(x)x22ax，由a>2可知，f(x)在x(0,2)時恒為負，即f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，又f(0)1>0，f(2)4a1<0，因此f(x)在(0,2)內(nèi)只有一個零點答案 12已知符號函數(shù)sgn(x)則函數(shù)f(x)sgn(ln x)ln2x的零點個數(shù)為_解析 依題意得，當x1時，ln x0，sgn(ln x)1，f(x)sgn(ln x)ln2x1ln2x，令1ln2x0，得xe或x，結(jié)合x1，得xe；當x1時，ln x0，sgn(ln x)0，f(x)ln2x，令ln2x0，得x1，符合；當0x1時，ln x0，sgn(ln x)1，f(x)1ln2x.令1ln2x0，得ln2x1，此時無解因此，函數(shù)f(x)sgn(ln x)ln2x的零點個數(shù)為2.答案 23若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且x1,1時，f(x)1x2，函數(shù)g(x)則函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間5,5內(nèi)的零點的個數(shù)是_解析 依題意得，函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，在同一坐標系下畫出函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象，結(jié)合圖象得，當x5,5時，它們的圖象的公共點共有8個，即函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間5,5內(nèi)的零點的個數(shù)是8.答案 84設(shè)函數(shù)f(x)xln x(x0)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)，(1，)內(nèi)的零點個數(shù)分別為_解析設(shè)yx與yln x，作圖象可知f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)無零點，在(1，)內(nèi)僅有兩個零點答案0,25設(shè)函數(shù)f(x)則函數(shù)g(x)f(x)log4x的零點個數(shù)為_解析設(shè)yf(x)與ylog4x，分別畫出它們的圖象，得有2個交點，所以函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為2.答案26已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析畫出圖象，令g(x)f(x)m0，即yf(x)與ym的圖象的交點有3個，0m1.答案(0,1)7方程log2(x4)2x的根有_個解析 作函數(shù)ylog2(x4)，y2x的圖象如圖所示，兩圖象有兩個交點，且交點橫坐標一正一負，方程有一正根和一負根答案 28已知函數(shù)f(x)x2(1k)xk的一個零點在(2,3)內(nèi)，則實數(shù)k的取值范圍是_解析因為(1k)24k(1k)20對一切kR恒成立，又k1時，f(x)的零點x1(2,3)，故要使函數(shù)f(x)x2(1k)xk的一個零點在(2,3)內(nèi)，則必有f(2)·f(3)<0，即2<k<3.答案(2,3)9若關(guān)于x的方程kx1ln x有解，則實數(shù)k的取值范圍是_解析如圖，若ykx1與yln x相切于點P(x0，y0)，則解得x0e2，k.欲使方程有解，則ykx1與yln x有公共點，所以k.答案10已知函數(shù)f(x)1x，g(x)1x，設(shè)F(x)f(x3)·g(x3)，且函數(shù)F(x)的零點均在區(qū)間a，b(ab，a，bZ)內(nèi)，則ba的最小值為_解析由f(x)1xx2x3x2 010，則f(x)0，f(x)為增函數(shù)，又f(0)10，f(1)0，從而f(x)的零點在(1,0)上；同理g(x)為減函數(shù)，零點在(1,2)上，F(xiàn)(x)的零點在(4，3)和(4,5)上，要使區(qū)間a，b包含上述區(qū)間，則需(ba)min9.答案9二、解答題11已知函數(shù)f(x)x22exm1，g(x)x(x>0)(1)若g(x)m有零點，求m的取值范圍；(2)試確定m的取值范圍，使得g(x)f(x)0有兩個相異實根解 (1)g(x)x22e，等號成立的條件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，則g(x)m就有零點(2)若g(x)f(x)0有兩個相異的實根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點作出g(x)x(x>0)和f(x)的圖象如圖f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其對稱軸為直線xe，開口向下，最大值為m1e2，故當m1e2>2e，即m>e22e1時，g(x)與f(x)有兩個交點，即g(x)f(x)0有兩個相異實根，m的取值范圍是m>e22e1.12已知二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)0，求實數(shù)p的取值范圍解 二次函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)0的否定是對于區(qū)間1,1內(nèi)的任意一個x都有f(x)0，即整理得解得p或p3，二次函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)0的實數(shù)p的取值范圍是.13已知函數(shù)f(x)|xa|ln x，aR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2(x1<x2)，求證：1<x1<a<x2<a2.(1)解由題意，函數(shù)的定義域為(0，)，當a0時，f(x)|xa|ln xxaln x，f(x)1>0，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)當a>0時，f(x)|xa|ln x若xa，f(x)1>0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，若0<x<a，f(x)1<0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，綜上，當a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當a>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)；單調(diào)遞增區(qū)間為(a，)(2)證明由(1)知，當a0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，至多只有一個零點，不合題意；則必有a>0，此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)；單調(diào)遞增區(qū)間為(a，)，由題意，必須f(a)ln a<0，解得a>1.由f(1)a1ln 1a1>0，f(a)<0，得x1(1，a)而f(a2)a2aaln aa(a1ln a)，下面證明：a>1時，a1ln a>0.設(shè)g(x)x1ln x，x>1，則g(x)1>0，g(x)在x>1時遞增，則g(x)>g(1)0，f(a2)a2aaln aa(a1ln a)>0，又f(a)<0，x2(a，a2)，綜上，1<x1<a<x2<a2.14設(shè)函數(shù)f(x)3ax22(ac)xc (a>0，a，cR)(1)設(shè)a>c>0.若f(x)>c22ca對x1，)恒成立，求c的取值范圍；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是否有零點，有幾個零點？為什么？解(1)因為二次函數(shù)f(x)3ax22(ac)xc的圖象的對稱軸為x，由條件a>c>0，得2a>ac，故<<1，即二次函數(shù)f(x)的對稱軸在區(qū)間1，)的左邊，且拋物線開口向上，故f(x)在1，)內(nèi)是增函數(shù)若f(x)>c22ca對x1，)恒成立，則f(x)minf(1)>c22ca，即ac>c22ca，得c2c<0，所以0<c<1.(2)若f(0)·f(1)c·(ac)<0，則c<0，或a<c，二次函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)只有一個零點若f(0)c>0，f(1)ac>0，則a>c>0.因為二次函數(shù)f(x)3ax22(ac)xc的圖象的對稱軸是x.而f<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間和內(nèi)各有一個零點，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個零點